초록 ▼

□ 연구개요
본 연구의 목표는 다항식 환 혹은 멱급수 환과 관련된 여러 미해결 문제들을 해결하는 것이다. 기저 환 R이 만족하는 여러 중요한 대수적 성질들을 R상의 다항식 환 R[X]와 멱급수 환 R[[X]]도 만족하는지, 아니라면 만족하는 경우는 언제인지 등을 규명하는 것이다. 관련하여 세 가지 구체적인 목표를 제시하였다. 첫 번째는 조각 뇌 더 환(piecewise Noetherian ring), 두 번째는 계수공식(content formula), 세 번째는 최대공약수정역(GCD domain)에 대한 것이다.

□ 연구개요
본 연구의 목표는 다항식 환 혹은 멱급수 환과 관련된 여러 미해결 문제들을 해결하는 것이다. 기저 환 R이 만족하는 여러 중요한 대수적 성질들을 R상의 다항식 환 R[X]와 멱급수 환 R[[X]]도 만족하는지, 아니라면 만족하는 경우는 언제인지 등을 규명하는 것이다. 관련하여 세 가지 구체적인 목표를 제시하였다. 첫 번째는 조각 뇌 더 환(piecewise Noetherian ring), 두 번째는 계수공식(content formula), 세 번째는 최대공약수정역(GCD domain)에 대한 것이다.

□ 연구 목표대비 연구결과
가환 환 R이 piecewise Noetherian ring이면 R상의 다항식 환 역시 piecewise Noetherian ring이 된다. R상의 멱급수 환도 piecewise Noetherian ring이 되는지 여부를 밝히는 것이 첫 번째 목표였다. R이 valuation domain일 때 R[[X]]가 piecewise Noetherian ring이 될 필요충분조건이 R이 Noetherian ring임을 보임으로써 piecewise Noetherian property가 보존되지 않음을 증명하였다.
가환 환 R상의 다항식들에 대해 Dedekind-Mertens lemma라고 하는 content formula가 성립하며 Gauss lemma가 성립하는 domain이 characterize 되어 있다. 두 번째 목표는 멱급수들에 대해 성립하는 content formula를 찾고 Gauss lemma의 멱급수 version이 성립하는 domain을 characterize하는 것이었다. 멱급수에 대해서는 Dedekind-Mertens lemma가 성립하지 않는다. 약간의 조건을 만족하는 power series에 대해 Dedekind-Mertens lemma에 상응하는 content formula가 성립함을 보이고, power series에 대해 Gauss lemma의 divisorial version이 성립하는 domain을 완벽히 characterize하였다.
마지막 목표는 valuation domain상의 멱급수 환의 GCD property를 다루는 것이었으나 목표를 수정하여 AGCD domain상의 다항식환의 AGCD property를 연구하여 소기의 성과를 거두었다.

□ 연구개발결과의 중요성
다항식 환과 멱급수 환에 대한 연구는 환론의 핵심 중 하나이다. 첫 번째 결과는 Noetherian ring에 대한 Hilbert Basis Theorem의 piecewise Noetherian ring version을 연구한 것이다. 이는 아직 미해결 문제인 멱급수 환의 차원에 관한 연구와 관련이 있다. 또한 멱급수에 대한 Gauss lemma의 divisorial version이 성립하는 domain을 완벽히 규명하였는데 이것은 오랜 미해결 문제 중 하나를 해결한 것이다. 이 결과는 또 하나의 미해결 문제인 멱급수에 대한 Gauss lemma가 성립하는 domain을 규명하는 문제 해결에 한 걸음 가까이 간 것으로 간주된다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• (1) piecewise Noetherian property ... 4
• (2) content formula ... 6
• (3) GCD domain ... 7
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 8
• (1) piecewise Noetherian ring ... 8
• (2) content formula ... 11
• (3) GCD domain ... 13
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 14
• 4. 참고문헌 ... 15
• 5. 연구성과 ... 16
• 대표적 연구실적 ... 18
• 끝페이지 ... 25