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매듭이론은 공간 속의 두께가 없는 끈의 얽힘에 대하여 연구하는 위상수학의 한 분야이다. 수학적 매듭은 3차원 유클리드 공간 속에 매장된 단위원의 이미지를 의미하며, 이는 m차원 유클리드 공간 속에 매장된 n차원 구의 이미지를 의미하는 고차원 매듭으로 일반화된다.
매듭이론의 기본적인 문제는 주어진 두 매듭의 같고 다름을 구별하는 것이다. 이론적으로 두 매듭이 같다는 것은 하나의 매듭을 또 다른 매듭으로 보내주는 전공간 동위(ambient isotopy)가 존재할 때로 정의한다. 하지만 이 정의만을 이용하여 매듭을 다루는 것은 쉽지 않으므로, 매듭을 연구하기 위해 매듭 ...

매듭이론은 공간 속의 두께가 없는 끈의 얽힘에 대하여 연구하는 위상수학의 한 분야이다. 수학적 매듭은 3차원 유클리드 공간 속에 매장된 단위원의 이미지를 의미하며, 이는 m차원 유클리드 공간 속에 매장된 n차원 구의 이미지를 의미하는 고차원 매듭으로 일반화된다.
매듭이론의 기본적인 문제는 주어진 두 매듭의 같고 다름을 구별하는 것이다. 이론적으로 두 매듭이 같다는 것은 하나의 매듭을 또 다른 매듭으로 보내주는 전공간 동위(ambient isotopy)가 존재할 때로 정의한다. 하지만 이 정의만을 이용하여 매듭을 다루는 것은 쉽지 않으므로, 매듭을 연구하기 위해 매듭 불변량(knot invariant)이라는 새로운 도구의 개발이 요구되었다. 매듭 불변량은 같은 매듭에 대하여 같은 값을 주는 속성을 의미한다.

콴들(quandle)은 매듭 다이어그램의 색칠에서 유도된 대수적 구조이다. 매듭이론학자들은 콴들을 이용하여 매듭 콴들(knot quandle), 콴들 색칠가능성(quandle colorability), 콴들 코사이클 불변량(quandle cocycle invariant) 등 새로운 종류의 매듭 불변량을 발견하였다.
콴들 호모로지 이론은 군 호모로지 이론과 비슷한 방법으로 정의되며, 이를 이용하여 콴들 코사이클 불변량이 정의되었다. 콴들 코사이클 불변량은 1차원 매듭 뿐 아니라 고차원 매듭까지 구별할 수 있는 매듭 불변량으로 다양한 매듭이론 연구에 응용되고 있다. 또한, 콴들 2-코사이클을 이용하여 군의 확장과 비슷하게 콴들의 확장이 정의된다. 최근 매듭이론에서는 콴들의 다양한 대수적인 성질과 콴들 호모로지 이론, 그리고 콴들 코사이클 불변량 간의 관계에 대하여 활발히 연구되고 있다.

본 논문에서는 콴들의 대수적인 성질, 특히 콴들 코호모로지 군과 콴들의 확장에 대하여 다루고 있다.
먼저 본 논문에서는 유한개의 원소를 가지는 비연결된 연산표가 콴들 연산표가 될 수 있는 필요조건을 밝혔다. 콴들 연산표는 콴들의 구조를 쉽게 연구할 수 있는 도구 중 하나로 라이데마이스터 두 번째 변형에 해당하는 콴들의 조건에 따르면, 모든 콴들의 연산표는 치환들의 순열로 나타낼 수 있다. 만약 콴들의 연산표가 비연결성을 가지면, 그 연산표는 네 개의 부분표로 나누어지고, 각 부분표를 구성하는 치환은 상호 배반이므로 전체 연산표의 각 치환은 상호 배반인 치환들의 곱으로 나타내어진다. 본 논문에서는 이러한 형태를 가지는 연산표가 콴들의 연산표가 될 수 있는 치환들의 충분조건을 구하였다.
또한 본 논문은 콴들의 코호모로지군과 확장에 주목하여, 군의 확장과 콴들의 확장사이의 관계에 대하여 밝혔다. 1980년대, D. Joyce와 S. Matveev는 독자적으로 콴들을 처음 정의하면서, 주어진 군과 자기동형사상을 이용하여 군 상에 콴들 연산을 정의하는 방법을 소개하였다. 본 논문에서는 주어진 군의 두 번째 코호모로지군과 그 군의 콴들로서의 두 번째 코호모로지 군 사이에 준동형사상이 있음을 보였고, 이를 이용하여 각각의 확장 사이의 관계에 대해서도 설명하였다. 특히, 콴들의 내부자기동형사상군에 주목하여, 주어진 콴들의 두 번째 코호모로지 군과 그 내부자기동형사상군의 콴들로서의 두 번째 코호모로지 군 사이에 준동형사상이 있음을 증명하였다. 또한 본 논문은 확장된 콴들의 내부자기동형사상이 갖는 성질에 대하여 설명하고 있다.