초록 ▼

□ 연구개요
자연에서 일어나는 현상들은 결정적으로 일어나기보다는 무작위적인 외부환경의 영향을 받음으로 무작위적인 외부환경이 노이즈로 표현이 되는 확률 편미분 방정식이 결정적 편미분 방정식을 보완하는 수학적 모델이 되고 있다. 하지만 확률 편미분 방정식에 관한 수학적 연구는 대부분 해의 존재성과 유일성에 대한 것으로서 무작위적인 외부환경이 미치는 영향을 제대로 이해하기 위해서는 확률 편미분 방정식의 정성적 성질을 이해할 수 있는 수학적 이론이 절실히 필요하다. 따라서 본 연구자는 이과제를 통해 수학적으로 결과가 미비한 확률 편미

□ 연구개요
자연에서 일어나는 현상들은 결정적으로 일어나기보다는 무작위적인 외부환경의 영향을 받음으로 무작위적인 외부환경이 노이즈로 표현이 되는 확률 편미분 방정식이 결정적 편미분 방정식을 보완하는 수학적 모델이 되고 있다. 하지만 확률 편미분 방정식에 관한 수학적 연구는 대부분 해의 존재성과 유일성에 대한 것으로서 무작위적인 외부환경이 미치는 영향을 제대로 이해하기 위해서는 확률 편미분 방정식의 정성적 성질을 이해할 수 있는 수학적 이론이 절실히 필요하다. 따라서 본 연구자는 이과제를 통해 수학적으로 결과가 미비한 확률 편미분 방정식의 정성적 성질을 정량적으로 표현할 수 있는 수학적 연구를 진행하였다.

□ 연구 목표대비 연구결과
본 연구과제는 확률 편미분 방정식의 정성적 성질 연구로서 다음과 같은 연구 결과를 얻었다.

첫째, 거시적 프랙탈 이론을 이용하여 백색 노이즈와 컬러 노이즈에 의해 유도된 확률 편미분 방정식에서 간헐적 공간의 기하학적 구조가 multi-fractal함을 증명하였다. 더 나아가 일반적인 무작위 행보의 거시적 프랙탈 차원에 대한 공식을 도출하여 Barlow와 Taylor에 의해 제기된 문제를 해결하였다.

둘째. 노이즈의 상관관계 구조에 따른 n차원 비선형 확률 열 방정식의 적률과 간헐성과의 관계를 규명하였다.

셋째, 3차원 확률 편미분 방정식에서 노이즈의 상관관계 구조가 해의 정칙성에 미치는 영향 연구를 통해 해가 임의의 닫힌 공간에서 불연속적이게 되는 노이즈의 상관관계 구조를 찾아내었다.

넷째, 1차원 비선형 확률 열 방정식의 장기간 행동을 조사하여 해의 최댓값이 시간이 흐름에 따라 0으로 소멸함을 증명하였다.

□ 연구개발결과의 중요성
본 연구과제는 수학적으로 연구 결과가 미비한 확률 편미분 방정식의 정성적 성질에 대한 연구로서 본 과제를 통해 정성적 성질인 간헐성 및 소멸성을 이해할 수 있는 이론이 제시되었고, 또한 노이즈의 상관관계 구조가 간헐성 및 정칙성에 미치는 영향을 파악하게 되었다. 특히, 거시적 프랙탈 이론을 이용한 간헐적 공간의 기하학적 연구는 새로운 접근 방법으로서 여러 확률 미분 방정식 뿐만 아니라 다양한 확률 모델의 거시적 기하학적 구조를 밝히는데 많은 도움이 되리라 생각한다. 더 나아가 본과제를 통해 본 연구과제에서 다룬 방정식과 연관이 있는 KPZ 방정식, 폴리머 모델에서 Partition 함수 등 다른 모델들을 더 자세히 이해하게 될 것이다.

(출처 : 연구결과 요약문 3p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 3
• 목차 ... 4
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 5
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 5
• 1) 거시적 프랙탈 이론을 이용한 1차원 확률 편미분 방정식의 간헐성 연구 ... 5
• 2) 비국소 작용소와 컬러 노이즈에 의해 유도된 n차원 확률 편미분 방정식의 간헐성 연구 ... 6
• 3) 일반적인 무작위 행보의 거시적 프랙탈 차원 공식 연구 ... 7
• 4) 노이즈의 상관관계 구조에 따른 비선형 확률 열 방정식의 적률과 간헐성 연구 ... 7
• 5) 노이즈의 상관관계 구조에 따른 3차원 비선형 확률 열 방정식의 정칙성 연구 ... 8
• 6) 1차원 확률 열 방정식의 소멸성 연구 ... 8
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 9
• 4. 참고문헌 ... 10
• 5. 연구성과 ... 11
• 대표적 연구실적 ... 15
• 끝페이지 ... 26