이차함수 그래프의 평행이동에 대한 중학교 3학년 학생들의 이해에 관한 사례연구 : 공학적 도구를 활용한 탐구활동의 적용 A case study concerning the 9th-grade students' understanding on the translation of the graphs for the quadratic functions:an application of the technological instruments based inquiring activities원문보기
본 연구는 공학적 도구의 활용이 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 학생들의 이해에 어떠한 영향을 미치는지, 학생들의 어려움을 해결하는데 어떠한 도움이 되는지를 구체적으로 살펴보기 위해, 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 이해가 부족한 중학교 3학년 학생을 대상으로 공학적 도구를 활용한 교수실험을 실시하고, 그 과정에서 나타나는 학생들의 이해와 공학적 도구의 영향에 대해 자세히 살펴보고자 하였다. 본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 선정하였다. 1. 공학적 도구를 활용한 탐구활동을 적용했을 때 나타나는 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 학생들의 이해는 어떠한가? 2. 공학적 도구는 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 학생들의 이해에 어떠한 영향을 미치는가? 연구문제를 해결하기 위해 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 이해가 부족한 학생 5명을 연구대상자로 선발하여 사전이해검사, 공학적 도구를 활용한 교수실험, 사후이해검사를 실시하였다. 연구자는 실험에서의 교사 역할을 하며 전체 실험을 참여 관찰하였으며, 연구의 자료를 수집하기 위해 학생들의 모든 활동과정을 녹음, 녹화하였고 매 차시 현장 일지를 작성하였다. 수집된 자료를 분석함으로써 다음과 같은 결론을 얻었다. 첫째, 공학적 도구를 활용한 탐구활동을 적용했을 때, 학생들은 이차함수의 그래프의 평행이동에 대해 그래프 표현과 대수적 표현을 연결하여 이해하고 있었으며, 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 기존의 이해를 수정하고 있었다. 또, 이차함수의 표준형 y= a(x-p)^(2)+q에서의 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 원리를 이차함수의 일반형 y=ax^(2)+bx+c 으로 확장하여 이해하고 있었다. 둘째, 공학적 도구를 활용한 탐구활동에서 이차함수 그래프의 x축 방향으로 평행이동에서 나타나는 직관과의 불일치에 직면하였을 때, 학생들은 x축 방향으로 평행이동은 ‘부호가 반대’임을 확인하고 x축 방향으로의 평행이동에 대한 이해를 수정하였다. 그러나 ‘부호가 반대’인 이유에 대한 탐구에는 어려움을 나타내고 있었는데, 이를 통해 볼 때 공학적 도구를 활용해 이차함수 그래프의 x축 방향으로의 평행이동에서 ‘부호가 반대’인 사실을 학생들이 관계적으로 이해하게 하기 위한 적절한 교수학적인 조치가 필요할 것으로 보인다. 셋째, 공학적 도구를 활용한 탐구활동 후 학생들은 평행이동의 원리를 사용하여 이차함수 식과 그래프를 연결할 수 있었으며, ...
본 연구는 공학적 도구의 활용이 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 학생들의 이해에 어떠한 영향을 미치는지, 학생들의 어려움을 해결하는데 어떠한 도움이 되는지를 구체적으로 살펴보기 위해, 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 이해가 부족한 중학교 3학년 학생을 대상으로 공학적 도구를 활용한 교수실험을 실시하고, 그 과정에서 나타나는 학생들의 이해와 공학적 도구의 영향에 대해 자세히 살펴보고자 하였다. 본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 선정하였다. 1. 공학적 도구를 활용한 탐구활동을 적용했을 때 나타나는 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 학생들의 이해는 어떠한가? 2. 공학적 도구는 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 학생들의 이해에 어떠한 영향을 미치는가? 연구문제를 해결하기 위해 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 이해가 부족한 학생 5명을 연구대상자로 선발하여 사전이해검사, 공학적 도구를 활용한 교수실험, 사후이해검사를 실시하였다. 연구자는 실험에서의 교사 역할을 하며 전체 실험을 참여 관찰하였으며, 연구의 자료를 수집하기 위해 학생들의 모든 활동과정을 녹음, 녹화하였고 매 차시 현장 일지를 작성하였다. 수집된 자료를 분석함으로써 다음과 같은 결론을 얻었다. 첫째, 공학적 도구를 활용한 탐구활동을 적용했을 때, 학생들은 이차함수의 그래프의 평행이동에 대해 그래프 표현과 대수적 표현을 연결하여 이해하고 있었으며, 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 기존의 이해를 수정하고 있었다. 또, 이차함수의 표준형 y= a(x-p)^(2)+q에서의 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 원리를 이차함수의 일반형 y=ax^(2)+bx+c 으로 확장하여 이해하고 있었다. 둘째, 공학적 도구를 활용한 탐구활동에서 이차함수 그래프의 x축 방향으로 평행이동에서 나타나는 직관과의 불일치에 직면하였을 때, 학생들은 x축 방향으로 평행이동은 ‘부호가 반대’임을 확인하고 x축 방향으로의 평행이동에 대한 이해를 수정하였다. 그러나 ‘부호가 반대’인 이유에 대한 탐구에는 어려움을 나타내고 있었는데, 이를 통해 볼 때 공학적 도구를 활용해 이차함수 그래프의 x축 방향으로의 평행이동에서 ‘부호가 반대’인 사실을 학생들이 관계적으로 이해하게 하기 위한 적절한 교수학적인 조치가 필요할 것으로 보인다. 셋째, 공학적 도구를 활용한 탐구활동 후 학생들은 평행이동의 원리를 사용하여 이차함수 식과 그래프를 연결할 수 있었으며, 일차함수 y=ax+b와 반비례 형태의 함수 y=(a)/(X)의 그래프의 평행이동에 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 원리를 적용할 수 있었다. 넷째, 공학적 도구의 평행이동 기능, 그래프 기능, 화면이동 기능, zooming 기능, 상수조절 기능 등은 학생들이 이차함수 그래프의 평행이동을 그래프의 변화와 식의 변화를 연결하여 이해할 수 있도록 도와주며, 학생들의 이해를 확인하고 오류를 수정할 수 있도록 도와준다. 또한, 새로운 문제 상황에 대한 탐구활동을 가능하게 하여 학생들의 이해의 확장을 도와주며, 이차함수 식의 변화에 따른 그래프의 변화에 대한 탐구활동을 가능하게 하여 학생들이 이차함수 식과 그래프를 연결하는데 도움을 주고 있다.
본 연구는 공학적 도구의 활용이 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 학생들의 이해에 어떠한 영향을 미치는지, 학생들의 어려움을 해결하는데 어떠한 도움이 되는지를 구체적으로 살펴보기 위해, 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 이해가 부족한 중학교 3학년 학생을 대상으로 공학적 도구를 활용한 교수실험을 실시하고, 그 과정에서 나타나는 학생들의 이해와 공학적 도구의 영향에 대해 자세히 살펴보고자 하였다. 본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 선정하였다. 1. 공학적 도구를 활용한 탐구활동을 적용했을 때 나타나는 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 학생들의 이해는 어떠한가? 2. 공학적 도구는 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 학생들의 이해에 어떠한 영향을 미치는가? 연구문제를 해결하기 위해 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 이해가 부족한 학생 5명을 연구대상자로 선발하여 사전이해검사, 공학적 도구를 활용한 교수실험, 사후이해검사를 실시하였다. 연구자는 실험에서의 교사 역할을 하며 전체 실험을 참여 관찰하였으며, 연구의 자료를 수집하기 위해 학생들의 모든 활동과정을 녹음, 녹화하였고 매 차시 현장 일지를 작성하였다. 수집된 자료를 분석함으로써 다음과 같은 결론을 얻었다. 첫째, 공학적 도구를 활용한 탐구활동을 적용했을 때, 학생들은 이차함수의 그래프의 평행이동에 대해 그래프 표현과 대수적 표현을 연결하여 이해하고 있었으며, 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 기존의 이해를 수정하고 있었다. 또, 이차함수의 표준형 y= a(x-p)^(2)+q에서의 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 원리를 이차함수의 일반형 y=ax^(2)+bx+c 으로 확장하여 이해하고 있었다. 둘째, 공학적 도구를 활용한 탐구활동에서 이차함수 그래프의 x축 방향으로 평행이동에서 나타나는 직관과의 불일치에 직면하였을 때, 학생들은 x축 방향으로 평행이동은 ‘부호가 반대’임을 확인하고 x축 방향으로의 평행이동에 대한 이해를 수정하였다. 그러나 ‘부호가 반대’인 이유에 대한 탐구에는 어려움을 나타내고 있었는데, 이를 통해 볼 때 공학적 도구를 활용해 이차함수 그래프의 x축 방향으로의 평행이동에서 ‘부호가 반대’인 사실을 학생들이 관계적으로 이해하게 하기 위한 적절한 교수학적인 조치가 필요할 것으로 보인다. 셋째, 공학적 도구를 활용한 탐구활동 후 학생들은 평행이동의 원리를 사용하여 이차함수 식과 그래프를 연결할 수 있었으며, 일차함수 y=ax+b와 반비례 형태의 함수 y=(a)/(X)의 그래프의 평행이동에 이차함수 그래프의 평행이동에 대한 원리를 적용할 수 있었다. 넷째, 공학적 도구의 평행이동 기능, 그래프 기능, 화면이동 기능, zooming 기능, 상수조절 기능 등은 학생들이 이차함수 그래프의 평행이동을 그래프의 변화와 식의 변화를 연결하여 이해할 수 있도록 도와주며, 학생들의 이해를 확인하고 오류를 수정할 수 있도록 도와준다. 또한, 새로운 문제 상황에 대한 탐구활동을 가능하게 하여 학생들의 이해의 확장을 도와주며, 이차함수 식의 변화에 따른 그래프의 변화에 대한 탐구활동을 가능하게 하여 학생들이 이차함수 식과 그래프를 연결하는데 도움을 주고 있다.
This study was aimed to find out how the use of technological instruments could affect the students' understanding on the translation of the graphs for the quadratic functions. With the purpose of performing the specific observation of the positive attributes of the technological instruments in help...
This study was aimed to find out how the use of technological instruments could affect the students' understanding on the translation of the graphs for the quadratic functions. With the purpose of performing the specific observation of the positive attributes of the technological instruments in helping the students to overcome their difficulties, the researcher carried out a teaching experiment on the 9th-grade Korean students who had difficulties in understanding the translation of the graphs for the quadratic functions. During the experiment, the researcher paid special attention to the technological instruments's effect on the students' understanding. Two main areas of the observation were: 1. What is happening to the students' understanding on the translation of the graphs for the quadratic functions when the technological instruments based inquiry activities are introduced? 2. What is the effect of the technological instruments in students' understanding on the translation of the graphs for the quadratic functions? To have the answers to these questions, the researcher drafted 5 students who showed limited understanding on the translation of the graphs for the quadratic functions. The researcher carried out the pre-test, the teaching experiment, and the post-test for each student. The researcher did the role of the instructer to be engaged in all the process of the experiment, doing the voice-recording, videotaping, and keeping the on-the-spot report on every class. After analyzing the collected data, the researcher has reached the following conclusions: First, when the technological instruments based inquiry activities were applied students understood the relationship between the analytical representation and the graphical representation, to reach the understanding of the translation of the graphs for the quadratic functions. Also, students were modifying their previous understanding on the translation of the graphs for the quadratic functions. Further, based on the understanding of the vertex form a quadratic function, which is y=(x-p)^(2)=q, students were expanding their understanding to the standard form a quadratic function, which is y=ax^(2)+bx+c. Second, in carrying out the survey activities, when students faced the discordance between their intuition and the actual horizontal translation of the graphs for the quadratic functions, students verified the fact that they should use the opposite sign for the horizontal translation, before they modified the previous misunderstanding. In surveying the reason for using the "opposite sign," however, students had difficulties. Considering this, the researcher reached the conclusion that, when utilizing the technological instruments, proper didactical treatment needs to be parallelled for the students to reach the relational understanding of "using the opposite sign" for the horizontal translation of the graphs for the quadratic functions. Third, after the technological instruments based survey activities, students were putting the knowledge on the principle of translation to the related understanding of the formulas and graphs for the quadratic functions. Students also were able to apply the principle of translation to the understanding of the linear functions with the standard form of y=ax+b, and to the fractional functions with the standard form of y=(a)/(x). Forth, the researcher confirmed that the technological instruments's functions of translation, graphing, the drag mode, zooming, and the constant controller help the students to relate the change of a formula with the shift of a graph, when they try to understand the translation of the graphs for the quadratic functions. The technological instruments also helps the students to verify their understanding and to correct their misunderstanding. The technological instruments also enables the students to be engaged in the survey activities concerning the new problem situation, resulting the expansion of their understanding. By providing the students with the survey activities concerning the change of a formula followed by the change of the graph, this tool enables the students to be engaged in the survey activities of changing the graphs, helping the students to relate the formulas to the graphs.
This study was aimed to find out how the use of technological instruments could affect the students' understanding on the translation of the graphs for the quadratic functions. With the purpose of performing the specific observation of the positive attributes of the technological instruments in helping the students to overcome their difficulties, the researcher carried out a teaching experiment on the 9th-grade Korean students who had difficulties in understanding the translation of the graphs for the quadratic functions. During the experiment, the researcher paid special attention to the technological instruments's effect on the students' understanding. Two main areas of the observation were: 1. What is happening to the students' understanding on the translation of the graphs for the quadratic functions when the technological instruments based inquiry activities are introduced? 2. What is the effect of the technological instruments in students' understanding on the translation of the graphs for the quadratic functions? To have the answers to these questions, the researcher drafted 5 students who showed limited understanding on the translation of the graphs for the quadratic functions. The researcher carried out the pre-test, the teaching experiment, and the post-test for each student. The researcher did the role of the instructer to be engaged in all the process of the experiment, doing the voice-recording, videotaping, and keeping the on-the-spot report on every class. After analyzing the collected data, the researcher has reached the following conclusions: First, when the technological instruments based inquiry activities were applied students understood the relationship between the analytical representation and the graphical representation, to reach the understanding of the translation of the graphs for the quadratic functions. Also, students were modifying their previous understanding on the translation of the graphs for the quadratic functions. Further, based on the understanding of the vertex form a quadratic function, which is y=(x-p)^(2)=q, students were expanding their understanding to the standard form a quadratic function, which is y=ax^(2)+bx+c. Second, in carrying out the survey activities, when students faced the discordance between their intuition and the actual horizontal translation of the graphs for the quadratic functions, students verified the fact that they should use the opposite sign for the horizontal translation, before they modified the previous misunderstanding. In surveying the reason for using the "opposite sign," however, students had difficulties. Considering this, the researcher reached the conclusion that, when utilizing the technological instruments, proper didactical treatment needs to be parallelled for the students to reach the relational understanding of "using the opposite sign" for the horizontal translation of the graphs for the quadratic functions. Third, after the technological instruments based survey activities, students were putting the knowledge on the principle of translation to the related understanding of the formulas and graphs for the quadratic functions. Students also were able to apply the principle of translation to the understanding of the linear functions with the standard form of y=ax+b, and to the fractional functions with the standard form of y=(a)/(x). Forth, the researcher confirmed that the technological instruments's functions of translation, graphing, the drag mode, zooming, and the constant controller help the students to relate the change of a formula with the shift of a graph, when they try to understand the translation of the graphs for the quadratic functions. The technological instruments also helps the students to verify their understanding and to correct their misunderstanding. The technological instruments also enables the students to be engaged in the survey activities concerning the new problem situation, resulting the expansion of their understanding. By providing the students with the survey activities concerning the change of a formula followed by the change of the graph, this tool enables the students to be engaged in the survey activities of changing the graphs, helping the students to relate the formulas to the graphs.
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