초록 ▼

□ 연구개요
모멘트문제는 모멘트측도의 적분 구간에 의하여 분류되며, 그 종류는 스틸체스모멘트문제, 햄버거모멘트문제, 하우스돌프모멘트문제, 절삭모멘트문제 등 다양하다. 본 연구의 목표는 이와 같은 모멘트문제를 바탕으로 이것과 관련된 여러 작용소로 부터 나타나는 힐버트공간 작용소에 관한 미해결문제 및 그 작용소의 성질들을 연구한다. 즉, 방향트리상의 부분정규완전성문제, 햄버거모멘트수열의 알러스게 변환의 관계성의 연구, 조건적 양의 절대수열을 이용한 작용소의 부분정규특성화 문제, 작용소의 불변부분공간문제, 수반 합성작용소와 스틸체스

□ 연구개요
모멘트문제는 모멘트측도의 적분 구간에 의하여 분류되며, 그 종류는 스틸체스모멘트문제, 햄버거모멘트문제, 하우스돌프모멘트문제, 절삭모멘트문제 등 다양하다. 본 연구의 목표는 이와 같은 모멘트문제를 바탕으로 이것과 관련된 여러 작용소로 부터 나타나는 힐버트공간 작용소에 관한 미해결문제 및 그 작용소의 성질들을 연구한다. 즉, 방향트리상의 부분정규완전성문제, 햄버거모멘트수열의 알러스게 변환의 관계성의 연구, 조건적 양의 절대수열을 이용한 작용소의 부분정규특성화 문제, 작용소의 불변부분공간문제, 수반 합성작용소와 스틸체스모멘트수열의 관계성 연구, 그리고 방향트리상의 완전확장작용소의 구조를 연구 하는 것이 연구목표 이다.

□ 연구 목표대비 연구결과
모멘트문제는 물리학, 확률론, 기계공학 등의 연구에서 사용되고 있는 모멘트방정식을 이용한 데이터 계산식의 역문제로서 1894년 스틸체스에 의하여 처음 소개되었다. 그리고 20세기에 들어와서 1920년 햄버거의 연구를 시작으로 다양하게 연구되기 시작 하였다. 한편 작용소와의 관련 연구로서 스틸체스 모멘트 수열, 햄버거 모멘트 수열로 부터 파생된 모멘트방정식에 관한 연구가 많이 행해지고 있는데 그 연구는 힐버트 공간 작용소의 부분정규성과 밀접한 관계가 있다. 이와같은 사실에 기반하여 설립된 본 과제의 연구목표는 먼저 주어진 유한방향트리로 부터 부분정규완전성을 유지하면서 유한방향트리를 무한방향트리상으로의 확장이 가능하도록 무게를 설립하는 필요충분조건을 찾는 연구인 부분정규완전성문제를 풀고, 또한 햄버거 모멘트문제에서 파생된 햄버거모멘트수열의 알러스게 변환의 관계성 연구이다. 또한 힐버트공간작용소의 부분정규성을 특성화하는 문제를 연구한다. 이 문제는 약 30여 년 동안 미해결로 남아있는 조건적 양의 절대수열을 이용한 작용소의 부분정규특성화를 찾는 문제이다. 추가적인 연구로는 작용소론에서 90여 년 동안 미해결로 남아있는 작용소론의 난제인 작용소의 불변부분공간문제의 연구이다. 마지막으로 본과제의 선행연구로 이루어진 합성작용소의 대응 연구로서 수반 합성작용소와 스틸체스모멘트 수열의 관계성을 연구하며 그래프이론의 방법을 도입한 학제 연구로서 방향트리상의 완전확장 작용소의 구조를 연구하는 것이다. 이 연구목표를 수행한 본과제의 연구결과로서 방향트리상에서 정의된 무게변환 작용소의 부분정규완전성문제를 해결하였다. 그리고 햄버거모멘트수열에 대응되는 무게변환 작용소의 알러스게 변환이 부분정규가될 필요충분조건을 얻었다. 불변부분공간문제의 연구로는 2x2 작용소행렬의 불변분공간의 구조를 조사하였으며, 조건적 양의 절대수열을 이용한 작용소의 연구는 고전적무게변환 작용소의 양의 절대성을 연구하였다. 마지막으로 합성작용소의 특수한 형태인 무게변한작용소의 부분정규성을 조사함으로 스틸체스모멘트 측도와의 관계를 연구하였으며 마지막으로 완전확장성의 성질과 대응 관계에 있는 n-축약성 성질을 방향트리 상에서 정의된 무게변환작용소에 적용하여 그 하이퍼노르말성을 조사하였다.

□ 연구개발성과의 활용 계획 및 기대효과(연구개발결과의 중요성)
먼저 학문적 측면에서 기대효과를 살펴보면 본과제의 주요 연구모델인 모멘트 문제는 작용소이론, 행렬이론, 그래프이론을 연결하는 중요한 역할을 하고 있기 때문에 본과제의 효과는 이와 같은 분야에서 응용되어질 것이다. 또한, 여러 작용소의 성질중에서 부분정규성은 여러 작용소의 성질 중에서 핵심적 역할을 하고 있다. 예를 들면 양자역학에서 나오는 creation 작용소, 양자광학에서 나타나는 Glauber-Klauder의 적분식, 절삭 모멘트 문제는 다이나믹시스템과 기계공학의 이미지프로세스에 응용되고 있다. 뿐만 아니라 제어이론의 사차구획문제, 통계학의 조건기대치이론에도 응용되기 때문에 산업적 측면에서도 간접적인 효과를 기대할 수 있다. 그리고 본 연구 과제에서 얻어진 결과는 불변부분공간문제의 부분해로서 향후 이문제의 완전 해결에 도움을 줄 것으로 생각된다. 또한, 미해결로 남아있는 할모스부분정규특성화의 일반화로서 아직 미해결로 남아있는 부분정규특성화문제를 해결하는데 활용될 것으로 생각된다. 또한, 본 과제에서 연구한 Brownian 타입 작용소의 결과는 물리학 및 확률론과의 학제 간 연구에 활용될 것으로 생각된다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 1.1. 연구의 배경 ... 4
• 1.2. 연구의 최종목표 ... 5
• 1.3. 연구의 개요 ... 5
• 1.4. 연구의 필요성 ... 6
• 1.5. 연구범위 ... 7
• 2. 연구개발과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 8
• 2.1. 연구의 이론적·실험적 접근 방법 ... 8
• 2.2. 연구개발과제 수행 과정 ... 8
• 2.3. 연구수행 내용 ... 9
• 3. 연구개발과제의 수행 결과 및 목표 달성 수준 ... 14
• 1) 정성적 연구개발성과 (연구개발결과) ... 14
• 2) 세부 정량적 연구개발성과 ... 14
• 3) 목표 달성 수준 ... 15
• 4) 목표 미달 시 원인 분석 ... 15
• 4. 연구개발성과의 관련 분야에 대한 기여 정도(연구개발결과의 중요성) ... 15
• 4.1. 모멘트문제(Monent problem)에 관한 기여 ... 15
• 4.2. 불변부분공간문제(Invariant Subspace Problem)에 관한 기여 ... 16
• 4.3. 그래프이론과 작용소의 학제 간 연구 ... 16
• 4.4. 산업에의 간접적 효과 ... 17
• 5. 연구개발성과의 관리 및 활용 계획 ... 17
• 6. 참고문헌 ... 18
• 붙임1 세부 정량적 연구개발성과 ... 19
• 붙임2 연구책임자 대표적 연구실적 및 증빙(요약문 및 사본) ... 23
• 끝페이지 ... 36