초록 ▼

□연구개요
3차원 유클리드 공간의 단위구면에 놓인 매립가능한 자유경계 극소 원환(annulus)은 현수면일 것이라는 Fraser-Schoen의 예측의 증명을 목표로 설정하고, 현수면의 결정 조건과 이를 상수평균곡률 곡면으로 확장한 Delaunay type 곡면의 결정 조건에 대하여 연구했습니다.
전곡률이 4pi보다 작거나 같은 단순연결 곡선들을 경계로 갖는 극소곡면은 매립가능합니다. 매립가능 극소곡면의 존재를 보장하는 경계의 기하학적 조건에 관하여 연구하며, 특히 경계가 평면에 놓인 단순연결 곡선들인 경우에 관하여 연구했

□연구개요
3차원 유클리드 공간의 단위구면에 놓인 매립가능한 자유경계 극소 원환(annulus)은 현수면일 것이라는 Fraser-Schoen의 예측의 증명을 목표로 설정하고, 현수면의 결정 조건과 이를 상수평균곡률 곡면으로 확장한 Delaunay type 곡면의 결정 조건에 대하여 연구했습니다.
전곡률이 4pi보다 작거나 같은 단순연결 곡선들을 경계로 갖는 극소곡면은 매립가능합니다. 매립가능 극소곡면의 존재를 보장하는 경계의 기하학적 조건에 관하여 연구하며, 특히 경계가 평면에 놓인 단순연결 곡선들인 경우에 관하여 연구했습니다.

□연구 목표대비 연구결과
최종목표는 증명하지 못했지만, 각각의 연구주제에 대하여 부분적인 결과 또는 깊은 관련을 갖는 문제에 관한 결과를 얻을 수 있었습니다.
3차원 단위구면의 회전형 극소 원환면(torus)가 만족하는 기하학적 성질로부터 3차원 유클리드 공간의 극소 원환의 결정 조건을 추정하고, 이를 증명하여 서로 다른 공간에 놓인 극소곡면들 사이의 유사성을 확인하였습니다. 특히 중심과 반지름이 연속적으로 변화하는 2차원 구와 곡선에서 접하는 극소곡면은 현수면의 일부임을 증명했습니다. 또한 이 결과를 상수평균곡률 곡면과 고차원 극소초곡면으로 확장할 수 있었습니다.
평면에 놓인 단순연결 곡선들이 볼록 분할이라는 강한 기하학적 성질을 만족하면 매립가능한 극소곡면의 경계가 된다는 것을 증명할 수 있었습니다. 특히 단일한 조르단곡선이 볼록 분할 조건을 만족하면 매립가능한 극소곡면의 경계가 될 수 있고, 이 극소곡면은 최소넓이를 갖는 극소곡면은 아닐 수 있다는 것을 확인하였습니다.

□연구개발결과의 중요성
현수면은 가장 간단한 형태의 회전형 극소곡면으로 현수면의 기하학적 결정 조건은 극소곡면론 연구에 있어 중요한 연구주제 가운데 하나입니다. 특히 3차원 구면공간의 극소 원환면과 관련이 있는데, 유사성과 차이를 밝혀냄으로써 두 공간 사이의 관계를 파악하는 수단으로 이용할 수도 있습니다. 또한 극소곡면을 확장한 상수평균곡률 곡면이나 고차원 극소부분다양체 등을 연구하는데 기초적인 도구가 되기도 합니다. 또한 극소곡면의 매립가능성은 곡면의 존재성, 유일성과 같은 기초적인 연구 주제이며, 중요한 기하학적 성질입니다. 매립가능 극소곡면이 존재하면 관련 연구의 도구로 유용하게 사용될 수도 있고, 존재한다는 것을 밝힘으로써 놓여있는 공간의 성질을 규명할 수도 있습니다. 이런 관점에서 매립가능 극소곡면이 존재하는 경계곡선의 기하학적 조건을 찾는 문제는 그 자체로도 매우 중요하며, 유용한 도구가 될 수 있습니다.

(출처 : 요 약 문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 3
• 2. 연구수행내용 및 연구결과 ... 3
• 1. 연구수행내용 ... 3
• 2. 연구결과 ... 5
• 3. 연구개발결과의 중요성 ... 5
• 4. 참고문헌 ... 7
• 5. 연구성과 ... 8
• 끝페이지 ... 8