고등학교 2학년 학생들의 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현 사이의 연결에 관한 연구 A study on the connection between the graphic representations of quadratic function and its symbolic representations of high school students원문보기
이 논문은 그래프를 통하여 이차함수를 지도함으로써 학생들이 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현을 더 잘 연결시킬 수 있는지 학습과정을 분석하고, 임상면담을 실시하여 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현 사이의 번역 과제 해결 과정을 분석하여 이차함수의 지도 방안에 대한 실제적인 정보를 제공하고자 하였다. 이를 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현의 연결을 돕기 위해서 일차함수의 곱으로 이차함수를 학습하는 과정은 어떠한가? 가. 그래프 표현을 활용하여 일차함수의 곱으로 이차함수를 학습하기 위한 가설학습경로는 어떠한가? 나. 그래프 표현을 활용하여 일차함수의 곱으로 이차함수를 학습하는 교수학적 상황에서 내용 탐구 요소 학습 과정의 특징은 어떠한가? 2. 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현의 사이의 번역 과제 해결 과정에 서 그래프에 접근하는 방법에 따른 연결 과정은 어떠한가? 가. 점별·국소적 접근에 따른 연결 과정은 어떠한가? 나. 전체적 접근에 따른 연결 과정은 어떠한가? 다. 점별·국소적 및 전체적 접근의 통합에 따른 연결 과정은 어떠한가? 연구문제 1을 해결하기 위해 문헌연구를 실시하고 가설학습경로를 만들어 인문계 고등학교 2학년 20명을 대상으로 실험수업을 실시하였다. 실험수업에서 연구자는 참여적 관찰자로서 수업 과정을 비디오 녹화하여 전사하였으며 학생들의 학습 활동지, 면담자료, 현장 일지 등의 자료를 수집하였다. 연구문제 2를 해결하기 위해 문헌연구를 실시하고 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현의 연결을 묻는 과제를 구성하여 임상면담을 실시하였다. 임상면담에서는 학생들이 과제를 해결하는 과정을 비디오 녹화하여 전사하였으며 학생들의 과제 활동지, 면담자료, 현장 일지 등의 자료를 수집하였다. 임상 면담의 결과는 점별·국소적 접근, 전체적 접근, 점별·국소적 및 전체적 접근이 통합된 접근을 기준으로 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현을 연결하는 과정을 분석하였다. 이 연구의 연구 문제 1은 그래프를 이용해서 이차함수의 특성을 탐구하는 새로운 지도방식이 실제 수업에서 어떠한 특성을 나타내는지 알아보기 위한 것으로 그 결론은 다음과 같다. 이차함수의 그래프를 배워서 알고 있는 학생들이었지만 그래프 표현을 통해서 함수를 학습하는 과정에서 그래프를 점별로 국소적으로 전체적으로 접근하는 기회를 가지게 되었고 이를 기호적 표현과 연결시키는 학습을 통해서 이차함수의 기호적 표현의 기호들이 의미하는 것을 더 잘 이해하게 되었다. 즉, 그래프 표현을 통한 이차함수 그래프의 학습이 이차함수의 기호적 표현을 더 잘 이해하고 의미 있게 조작하는데 도움이 되었다. 연구문제 2는 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현 사이의 번역과제 해결 과정에서 나타나는 연결 과정이 어떠한지 알아보는 것으로 그 결론은 다음과 같다. 그래프에 대한 점별·국소적 접근 방법의 경우에는 학생들이 그래프를 보고 구하려고 하는 점들의 좌표를 읽어서 기호적 표현을 찾아낼 수 있고 기호적 표현에서 구한 좌표를 그래프에 정확하게 나타낼 수 있다. 그러나 그래프에서 제한적인 정보만을 사용하여 번역과제 해결에 어려움이 있었다. 그래프에 대한 전체적 접근 방법의 경우에는 이차함수의 전체적인 모양은 고려할 수 있으나 그래프의 구체적인 점이 기호적 표현에서 같은 점인지 확인하지 못하여 번역과제를 해결하지 못하였다. 그러나 점별·국소적 및 전체적 접근을 통합적으로 이용하는 경우에는 그래프 표현과 기호적 표현을 서로 번역하여 연결할 수 있었다. 특히 연구문제 1을 해결하기 위해 실시했던 실험수업에서 배운 그래프의 성질을 이용하여 문제를 해결한 학생의 경우에는 절편이나 ...
이 논문은 그래프를 통하여 이차함수를 지도함으로써 학생들이 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현을 더 잘 연결시킬 수 있는지 학습과정을 분석하고, 임상면담을 실시하여 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현 사이의 번역 과제 해결 과정을 분석하여 이차함수의 지도 방안에 대한 실제적인 정보를 제공하고자 하였다. 이를 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현의 연결을 돕기 위해서 일차함수의 곱으로 이차함수를 학습하는 과정은 어떠한가? 가. 그래프 표현을 활용하여 일차함수의 곱으로 이차함수를 학습하기 위한 가설학습경로는 어떠한가? 나. 그래프 표현을 활용하여 일차함수의 곱으로 이차함수를 학습하는 교수학적 상황에서 내용 탐구 요소 학습 과정의 특징은 어떠한가? 2. 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현의 사이의 번역 과제 해결 과정에 서 그래프에 접근하는 방법에 따른 연결 과정은 어떠한가? 가. 점별·국소적 접근에 따른 연결 과정은 어떠한가? 나. 전체적 접근에 따른 연결 과정은 어떠한가? 다. 점별·국소적 및 전체적 접근의 통합에 따른 연결 과정은 어떠한가? 연구문제 1을 해결하기 위해 문헌연구를 실시하고 가설학습경로를 만들어 인문계 고등학교 2학년 20명을 대상으로 실험수업을 실시하였다. 실험수업에서 연구자는 참여적 관찰자로서 수업 과정을 비디오 녹화하여 전사하였으며 학생들의 학습 활동지, 면담자료, 현장 일지 등의 자료를 수집하였다. 연구문제 2를 해결하기 위해 문헌연구를 실시하고 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현의 연결을 묻는 과제를 구성하여 임상면담을 실시하였다. 임상면담에서는 학생들이 과제를 해결하는 과정을 비디오 녹화하여 전사하였으며 학생들의 과제 활동지, 면담자료, 현장 일지 등의 자료를 수집하였다. 임상 면담의 결과는 점별·국소적 접근, 전체적 접근, 점별·국소적 및 전체적 접근이 통합된 접근을 기준으로 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현을 연결하는 과정을 분석하였다. 이 연구의 연구 문제 1은 그래프를 이용해서 이차함수의 특성을 탐구하는 새로운 지도방식이 실제 수업에서 어떠한 특성을 나타내는지 알아보기 위한 것으로 그 결론은 다음과 같다. 이차함수의 그래프를 배워서 알고 있는 학생들이었지만 그래프 표현을 통해서 함수를 학습하는 과정에서 그래프를 점별로 국소적으로 전체적으로 접근하는 기회를 가지게 되었고 이를 기호적 표현과 연결시키는 학습을 통해서 이차함수의 기호적 표현의 기호들이 의미하는 것을 더 잘 이해하게 되었다. 즉, 그래프 표현을 통한 이차함수 그래프의 학습이 이차함수의 기호적 표현을 더 잘 이해하고 의미 있게 조작하는데 도움이 되었다. 연구문제 2는 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현 사이의 번역과제 해결 과정에서 나타나는 연결 과정이 어떠한지 알아보는 것으로 그 결론은 다음과 같다. 그래프에 대한 점별·국소적 접근 방법의 경우에는 학생들이 그래프를 보고 구하려고 하는 점들의 좌표를 읽어서 기호적 표현을 찾아낼 수 있고 기호적 표현에서 구한 좌표를 그래프에 정확하게 나타낼 수 있다. 그러나 그래프에서 제한적인 정보만을 사용하여 번역과제 해결에 어려움이 있었다. 그래프에 대한 전체적 접근 방법의 경우에는 이차함수의 전체적인 모양은 고려할 수 있으나 그래프의 구체적인 점이 기호적 표현에서 같은 점인지 확인하지 못하여 번역과제를 해결하지 못하였다. 그러나 점별·국소적 및 전체적 접근을 통합적으로 이용하는 경우에는 그래프 표현과 기호적 표현을 서로 번역하여 연결할 수 있었다. 특히 연구문제 1을 해결하기 위해 실시했던 실험수업에서 배운 그래프의 성질을 이용하여 문제를 해결한 학생의 경우에는 절편이나 대칭축을 활용해서 그래프 표현과 기호적 표현을 연결시키고 전체적 접근으로 두 표현 방법이 같은지를 확인함으로써 번역과제를 빠르고 정확하게 해결할 수 있었다. 다시 말하면, 이차함수 그래프에 대한 점별·국소적·전체적인 접근을 통합적으로 사용해서 그래프를 살펴보아야 기호적 표현과 연결시킬 수 있었다.
이 논문은 그래프를 통하여 이차함수를 지도함으로써 학생들이 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현을 더 잘 연결시킬 수 있는지 학습과정을 분석하고, 임상면담을 실시하여 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현 사이의 번역 과제 해결 과정을 분석하여 이차함수의 지도 방안에 대한 실제적인 정보를 제공하고자 하였다. 이를 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현의 연결을 돕기 위해서 일차함수의 곱으로 이차함수를 학습하는 과정은 어떠한가? 가. 그래프 표현을 활용하여 일차함수의 곱으로 이차함수를 학습하기 위한 가설학습경로는 어떠한가? 나. 그래프 표현을 활용하여 일차함수의 곱으로 이차함수를 학습하는 교수학적 상황에서 내용 탐구 요소 학습 과정의 특징은 어떠한가? 2. 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현의 사이의 번역 과제 해결 과정에 서 그래프에 접근하는 방법에 따른 연결 과정은 어떠한가? 가. 점별·국소적 접근에 따른 연결 과정은 어떠한가? 나. 전체적 접근에 따른 연결 과정은 어떠한가? 다. 점별·국소적 및 전체적 접근의 통합에 따른 연결 과정은 어떠한가? 연구문제 1을 해결하기 위해 문헌연구를 실시하고 가설학습경로를 만들어 인문계 고등학교 2학년 20명을 대상으로 실험수업을 실시하였다. 실험수업에서 연구자는 참여적 관찰자로서 수업 과정을 비디오 녹화하여 전사하였으며 학생들의 학습 활동지, 면담자료, 현장 일지 등의 자료를 수집하였다. 연구문제 2를 해결하기 위해 문헌연구를 실시하고 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현의 연결을 묻는 과제를 구성하여 임상면담을 실시하였다. 임상면담에서는 학생들이 과제를 해결하는 과정을 비디오 녹화하여 전사하였으며 학생들의 과제 활동지, 면담자료, 현장 일지 등의 자료를 수집하였다. 임상 면담의 결과는 점별·국소적 접근, 전체적 접근, 점별·국소적 및 전체적 접근이 통합된 접근을 기준으로 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현을 연결하는 과정을 분석하였다. 이 연구의 연구 문제 1은 그래프를 이용해서 이차함수의 특성을 탐구하는 새로운 지도방식이 실제 수업에서 어떠한 특성을 나타내는지 알아보기 위한 것으로 그 결론은 다음과 같다. 이차함수의 그래프를 배워서 알고 있는 학생들이었지만 그래프 표현을 통해서 함수를 학습하는 과정에서 그래프를 점별로 국소적으로 전체적으로 접근하는 기회를 가지게 되었고 이를 기호적 표현과 연결시키는 학습을 통해서 이차함수의 기호적 표현의 기호들이 의미하는 것을 더 잘 이해하게 되었다. 즉, 그래프 표현을 통한 이차함수 그래프의 학습이 이차함수의 기호적 표현을 더 잘 이해하고 의미 있게 조작하는데 도움이 되었다. 연구문제 2는 이차함수의 그래프 표현과 기호적 표현 사이의 번역과제 해결 과정에서 나타나는 연결 과정이 어떠한지 알아보는 것으로 그 결론은 다음과 같다. 그래프에 대한 점별·국소적 접근 방법의 경우에는 학생들이 그래프를 보고 구하려고 하는 점들의 좌표를 읽어서 기호적 표현을 찾아낼 수 있고 기호적 표현에서 구한 좌표를 그래프에 정확하게 나타낼 수 있다. 그러나 그래프에서 제한적인 정보만을 사용하여 번역과제 해결에 어려움이 있었다. 그래프에 대한 전체적 접근 방법의 경우에는 이차함수의 전체적인 모양은 고려할 수 있으나 그래프의 구체적인 점이 기호적 표현에서 같은 점인지 확인하지 못하여 번역과제를 해결하지 못하였다. 그러나 점별·국소적 및 전체적 접근을 통합적으로 이용하는 경우에는 그래프 표현과 기호적 표현을 서로 번역하여 연결할 수 있었다. 특히 연구문제 1을 해결하기 위해 실시했던 실험수업에서 배운 그래프의 성질을 이용하여 문제를 해결한 학생의 경우에는 절편이나 대칭축을 활용해서 그래프 표현과 기호적 표현을 연결시키고 전체적 접근으로 두 표현 방법이 같은지를 확인함으로써 번역과제를 빠르고 정확하게 해결할 수 있었다. 다시 말하면, 이차함수 그래프에 대한 점별·국소적·전체적인 접근을 통합적으로 사용해서 그래프를 살펴보아야 기호적 표현과 연결시킬 수 있었다.
This study investigates to analyze the learning process in order for students to better connect the graphic representations of quadratic function with its symbolic representations by teaching quadratic function through the graph. Also the study aims at providing the practical information on the teac...
This study investigates to analyze the learning process in order for students to better connect the graphic representations of quadratic function with its symbolic representations by teaching quadratic function through the graph. Also the study aims at providing the practical information on the teaching method of quadratic function by analyzing the process of solving a translation task between the graphic representations of quadratic function and its symbolic representations through a clinical interview. To achieve these goals, the hypothesis are proposed as below. 1. What aspects does the learning process of quadratic function by the multiplication of linear function have in order to connect the graphic representations of quadratic function with its symbolic representations? (1) What are the aspects of hypothetic learning process in order to learn quadratic function by the multiplication of linear function using the graphic representations? (2) What are the features of leaning process in the elements of content research? 2. What are the aspects in the connection process accompanied by how to access the graphic representations in the process of solving a translation task between the graphic representations of quadratic function and its symbolic representations? (1) What aspects does the connection process in terms of punctual and topical access to the graph have? (2) What are the features of connecting process of overall access to graph? (3) What are the aspects in the connection process accompanied by integrating punctual and topical access into overall access to the graph? For the hypothesis 1, the researcher did the literature survey and the experiment with the 20 subjects of second grade high school students proposing the hypothetic learning process. In the experiment, the researcher acted as a participant videotaping and transcribing the teaching-learning process and collected the data such as worksheet, interview, or journals in the process. For the hypothesis 2, the researcher also did the literature survey and the interview by suggesting the task of connecting the graphic representations of quadratic function with its symbolic representations. After the interview, the researcher also videotaped and transcribed the solving process of students. Again, the researcher collected the worksheet, interview data, and journals. The interview showed the results in the process of connecting the graphic representations of quadratic function with its symbolic representations based on punctual and topical access, overall access, and integrating both access to the graph. The pedagogical implications are as follows. In the hypothesis 1, the study investigates to find the features of the new teaching method in quest of the traits of quadratic function using the graph. The subjects are well aware of its traits as introduced, but they couldn't immediately realize how to find the multiplication of linear function using the graph. But after teacher's explanation and instruction, they succeed in connecting the graphic representations of quadratic function with its symbolic representations, understanding an axis of symmetry, an apex, and the minimum and maximum of quadratic function in the lesson of finding the symmetry of quadratic function using the similarity of a triangle. They are also able to connect the concepts of intercepts of quadric function, a symmetry, an axis of symmetry, and an apex with those representations after interpreting the graphic representations and understanding the meaning of the symbol in symbolic representations. By this, it can be suggested that teachers have to try to control the learning process downsizing the mathematical proof in terms of symmetry which is a hard concept to students and providing the concepts of an imaginary root or parallel translation. In the hypothesis 2, the connecting process is investigated in the solving process of a translation task between the graphic representations of quadratic function and its symbolic representations. When it comes to punctual and topical access to the graph, students are able to find the symbolic representations by reading the coordinates asked after observing the graph. Also, they are to depict the coordinates in the graph correctly. But the hardest point is that they have difficulty in the translation task because given limit information on graphs. In overall access to the graph, they can't solve the translation task because they fail to understand that the specific point of the graph is equal to that of symbolic representations even though they are able to figure out the overall picture of quadratic function. When it comes to integrating punctual and topical access of quadratic function with its overall access, they well connect its graphic representations with its symbolic representations. Especially, the subjects who learn how to solve the task using the graph after the lesson of hypothesis 1 do the given task fast and correctly by connecting the graphic representations with the symbolic representation using x intercept or an axis of symmetry. In other words, they are better understanding of the meaning of the symbolic representations of quadratic function using punctual, topical and overall access to the graph. In conclusion, the study can suggest that teaching the graphic representations of quadratic function succeed in making students better understand of the meaning of the symbol in symbolic representations of quadratic function and connect the two representation given the opportunities of punctual, topical and overall access to the graph. The research can also propose the implication that teaching the graphic representations of quadratic function and its symbolic representations be helpful in order to better understand quadratic function and control it meaningfully.
This study investigates to analyze the learning process in order for students to better connect the graphic representations of quadratic function with its symbolic representations by teaching quadratic function through the graph. Also the study aims at providing the practical information on the teaching method of quadratic function by analyzing the process of solving a translation task between the graphic representations of quadratic function and its symbolic representations through a clinical interview. To achieve these goals, the hypothesis are proposed as below. 1. What aspects does the learning process of quadratic function by the multiplication of linear function have in order to connect the graphic representations of quadratic function with its symbolic representations? (1) What are the aspects of hypothetic learning process in order to learn quadratic function by the multiplication of linear function using the graphic representations? (2) What are the features of leaning process in the elements of content research? 2. What are the aspects in the connection process accompanied by how to access the graphic representations in the process of solving a translation task between the graphic representations of quadratic function and its symbolic representations? (1) What aspects does the connection process in terms of punctual and topical access to the graph have? (2) What are the features of connecting process of overall access to graph? (3) What are the aspects in the connection process accompanied by integrating punctual and topical access into overall access to the graph? For the hypothesis 1, the researcher did the literature survey and the experiment with the 20 subjects of second grade high school students proposing the hypothetic learning process. In the experiment, the researcher acted as a participant videotaping and transcribing the teaching-learning process and collected the data such as worksheet, interview, or journals in the process. For the hypothesis 2, the researcher also did the literature survey and the interview by suggesting the task of connecting the graphic representations of quadratic function with its symbolic representations. After the interview, the researcher also videotaped and transcribed the solving process of students. Again, the researcher collected the worksheet, interview data, and journals. The interview showed the results in the process of connecting the graphic representations of quadratic function with its symbolic representations based on punctual and topical access, overall access, and integrating both access to the graph. The pedagogical implications are as follows. In the hypothesis 1, the study investigates to find the features of the new teaching method in quest of the traits of quadratic function using the graph. The subjects are well aware of its traits as introduced, but they couldn't immediately realize how to find the multiplication of linear function using the graph. But after teacher's explanation and instruction, they succeed in connecting the graphic representations of quadratic function with its symbolic representations, understanding an axis of symmetry, an apex, and the minimum and maximum of quadratic function in the lesson of finding the symmetry of quadratic function using the similarity of a triangle. They are also able to connect the concepts of intercepts of quadric function, a symmetry, an axis of symmetry, and an apex with those representations after interpreting the graphic representations and understanding the meaning of the symbol in symbolic representations. By this, it can be suggested that teachers have to try to control the learning process downsizing the mathematical proof in terms of symmetry which is a hard concept to students and providing the concepts of an imaginary root or parallel translation. In the hypothesis 2, the connecting process is investigated in the solving process of a translation task between the graphic representations of quadratic function and its symbolic representations. When it comes to punctual and topical access to the graph, students are able to find the symbolic representations by reading the coordinates asked after observing the graph. Also, they are to depict the coordinates in the graph correctly. But the hardest point is that they have difficulty in the translation task because given limit information on graphs. In overall access to the graph, they can't solve the translation task because they fail to understand that the specific point of the graph is equal to that of symbolic representations even though they are able to figure out the overall picture of quadratic function. When it comes to integrating punctual and topical access of quadratic function with its overall access, they well connect its graphic representations with its symbolic representations. Especially, the subjects who learn how to solve the task using the graph after the lesson of hypothesis 1 do the given task fast and correctly by connecting the graphic representations with the symbolic representation using x intercept or an axis of symmetry. In other words, they are better understanding of the meaning of the symbolic representations of quadratic function using punctual, topical and overall access to the graph. In conclusion, the study can suggest that teaching the graphic representations of quadratic function succeed in making students better understand of the meaning of the symbol in symbolic representations of quadratic function and connect the two representation given the opportunities of punctual, topical and overall access to the graph. The research can also propose the implication that teaching the graphic representations of quadratic function and its symbolic representations be helpful in order to better understand quadratic function and control it meaningfully.
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