초록 ▼

□ 연구개요
우리는 무한 이산군의 동질공간에 대한 미분가능 작용에 대해 다음 두 가지 문제를 제시하였다.
(문제A) Sullivan의 구조적 안정성 정리를 만족하는 word hyperbolic이 아닌 이산군의 새로운 예제를 찾는다.
(문제B) 이산군이 word hyperbolic이고 옹골인자가 없는 반단순 리군의 깃발다양체인 동질공간에 선형으로 작용할 때는 소위 Anosov 작용이 구조적안정성정리를 만족한다. 이러한 상황에서 특히 이산군이 2차 자유군이고 리군이 SL(3,R)인 경우에 해당 캐릭터다양체에서 모든 An

□ 연구개요
우리는 무한 이산군의 동질공간에 대한 미분가능 작용에 대해 다음 두 가지 문제를 제시하였다.
(문제A) Sullivan의 구조적 안정성 정리를 만족하는 word hyperbolic이 아닌 이산군의 새로운 예제를 찾는다.
(문제B) 이산군이 word hyperbolic이고 옹골인자가 없는 반단순 리군의 깃발다양체인 동질공간에 선형으로 작용할 때는 소위 Anosov 작용이 구조적안정성정리를 만족한다. 이러한 상황에서 특히 이산군이 2차 자유군이고 리군이 SL(3,R)인 경우에 해당 캐릭터다양체에서 모든 Anosov 작용을 찾는다.

□ 연구 목표대비 연구결과
각각의 문제와 관련하여 2개씩 총 4개의 세부과제를 수행하였으며 그 중 3개의 과제를 완료하였고 1개는 현재 진행 중이다.
(세부과제1) Sullivan의 구조적 안정성 정리의 가정인 S-hyperbolicity를 완화한 meandering hyperbolicty 조건을 제시하였고, 이 완화된 가정에 대해서도 구조적 안정성 정리가 성립함을 보였다, 아울러 반단순 리군 고른격자(uniform lattice)가 깃발 다양체에 작용할 때도 이러한 meandering hyperbolicty 조건을 만족함을 보임으로서 그러한 작용이 구조적으로 안정됐다는 상당히 놀라운 사실을 보였다.
(세부과제2) 원추점(cone point)의 각도가 원주율의 무리수배로 고정된 쌍곡 원환면(hyperbolic torus)에 해당하는 표현들은 캐릭터다양체 X(F_2,SL(2,R))에서 2차원 부분다양체를 이루는데, 이러한 표현들이 대수적으로 (따라서 구조적으로도) 안정되지 않았다는 것을 보였다.
(세부과제3) 경계가 3개인 구(3-holed sphere)의 기본군(fundamental group)의 경계 홀로노미(boundary holonomy)가 준멱일원(quasi-unipotent)으로 고정된 소위 Barbot type 표현들은 캐릭터다양체 X(F_2,SL(3,R))에서 2차원 부분다양체를 이루는데, 그 위에서 약분가능 표현(reducible representation)과 R.Schwartz의 파푸스(Pappus) 표현을 포함하는 상대적(relatively) Anosov 표현들을 찾았다. 그러한 상대적 Anosov 표현들이 이루는 열린집합의 경계 중 네 개의 점을 규명하였고 전체 경계를 규명하는 작업은 현재 진행중이다.
(세부과제4) 옹골 쌍곡 삼각형 콕스터군(compact hyperbolic triangle Coxeter group) T와 리군 SL(3,R)에 대한 캐릭터다양체 X(T,SL(3,R))는 1차원인데, 그 위에서 Anosov 표현들을 완벽하게 규명하였다.

□ 연구개발성과의 활용 계획 및 기대효과(연구개발결과의 중요성)
(세부과제1)의 결과는 고계 고른격자들이 리군 안에서 단단하다(rigid)는 고전적이고 중요한 결과에 비추어 보면 모순되지는 않으나, 고계 고른격자들이 hyperbolic이라는 특성을 갖지 않는다는 전통적인 믿음에 반하는 매우 반직관적인 결과이다. 관련 분야 학자들에게도 매우 흥미로운 결과로 받아들여져서 우리가 제시한 meandering hyperbolicty 라는 개념을 더 깊이 연구하게 되는 계기가 되길 기대한다.
(세부과제2)의 접근방법은 관심 있는 대상의 여집합을 살펴봄으로써 본 대상을 연구하는 것인데, 캐릭터다양체의 구조적 안정성을 갖는 점들을 탐구하는 방법으로 새로운 것이라는데 의의가 있다.
(세부과제3)과 (세부과제4)의 의의는 우리가 식별해낸 Anosov 표현이 고계 리군의 Anosov 표현 중 캐릭터다양체에서 닫혀있지(closed) 않은 성질, 즉 경계를 갖는 열린집합을 이루는 성질을 만족하는 첫번째 예제라는 점에 있다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 2. 연구개발과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 5
• 3. 연구개발과제의 수행 결과 및 목표 달성 수준 ... 7
• 1) 정성적 연구개발성과(연구개발결과) ... 7
• 2) 세부 정량적 연구개발성과 ... 7
• 3) 목표 달성 수준 ... 7
• 4) 목표 미달 시 원인 분석 ... 8
• 4. 연구개발성과의 관련 분야에 대한 기여 정도(연구개발결과의 중요성) ... 8
• 5. 연구개발성과의 관리 및 활용 계획 ... 9
• 6. 참고문헌 ... 9
• [붙임1] 세부 정량적 연구개발성과 ... 10
• [붙임2] 연구책임자 대표적 연구실적 및 증빙(요약문 및 사본) ... 11
• 끝페이지 ... 18