초록 ▼

□ 연구개요
오랜 역사를 갖고 있는 복소해석학은 수많은 아름다운 함수론적 이론들과 응용을 갖고 있다. 특히, 복소해석학의 주요 관심사는 정칙함수의 성질과 영역의 분류에 관한 연구이다. 한편, 복소수를 포함하는 사원수를 변수로 갖는 함수들의 성질에 대해서 20세기 초반부터 연구가 진행되었지만, 복소해석학 이론과는 거리가 멀었다.
그런데, 최근에 이탈리아와 미국의 연구진들에 의해 새로운 사원수해석학이 등장하였다. 영역의 각 슬라이스에서 복소정칙인 함수들의 성질에 대해서 연구하기 시작하였다. 그 함수들은 복소해석학의 정칙함수들

□ 연구개요
오랜 역사를 갖고 있는 복소해석학은 수많은 아름다운 함수론적 이론들과 응용을 갖고 있다. 특히, 복소해석학의 주요 관심사는 정칙함수의 성질과 영역의 분류에 관한 연구이다. 한편, 복소수를 포함하는 사원수를 변수로 갖는 함수들의 성질에 대해서 20세기 초반부터 연구가 진행되었지만, 복소해석학 이론과는 거리가 멀었다.
그런데, 최근에 이탈리아와 미국의 연구진들에 의해 새로운 사원수해석학이 등장하였다. 영역의 각 슬라이스에서 복소정칙인 함수들의 성질에 대해서 연구하기 시작하였다. 그 함수들은 복소해석학의 정칙함수들과 밀접한 관련이 있으며, 복소해석학의 아름다운 정리들-코시 적분정리, 항등정리, 최대절대값정리-이 사원수해석학에서도 성립함이 지난 수년사이에 증명되었다. 본 연구과제에서는 새로운 슬라이스 정칙함수이론을 적용하여 슬라이스 버그만 공간과 슬라이스 포크 공간의 함수론적인 성질을 연구하고자 한다. 특히, 세계 최초로 다변수 복소해석학의 이론을 접목하여, 다변수 사원수해석학이론을 정립하고자 한다. 위의 결과를 클리포드에서도 연구한다.

□ 연구 목표대비 연구결과
다변수복소해석학에서 성립하는 Bergman kernel의 중요한 성질인 transformation formula에 관한 내용을 연구하였다. 두 영역 사이의 biholomorphic mapping이 존재하면, 두 영역의 Bergman kernel 사이에 성립하는 transformation formula는 Bergman metric이 invariant metric이 됨을 증명하는 데에 중요하게 사용된다. 본 연구논문에서는 위의 결과를 quaternion variable에 대해서 slice Bergman kernel이 성립하는 transformation formula를 연구하였다. slice Bergman kernel의 영점에 관한 연구논문이다. 또한, 다변수복소공간에서는 unit ball이나 upper half space에서 정의되는 Bergman kernel은 영점을 갖지 않는다. 이를 quaternion variable을 갖는 slice Bergman kernel 이 unit ball이나 upper half space에서 영점을 갖지 않음을 증명하였다. 이는 slice Bergman kernel의 real part와 imaginary part를 직접 계산하여, 사원수의 성질을 이용하여 증명하였다. 또한, 이를 이용하여, boundary에서 singularity를 계산하였다. 마지막으로 위의 결과를 Clifford algebra를 변수로 갖는 slice monogenic Bergman kernel에도 적용하여, Bergman kernel이 영점을 갖지 않음을 증명하였다. 이외에도 복소변수를 갖는 Bergman kernel에 연구를 병행하여, 이 결과들을 quaternion 이나 Clifford algebra로 확장하는 연구를 진행하고 있다.

□ 연구개발결과의 중요성
slice regular mapping의 transformation formula에 관한 연구결과이다. 이는 다변수복소함수론에서 중요한 biholomorphic mapping의 transformation formula를 일반화한 연구이다. transformation formula 는 bounded domain에서 invariant metric인 Bergman metric을 정의하여, domain의 boundary를 연구하는데에 중요하게 사용된다. 하지만, 사원수나 Clifford algebra를 변수로 하는 영역에서 정의되는 invariant metric은 아직 정의된 적이 없다. 본 연구는 사원수공간의 영역의 기하학적인 성질을 연구하는 데에 사용될 수 있다.unit ball이나 upper half space에서 정의된 slice Bergman kernel이 영점을 갖지 않음을 직접 계산하였다. 이는 사원수 공간에서 영점을 갖지 않는 slice Bergman kernel에 관한 최초의 결과이며, 복소변수와 마찬가지로, 다양한 분야로 활용되고, 연구될 것으로 생각한다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 3
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 4
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 5
• 4. 참고문헌 ... 6
• 5. 연구성과 ... 7
• 끝페이지 ... 7