초록 ▼

□ 연구개요
응용대수기하학(Applied Algebraic Geometry) 연구를 통해 계산대수기하학 분야의 매우 중요한 문제인 대수다양체를 결정하는 방정식들의 복잡도를 다양체의 특이점들과의 관계로써 새롭게 이해하고 Macaulay 계산 알고리즘과 필요한 수학적 계산에 적합한 알고리즘 개발을 통해 방정식들 간의 관계와 대수적 기하학적 구조 사이의 연결고리를 이해하는 연구를 수행하였다. 또한 대수기하학을 기반으로 한 양자 안전 암호에 대한 연구 및 이론적 지식을 제공하는 연구를 통해 다변수 연립다항식의 해를 구하는 것이 NP-

□ 연구개요
응용대수기하학(Applied Algebraic Geometry) 연구를 통해 계산대수기하학 분야의 매우 중요한 문제인 대수다양체를 결정하는 방정식들의 복잡도를 다양체의 특이점들과의 관계로써 새롭게 이해하고 Macaulay 계산 알고리즘과 필요한 수학적 계산에 적합한 알고리즘 개발을 통해 방정식들 간의 관계와 대수적 기하학적 구조 사이의 연결고리를 이해하는 연구를 수행하였다. 또한 대수기하학을 기반으로 한 양자 안전 암호에 대한 연구 및 이론적 지식을 제공하는 연구를 통해 다변수 연립다항식의 해를 구하는 것이 NP-문제라는 것을 이용한 알고리즘인 rainbow scheme의 단점을 개선하는 연구와 텐서기하학(tensor geometry)연구를 통해 복잡도 이론(complexity theory), 양자정보학(Quantum informatics) 등에서 나타나는 중요한 수학적 개념인 텐서 분해(tensor decompostion), 텐서 rank 및 그 응용 연구를 수행하였다.

□ 연구 목표대비 연구결과
연구목표로 제시한 연구 내용은 다음과 같으며 각각의 연구 주제들에 대한 연구결과들을 얻을 수 있었다.
- 사영다양체의 결정방정식들의 복잡도와 특이점들과의 관계 연구
- 결정방정식들의 복잡도를 측정하는 정칙성(regularity), reduction number에 관한 연구 및 이에 필요한 계산알고리즘 개발
- 사영다양체의 베티 수들의 asymptotic 소멸가설과 정규분포 가설연구
- Tensors, symmetric tensors 그리고 skew-symmetric tensors들의 매개변수공간으로서의 Segre 다양체, Veronese다양체 및 Grassmann 다양체의 higher secant variety의 기하학 연구
- 텐서 분해와 텐서계수(tensor rank)들에 대한 유계공식 증명과 계산알고리즘 개발
- 다항식 기반 최적화(polynomial optimization) 및 다항식 기반 암호연구에의 응용 가능성 연구,
- 응용대수기하학 연구 및 교육프로그램 개발과 융합적 인재양성등을 제시하였으며 소멸가설과 정규분포가설을 제외하고는 각각의 연구주제에 대해서 목표대비 80% 정도의 성과를 이룬 것으로 판단된다.

□ 연구개발성과의 활용 계획 및 기대효과(연구개발결과의 중요성)
- 복소다양체들(특히 고차시컨트다양체)의 결정방정식과 관련된 복잡도 연구는 밀레니엄 문제인 P versus NP 문제와 많은 연관이 있어서 수학적 관심이 높은 분야이며 국제경쟁력을 확보할 수 있다.
- 다항식 기반 양자안전암호의 단점을 개선할 수 있는 후속연구를 통해 더욱 효율적인 암호개발이 가능하다.
- 그뢰브너 기저를 통한 대수기하학의 degree complexity 연구를 통해 양자암호의 안전성 연구도 좋은 연구주제로써 기대가 된다.
- 실제 산업현장 문제에 대한 대수 및 대수기하학적 기반의 해결책을 모색하고, 융합연구가 가능한 수학전문가 양성 및 산업수학의 활성화에도 기여하였다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 1). 연구의 필요성, 목적 ... 4
• 2) 연구 내용 및 최종목표 ... 5
• 3) 연구범위 및 중요성 ... 5
• 2. 연구개발과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 8
• 1) 1년차 (2017년 09-01-2018년 08-30) ... 8
• 2) 2년차 (2018년 09-01-2019년 08-30) ... 9
• 3) 3년차 (2019년 09-01-2020년 08-30) ... 10
• 4) 4년차 (2020년 09-01-2021년 08-30) ... 11
• 3. 연구개발과제의 수행 결과 및 목표 달성 수준 ... 13
• 1) 정성적 연구개발성과(연구개발결과) ... 13
• 2) 세부 정량적 연구개발성과 ... 15
• 3) 목표 달성 수준 ... 15
• 4) 목표 미달 시 원인 분석 ... 16
• 4. 연구개발성과의 관련 분야에 대한 기여 정도(연구개발 결과의 중요성) ... 17
• 1) 연구결과의 의미와 중요한 성과 ... 17
• 2) 연구결과들의 응용가능성과 융합연구가 가능한 학문후속세대 양성 ... 18
• 5. 연구개발성과의 관리 및 활용 계획 ... 18
• 6. 참고문헌 ... 19
• 붙임1 세부 정량적 연구개발성과 ... 20
• 붙임2 연구책임자 대표적 연구실적 및 증빙(요약문 및 사본) ... 21
• 끝페이지 ... 29