초록 ▼

□ 연구의 목적 및 내용
세 가지 방향으로 매듭과 그래프들의 특성을 연구한다.
- 매듭의 중요한 불변량들인 stick number, lattice stick number, minimum length, ropelength 등과 “DNA의 이중나선구조의 최소길이”에 관한 연구
- Physical quantum system을 이해하기 위한 knot mosaic system에 관한 연구로, 매듭의 크기를 나타내는 불변량인 mosaic number의 상한을 찾는 문제와 mosaic system 안에서 표현할 수 있는 매듭들의

□ 연구의 목적 및 내용
세 가지 방향으로 매듭과 그래프들의 특성을 연구한다.
- 매듭의 중요한 불변량들인 stick number, lattice stick number, minimum length, ropelength 등과 “DNA의 이중나선구조의 최소길이”에 관한 연구
- Physical quantum system을 이해하기 위한 knot mosaic system에 관한 연구로, 매듭의 크기를 나타내는 불변량인 mosaic number의 상한을 찾는 문제와 mosaic system 안에서 표현할 수 있는 매듭들의 수인 total number of knot mosaics의 값을 찾는 문제에 관한 연구
- 그래프의 intrinsical knottedness에 관한 연구로, 22개 이하의 선을 가지는 모든 그래프들에 대한 분류 문제 연구

□ 연구결과
- 2-bridge 매듭과 일반적인 매듭에서의 minimum length와 ropelength의 상한을 구함
- Ropelength와 stick number의 증가율 범위 측정과 DNA의 이중나선구조의 ropelength를 계산함
- Theta-curve와 trivalent graph의 arc presentation을 정의하고 관련된 성질들을 연구함
- Total number of knot mosaics를 구해내는 알고리즘을 완성
- Total number of knot toroidal mosaics를 구해내는 알고리즘을 완성
- Total number of knot cubical mosaics를 구해내는 알고리즘을 완성
- Intrinsical knottedness에 따른 22개의 선으로 이루어진 bipartite인 그래프의 완전한 분류
- Intrinsical knottedness에 따른 22개의 선으로 이루어진 모든 그래프의 완전한 분류
- Intrinsical knottedness에 따른 23개의 선으로 이루어진 bipartite인 그래프의 완전한 분류
본 연구팀은 위 결과들과 관련하여 최근 4년간 23편의 논문을 게재하였고 (References [1]~[23] 참조), 현재 14편의 논문을 작성 또는 투고중이다(References [24]~[37] 참조). 이 외에도 많은 문제들이 산재되어 있어 향후 수년간 많은 결과물들이 나올 것으로 여겨진다.

□ 연구결과의 활용계획
- Stick number와 ropelength에 관한 연구는 아직도 미개척 분야가 많은데, 본 연구 결과로 인해 기존의 매듭이론의 여러 문제들을 푸는 데 도움을 줄 뿐 아니라 분자 구조와 DNA 등 물리학 분야에서도 활용될 가능성이 높다.
- Mosaic system의 미해결 문제가 본 연구로 인해 풀려짐으로, 이 분야에 멈췄던 연구들이 다시 활발히 진행될 수 있을 것으로 예상된다. 특히 Kauffman이 소개한 Quantum knot system과 관련한 많은 응용이 진행되어지는 효과를 얻을 것으로 예상된다. 아울러 toroidal mosaic, cubical mosaic 등과 같은 더 응용된 mosaic에 관련된 연구도 탄력을 받을 것으로 예상된다.
- 본 연구 결과를 통해 오래된 미해결 문제 중의 하나인 minor minimal intrinsically knotted인 그래프들의 완전한 집합을 찾는 것에 큰 도움이 될 것이라 예상된다. 그리고 많은 intrinsically knotted인 그래프들을 분류함으로써 이러한 그래프들이 가지고 있는 알려지지 않은 성질들의 발견 또한 기대 할 수 있다. Intrinsical knottedness 여부를 확인하는 주된 방법중의 하나인 2-apex을 확장시켜서 n-apex인 그래프들이 가질 수 있는 구조적 특징을 찾을 수 있을 것이라 예상된다.

(출처 : 연구결과 요약문 4p)

Abstract ▼

□ Purpose& contents
We study some aspects of knots and graphs in the following three directions;
- Study of stick number, lattice stick number, minimum length and ropelength which are important invariants of knots, and the minimal ropelength of the double helix structure of DNA
- Study of k

□ Purpose& contents
We study some aspects of knots and graphs in the following three directions;
- Study of stick number, lattice stick number, minimum length and ropelength which are important invariants of knots, and the minimal ropelength of the double helix structure of DNA
- Study of knot mosaic system to understand physical quantum system; (1) finding an upper bound of the mosaic number of knots, and (2) enumeration of knot mosaics
- Study of intrinsical knottedness of graphs; classification of intrinsically knotted graphs with at most 22 edges

□ Result
- Finding upper bounds of minimum length and ropelength of knots and 2-bridge knots
- Measuring the growth rate range of ropelength and stick number of knots, and calculating the ropelength of the double helix structure of DNA
- Defining arc presentations of theta-curves and trivalent graphs, and study the related properties
- Completing an algorithm to finding the total number of knot mosaics
- Completing an algorithm to finding the total number of knot toroidal mosaics
- Completing an algorithm to finding the total number of knot cubical mosaics
- Classifying all intrinsically knotted bipartite graphs with at most 22 edges
- Classifying all intrinsically knotted graphs with at most 22 edges
- Classifying all intrinsically knotted bipartite graphs with 23 edges
Our research team have published 23 papers during past 4 years (References [1]~[23]), and have written or submitted 14 papers so far (References [24]~[37]). In these research areas, there are many problems to be solved and we expect that many important results will be presented by our team.

□ Expected Contribution
- Stick number and ropelength study are still unexplored. The result of this research is likely helping to solve various problems in Knot Theory, and to be used in Physics as well as in molecular structure and DNA.
- As the unsolved problems of Mosaic Theory are solved by this research, it is expected that the researches that have stopped in this field will be actively resumed. In particular, many applications related to the quantum knot system introduced by Kauffman are expected to be effective. In addition, studies on more applied mosaics such as toroidal mosaic and cubical mosaic are expected to be resilient.
- The results of this research are expected to be great help in finding a complete set of graphs that are one of the oldest unsolved problems, minor minimal intrinsically knotted graphs. And by classifying many intrinsically knotted graphs, we can expect to discover the unknown properties of these graphs. It is expected that by expanding 2-apex, one of the main methods to check intrinsical knottedness, we can find the structural features that n-apex graphs can have.

(출처 : SUMMARY 5p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 목차 ... 2
• 연구계획 요약문 ... 3
• 연구결과 요약문 ... 4
• 한글요약문 ... 4
• SUMMARY ... 5
• 연구내용 및 결과 ... 6
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 6
• 2. 국내외 기술개발 현황 ... 7
• 3. 연구수행 내용 및 결과 ... 9
• 4. 목표달성도 및 관련분야에의 기여도 ... 10
• 5. 연구결과의 활용계획 ... 11
• 6. 연구과정에서 수집한 해외 과학기술정보 ... 13
• 7. 주관연구책임자 대표적 연구실적 ... 13
• 8. 참고문헌 ... 13
• 9. 연구성과 ... 16
• 10. 국가과학기술지식정보서비스에 등록한 연구시설‧장비 현황 ... 18
• 11. 연구개발과제 수행에 따른 연구실 등의 안전조치 이행실적 ... 18
• 12. 기타사항 ... 18
• 별첨1. 대 표 연 구 실 적 ... 19
• 끝페이지 ... 31