초록 ▼

□ 연구개요
주어진 유한 단순그래프의 색 대칭함수(chromatic symmetric function)는 1995년도에 R. Stanley에 의해 정의되었으며, 대칭함수이론뿐 아니라 그래프이론과의 밀접한 관련성으로 인하여 많은 관심을 받고 있는 흥미로운 대상이다. 그래프의 채색마다 각 색깔의 사용된 횟수를 (formal하게) 곱한 결과를 모두 더한 결과로 정의되는 색 대칭함수는, 그래프이론에서 잘 알려진 색 다항식을 그 특별한 경우로 포함하고 있으며, 관련된 대표적인 문제로 (3+1)-추측이 있다: (3+1)모양의 부분구조를

□ 연구개요
주어진 유한 단순그래프의 색 대칭함수(chromatic symmetric function)는 1995년도에 R. Stanley에 의해 정의되었으며, 대칭함수이론뿐 아니라 그래프이론과의 밀접한 관련성으로 인하여 많은 관심을 받고 있는 흥미로운 대상이다. 그래프의 채색마다 각 색깔의 사용된 횟수를 (formal하게) 곱한 결과를 모두 더한 결과로 정의되는 색 대칭함수는, 그래프이론에서 잘 알려진 색 다항식을 그 특별한 경우로 포함하고 있으며, 관련된 대표적인 문제로 (3+1)-추측이 있다: (3+1)모양의 부분구조를 가지지 않는 순서집합으로부터 비교불가능한 원소들을 선으로 이어 얻어지는 그래프의 색 대칭함수는 기본대칭함수들의 선형합으로 전개하였을 때 그 계수가 양수가 된다.
본 과제에서는 색대칭함수를 대칭함수공간의 대표적인 기저인 슈어함수와 비교하는 작업을 시작으로 색대칭함수를 이해하고자 하였으며 (3+1)-추측의 해결을 위해 필요하다고 생각되는 기본연구를 진행하였다.
최근(2016) Shareshian과 Wachs는 색대칭함수에 각 그래프 채색에 등장하는 반전(inversion)의 정보를 더하여 반(quasi) 색대칭함수를 정의하고 관련이론을 정리하여색대칭함수연구의 새로운 방향과 기존의 (3+1)-추측을 포함하는 여러 추측을 제시하였다. 또한 이들 반 색대칭함수는 LLT 다항식과 밀접한 관련이 있음이 밝혀졌으므로 반 색대칭함수의 확장된 (3+1)-추측에 관한 연구를 진행하고 이 결과를 LLT 다항식과의 관계 안에서 발전시키는 작업을 하였다.

□ 연구 목표대비 연구결과
본 과제에서는 색대칭함수를 조합적입장에서 이해하고자하였으며, 빠르게 변화하는 관련연구동향을 파악하고 이에 따라 구체적인 연구 목표를 수정해오며 연구를 진행하였다. 다음은 본 과제에서 계획하고 진행한 연구주제이다:
1. 대칭함수들의 대수구조 안에서 색대칭함수들의 역할
2. (반)색대칭함수의 확장된 (3+1)-추측: “기본대칭함수전개에서 계수(t의 다항식)들이 양부호를 가지며 단봉다항식이다”
3. (반)색대칭함수와 LLT 다항식의 관계를 이용한 (반)색대칭함수의 계산
대표적인 성과들은 다음과 같으며 계획한 목표를 충분히 달성하였다:
대칭함수공간의 기저를 이루는 색대칭함수들의 모임 건설, (skew)슈어함수와 같은 색대칭함수들의 분류, bounce 수가 2 또는 3인 그래프의 (반)색대칭함수에서의 확장된 (3+1)-추측 증명, unicelluar LLT 다항식과 (melting) lollipop 그래프의 (반)색대칭함수가 만족하는 점화식과 구체적인 식.

□ 연구개발결과의 중요성
(3+1)-추측은 20년이 넘도록 해결되지 않은 조합론 분야의 중요한 문제로 이를 해결하기 위한 노력이 계속되고 있으며, 예상하지 못한 다른 분야와의 관련성이 밝혀지면서 더욱 많은 관심을 받고 있다. 본 과제의 결과는 확장된 (3+1)-추측의 해결을 위한 방법을 제시하고 있으며, 특히 최근 밝혀진 unicelluar LLT 다항식과의 관계를 이용하여 반 색대칭함수에 관한 결과를 얻어낸 방법은 매우 새로운 방향을 제시할 수 있을 것이다.

(출처 : 연구결과 요약문 3p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 3
• 목차 ... 4
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 5
• 1. 대칭함수들의 대수구조 안에서 색대칭함수들의 역할 ... 6
• 2. (반)색대칭함수의 확장된 (3+1)-추측 ... 7
• 3. (반)색대칭함수와 LLT 다항식의 관계를 이용한 반색대칭함수의 계산 ... 7
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 8
• 4. 참고문헌 ... 8
• 5. 연구성과 ... 9
• 끝페이지 ... 10