초록 ▼

□ 연구개요
S를 콤팩트하지 않은 임의의 유향곡면이라 하고, 대수군 G가 PGL_m 혹은 SL_m이라 하자. S의 기본군에서 G로 가는 군 준동형사상들 중 일부를 모은 후 conjugation by an element of G로 quotient하여 얻어지는 공간을 고계 타이히뮐러 공간이라 한다. 이 공간은 미분기하학 및 게이지이론에서 자연스럽게 등장하는 공간이며, 그것을 연구하는 현대적인 방법 중 하나는 이 공간을 클러스터 다양체의 일종으로 보는 방법이다. 클러스터 다양체는 간단한 아핀 다양

□ 연구개요
S를 콤팩트하지 않은 임의의 유향곡면이라 하고, 대수군 G가 PGL_m 혹은 SL_m이라 하자. S의 기본군에서 G로 가는 군 준동형사상들 중 일부를 모은 후 conjugation by an element of G로 quotient하여 얻어지는 공간을 고계 타이히뮐러 공간이라 한다. 이 공간은 미분기하학 및 게이지이론에서 자연스럽게 등장하는 공간이며, 그것을 연구하는 현대적인 방법 중 하나는 이 공간을 클러스터 다양체의 일종으로 보는 방법이다. 클러스터 다양체는 간단한 아핀 다양체들을 특정한 조합적인 패턴을 가지는 유리사상들로 이어붙인 다양체이다. 클러스터 다양체는 푸아송 구조를 지니며, 따라서 그것의 양자화 문제가 자연스럽다. 본 연구과제 목표는 크게 두 가지 방향으로, 우선 (1) 고계 타이히뮐러 공간을 클러스터 다양체로 봤을 때, 모든 정칙함수들을 모은 환의 좋은 기저를 찾고, (2) 이 기저 함수들을 양자화하는 것이다.

□ 연구 목표대비 연구결과
게이지 군 G가 3 이상의 m에 대해 PGL_m 혹은 SL_m인 경우 고계 타이히뮐러 공간의 정칙함수 환의 기저를 찾는 문제는 폭-곤차로프 추측이라는 이름으로 알려져 있었으며, 당초 연구과제를 개시할 당시에만 해도 해결이 요원하기만 한 난제로 여겨지고 있었다. 따라서 본 연구과제에서는 이 문제의 해결에 도전하는 한 편 관련된 다른 문제들이나 우회하는 방법 등을 세부 과제들로 제시한 바 있다. 그러나 2020년 10월에 본 연구책임자가 m이 3인 경우에 이 문제의 가장 핵심적인 부분을 해결하여 SL₃-laminations as bases for PGL₃ cluster varieties for surfaces라는 논문으로 arXiv에 발표하였다. 이 논문에서 완결짓지 못한 중요한 부분을 해결한 후속 연구를 진행하여 논문 1편을 arXiv에 발표하였고, 이후 두 개 이상의 후속 연구를 현재에도 진행하고 있다. 이 두 논문만으로도 애당초의 연구 목표를 훨씬 상회한 결과를 얻었다고 평가할 수 있다.
또한 3차원 양자 중력과 해당 문제에 관련한 연구를 진행하여 논문 2편을 작성하였으며, 그 중 1편은 수리물리 분야 최고의 저널인 Communications in Mathematical Physics에 게재되었다. 이는 연구 개시 때 제시한 연구의 세부 목표 중 하나를 해결한 것이다.

□ 연구개발성과의 활용 계획 및 기대효과(연구개발결과의 중요성)
G가 PGL₃과 SL₃일 때 얻은 결과들은 폭-곤차로프 추측에 대한 연구에 획기적인 진전을 가져왔고, 이를 인정받아 SL₃-laminations as bases for PGL₃ cluster varieties for surfaces 논문은 수학 최고의 저널 중 하나인 Memoirs of the American Mathematical Society에 게재 승인받았다. 이 논문과 그 후속 논문은 클러스터 다양체의 연구와 저차원 양자 위상수학의 스케인 대수 연구 모두에 중요한 성과로 인정받고 있으며, 이를 토대로 관련 분야 연구자들의 후속 연구들, 특히 m이 4 이상인 경우 G가 PGL_m이나 SL_m인 경우의 연구에 영감을 주고 있다.
3차원 양자 중력과의 관계에 대한 논문들은 클러스터 다양체의 연구에 이전에 없던 새로운 연구 방향을 열어주었으며, 저차원 기하적 위상수학에서의 사상류군에 대한 연구 및 양자군의 표현론 연구에도 신선한 결과를 제시하였다고 평가받고 있다.

(출처 : 연구결과 요약문 2p)

목차 Contents

• 표지 ... 1
• 연구결과 요약문 ... 2
• 목차 ... 3
• 1. 연구개발과제의 개요 ... 4
• 2. 연구개발과제의 수행 과정 및 수행 내용 ... 7
• 3. 연구개발과제의 수행 결과 및 목표 달성 수준 ... 9
• 1) 정성적 연구개발성과(연구개발결과) ... 9
• 2) 세부 정량적 연구개발성과 ... 12
• 3) 목표 달성 수준 ... 12
• 4) 목표 미달 시 원인 분석 ... 14
• 4. 연구개발성과의 관련 분야에 대한 기여 정도(연구개발결과의 중요성) ... 14
• 5. 연구개발성과의 관리 및 활용 계획 ... 15
• 6. 자체점검표 ... 16
• 7. 참고문헌 ... 16
• 끝페이지 ... 33