초록 ▼

□ 연구개요
1960년대 S. Smale 에 의해 시작된 동력계의 안정성에 대한 연구는 미분가능 동력계의 연구 분야에서 매우 중요한 연구주제였다. 따라서 본 연구에서는 동력계의 안정성을 보장하는 것으로 알려진 필요충분조건을 일반화하는 연구에 집중하였으며, 이를 위해 측도를 적용하여 위상학적 관점의 동력학과 에르고딕 분야를 융합한 연구 결과를 도출하기 위하여 노력하였다. 그리고 이산동력계에서 다양한 dynamic 성질을 확인한 후, 이를 연속동력계로 확장하는 방향성을 갖고 연구를 진행하였다.

□ 연구 목표대비 연구결

□ 연구개요
1960년대 S. Smale 에 의해 시작된 동력계의 안정성에 대한 연구는 미분가능 동력계의 연구 분야에서 매우 중요한 연구주제였다. 따라서 본 연구에서는 동력계의 안정성을 보장하는 것으로 알려진 필요충분조건을 일반화하는 연구에 집중하였으며, 이를 위해 측도를 적용하여 위상학적 관점의 동력학과 에르고딕 분야를 융합한 연구 결과를 도출하기 위하여 노력하였다. 그리고 이산동력계에서 다양한 dynamic 성질을 확인한 후, 이를 연속동력계로 확장하는 방향성을 갖고 연구를 진행하였다.

□ 연구 목표대비 연구결과
본 연구과제는 동력계이론에서 가장 중요한 연구주제 중에 하나인 ‘dynamical system의 안정성‘에 관한 연구를 하는데 그 목표를 두었으며, 이를 위하여 가장 안정적인 구조인 쌍곡성(hyperbolicity)을 만족하는 시스템의 충분조건을 찾기 위한 연구를 시도하였고 특히 기존에 알려진 충분조건들을 일반화하고자 하였다.
기존의 동력계의 안정성에 대한 결과들은 위상학적 측면에서 주로 연구되었기에, 이 연구과제를 통하여 해석학적 접근방법인 ‘측도’를 적용하여 expansivity, shadowing property, topological stability 등을 일반화한 weak measure expansive homeomorphism, measure shadowable flow, measure topological stable flow 등을 정의하였고 이 일반화된 개념들을 이용하여 주어진 시스템의 쌍곡성 또는 그에 준하는 성질을 갖는지 증명하였다. 그 내용을 간략하게 소개하면 다음과 같다.
- compact smooth manifold 상에서 주어진 diffeomorphism f가 C¹ stably weak measure expansivity 성질을 만족한다면, f는 Ω-stability이다.
- C¹ generic 하게 diffeomorphism f가 weak measure expansivity라면 f는 Axiom A와 no cycle condition을 동시에 만족한다.
- 모든 measure expansive flow가 measure shadowing property를 갖는다면, 그 flow는 measure topological stability이다.
- 주어진 homeomorphism과 그에 대응하는 suspension flow에 대하여 suspension flow가 measure shadowing property를 만족하면 homeomorphism 도 measure shadowing property를 만족한다.
- positively weak measure expansive differentiable map들의 집합의 C¹ interior의 모든 원소들은 expanding 성질을 갖는다.
- C¹ generic 하게 positively weak measure expansive differentiable map과 expanding map은 서로 동치이다.

□ 연구개발결과의 중요성
기존의 expansivity 와 shadowing property 에 대한 개념을 일반화시키고 확장하였다는 측면에서 기존에 다루기 힘들었던 다양한 동력학적 성질을 만족하는 집합의 안정성을 연구하는 데 있어서 편리함을 제공할 수 있을 것이다. 특히 dynamics 를 연구함에 있어 위상학적 관점 대신 ergodic 성질을 이용한 본 연구과제의 결과들이 measure theory의 이론 연구에도 많은 도움을 줄 것으로 생각된다. 나아가 유체역학, 물리학 분야에서 실제 실험하기에 앞서 수학적 모델링을 제공할 수 있기에 타학문을 연구하는데 있어 많은 연결고리를 만들어 줄 것으로 생각된다.
또한 제안된 연구 과제들은 국내․외에서 연구가 되고는 있지만, 연구자가 많지는 않은 현실이다. 이는 연구에 대한 가치가 높은 본 연구 분야의 이론 개발에 본격적으로 참여함으로써 연구원들의 수학적 역량을 강화함은 물론, 국제적인 흐름에 맞추어 이 분야의 연구를 한층 더 넓히게 된다는 것을 의미한다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 3
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 4
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 4
• 4. 참고문헌 ... 5
• 5. 연구성과 ... 5
• 끝페이지 ... 6