초록 ▼

본 연구에서는 toric 다양체의 확장된 개념인 torus 다양체나 quasi-toric 다양체와 관련된 문제를 연구주제로 선택하여 집중적인 연구를 수행하였다. 각 차년도 별로 연구를 수행하여 얻은 연구 결과를 요약하면 다음과 같다.

가. 1차년도
(1) quasi-toric 다양체의 중요한 예인 Bott 다양체 및 일반화된 Bott 다양체의 미분 동형에 관련된 견고성(rigidity) 문제를 Bott 다양체 상의 벡터 번들의 분류를 통해 해결할 수 있는 틀을 고전적인 Hirzebruch 정리의 일반화를 통해 마련

본 연구에서는 toric 다양체의 확장된 개념인 torus 다양체나 quasi-toric 다양체와 관련된 문제를 연구주제로 선택하여 집중적인 연구를 수행하였다. 각 차년도 별로 연구를 수행하여 얻은 연구 결과를 요약하면 다음과 같다.

가. 1차년도
(1) quasi-toric 다양체의 중요한 예인 Bott 다양체 및 일반화된 Bott 다양체의 미분 동형에 관련된 견고성(rigidity) 문제를 Bott 다양체 상의 벡터 번들의 분류를 통해 해결할 수 있는 틀을 고전적인 Hirzebruch 정리의 일반화를 통해 마련하였다. 또한, 본 연구에서는 이 외에도 special omni-oriented quasi-toric 다양체가 unitary cobordim 군의 자명한 원소가 되는가와 같은 흥미로운 질문도 함께 연구 주제로 택하여 고찰해 보았다.

(2) toric 다양체와 complete regular fan은 적절한 의미에서 일대일 대응관계가 존재함이 잘 알려져 있다. 이를 통해 토릭 다양체의 정수 계수 상의 코호몰로지 군을 fan의 조합적인 정보를 통해 계산할 수 있다. 본 연구에서는 이 사실을 complete 또는 non-complete이고 simplicial fan까지 확장하는 연구 결과를 얻었다.

나. 2차년도
(1) real toric 다양체의 호몰로지 또는 코호몰로지에 나타날 수 있는 torsion의 복잡도에 관한 연구를 진행하였다. 현재까지도 코호몰로지에 복잡한 구조를 가진 torsion을 갖는 real toric 다양체는 알려진 것이 거의 없다. 본 연구에서는 먼저 Bosio와 Meersseman이 연구한 link의 개념을 이용하여, 코호몰로지에 복잡한 구조의 torsion을 갖는 real toric 다양체의 존재성을 증명하였다.

(2) 본 연구에서는 이 외에도 special omni-oriented quasi-toric 다양체가 unitary cobordim 군의 자명한 원소가 되는가와 같은 흥미로운 질문도 함께 연구 주제로 택하여 고찰하는 연구를 계속연구로 진행하였다.

다. 3차년도
(1) LVMB 다양체도 LVM 다양체와 마찬가지로 regular holomorphic foliation을 가지고 있지만 일반적으로 LVM 다양체에 존재하는 foliation 보다 훨씬 더 복잡한 구조를 가지고 있음이 알려져 있다. 특히, LVMB 다양체에 존재하는 regular holomorphic foliation이 transverse Kaehler 구조를 가지고 있다면 LVMB 다양체가 사실은 LVM 다양체가 될 것인가의 질문은 아주 중요하고 본 연구를 통해 그 진위를 판별하고자 하였다.

(2) toric 다양체와 complete regular fan은 적절한 의미에서 일대일 대응관계가 존재함이 잘 알려져 있다. toric 다양체를 위상적인 일반화한 예로 torus 다양체가 있다. toric 다양체의 경우와 비슷하게 torus 다양체에 multi-fan을 대응시킬 수 있는 방법이 있다. 하지만, multi-fan과 torus 다양체의 대응관계는 아직도 toric 다양체의 경우와 같은 수준의 완벽한 이해를 하지 못하고 있는 것이 사실이다. 본 연구에서는 먼저 multi-fan이 만족하는 여러 가지 성질을 이해하는 연구를 진행하였다.

(출처 : 연구결과 요약문 3p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 목차 ... 2
• Ⅰ. 연구결과 요약문 ... 3
• Ⅱ. 연구내용 및 결과 ... 4
• 1. 연구과제의 개요 ... 4
• 2. 국내외 기술개발 현황 ... 4
• 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 4
• 4. 목표 달성도 및 관련 분야에의 기여도 ... 6
• 5. 연구결과의 활용계획 ... 7
• 6. 연구과정에서 수집한 해외과학기술정보 ... 7
• Ⅲ. 연구성과 ... 8
• 끝페이지 ... 14