수학은 인간이 살아가는 과정에서 부딪히는 여러 가지 실제적인 문제 상황을 해결하기 위하여 생겨난 인간 활동의 결과이다. 또한 수학은 오랜 세월 동안 수많은 사람들의 피나는 노력으로 발전한 학문이며, 다른 학문과 달리 수천 년 전에 창조된 수학도 여전히 유효하다. 수학의 장구한 역사는 그 자체로도 이미 수학의 존재 가치와 중요성을 대변한다. 수학적 개념의 연구는 수학의 기원과 발전 과정을 보여줌으로써 수학 개념의 발생과 진화에 대한 통찰력을 제공한다. 오랜 역사를 통해 변화하고 진화해 온 미적분학의 기초를 이루는 기본 개념인 극한 개념은 어느 한 순간에 수학자의 통찰에 의해 완벽한 형태로 만들어진 것이 아니라 수많은 시행착오를 겪고 좌절을 경험하면서 견고하고 탄탄한 개념으로 진화된 것이다. 그런데 극한 개념의 기저가 되는 실무한, ...
수학은 인간이 살아가는 과정에서 부딪히는 여러 가지 실제적인 문제 상황을 해결하기 위하여 생겨난 인간 활동의 결과이다. 또한 수학은 오랜 세월 동안 수많은 사람들의 피나는 노력으로 발전한 학문이며, 다른 학문과 달리 수천 년 전에 창조된 수학도 여전히 유효하다. 수학의 장구한 역사는 그 자체로도 이미 수학의 존재 가치와 중요성을 대변한다. 수학적 개념의 연구는 수학의 기원과 발전 과정을 보여줌으로써 수학 개념의 발생과 진화에 대한 통찰력을 제공한다. 오랜 역사를 통해 변화하고 진화해 온 미적분학의 기초를 이루는 기본 개념인 극한 개념은 어느 한 순간에 수학자의 통찰에 의해 완벽한 형태로 만들어진 것이 아니라 수많은 시행착오를 겪고 좌절을 경험하면서 견고하고 탄탄한 개념으로 진화된 것이다. 그런데 극한 개념의 기저가 되는 실무한, 무한급수 그리고 실수의 완비성에 대하여 형성과정을 살펴보는 것은 극한 개념을 보는 관점을 편협하게 하지 않고, 이러한 개념이 등장한 상황이나 발달과정 그리고 이에 따른 수학적 변화를 살펴봄으로써 극한 개념에 대한 보다 나은 이해와 탐구심을 자극한다. 이러한 입장 하에서 본 논문에서는 극한 개념의 기저인 실무한이 아리스토텔레스이래로 근대에 이르기까지 받아들여지지 못한 역사적 단서가 되는 제논의 역설을 통한 아리스토텔레스 무한론에 대하여 고찰을 하고, 극한 개념의 직접적인 응용이면서 미적분학의 이론전개에 필수적인 무한급수에 대한 역사적 고찰을 살펴보며, 마지막으로 극한 개념의 산술화를 위한 시간과 공간의 연속성을 수학적으로 표현한 실수의 완비성 공리의 형성과정을 에우독소스의 비례론 입장에서 고찰하고자 한다. 먼저 제논의 논증들과 역설에 대한 그의 논의를 기반으로 아리스토텔레스의 잠재적인 무한론 형성에 제논의 영향을 추론하였다. 고대 그리스수학의 기초로서 아리스토텔레스의 잠재적인 무한을 고찰해 보면 극한 개념에 꼭 필요한 실무한에 대한 개념을 허락하지 않았다. 아리스토텔레스의『자연학』에서 실무한의 존재를 부정하고 잠재적인 무한만을 주장하게 된 것은 제논의 논증에 나타난 불합리를 피하기 위한 희망이 내재해 있는 것으로 판단할 수 있다. 따라서 고대 그리스인들이 왜 실제적으로 극한 개념을 수반한 적분을 개발하지 못하고 번거롭고 불완전한 실진법을 사용하면서 멀리까지 왔는지에 대한 이유 중 하나를 제공할 수 있을 것이다. 다음으로 해석학이라는 이름이 말하듯 임의의 함수를 무한급수의 형태로 표현하는 것은 과학과 수학에서 중요한 개념이다. 역사적으로 무한급수에 대한 정의와 구조의 진보는 미적분학의 엄밀화에서 중요한 역할을 하였다. 무한급수의 역사에 대하여 많은 연구가 이루어졌지만 일반적으로 광범위한 수학사의 일부분으로서 또는 무한급수 역사의 작은 부분을 상술하는 것으로서 이루어졌다. 본 논문에서는 무한급수의 개념이 처음으로 나타나는 고대 그리스에서부터 무한급수의 타당성에 대한 근거를 제시하는 19세기에서의 무한급수까지 무한급수의 발전과 진보를 시대별로 고찰하였다. 마지막으로 에우독소스의 비례론이 데데킨트가 실수를 현대적으로 정의한 ‘데데킨트 절단’과 일치한다고 해도 과언이 아니다. 데데킨트는 2000년보다 더 앞선 에우독소스의 방법을 근거로 조사함으로써 실수체계에 대한 확고한 기초를 확립하였다고 볼 수 있다. 그래서 데데킨트의 정의에서 그리스 유산을 구별하는 것은 가치가 있을 것으로 판단된다. 그런데 에우독소스의 비례론과 데데킨트 절단 사이에는 ‘근본적인 차이’가 존재한다. 그리스인들은 수(number)와 공간적 크기(magnitude)사이의 구별에 생각이 미치지 못한 것으로 보인다. 그리하여 비와 비례 개념에 대한 에우독소스의 설명과 ‘데데킨트 절단’을 통한 실수의 구조와의 관계를 살펴봄으로서 에우독소스의 비례론이 데데킨트의 실수의 완비성을 증명하기 위해 도입된 절단의 개념과 어떤 관계가 있으며 어떤 영향을 끼쳤는지를 고찰하였다.
수학은 인간이 살아가는 과정에서 부딪히는 여러 가지 실제적인 문제 상황을 해결하기 위하여 생겨난 인간 활동의 결과이다. 또한 수학은 오랜 세월 동안 수많은 사람들의 피나는 노력으로 발전한 학문이며, 다른 학문과 달리 수천 년 전에 창조된 수학도 여전히 유효하다. 수학의 장구한 역사는 그 자체로도 이미 수학의 존재 가치와 중요성을 대변한다. 수학적 개념의 연구는 수학의 기원과 발전 과정을 보여줌으로써 수학 개념의 발생과 진화에 대한 통찰력을 제공한다. 오랜 역사를 통해 변화하고 진화해 온 미적분학의 기초를 이루는 기본 개념인 극한 개념은 어느 한 순간에 수학자의 통찰에 의해 완벽한 형태로 만들어진 것이 아니라 수많은 시행착오를 겪고 좌절을 경험하면서 견고하고 탄탄한 개념으로 진화된 것이다. 그런데 극한 개념의 기저가 되는 실무한, 무한급수 그리고 실수의 완비성에 대하여 형성과정을 살펴보는 것은 극한 개념을 보는 관점을 편협하게 하지 않고, 이러한 개념이 등장한 상황이나 발달과정 그리고 이에 따른 수학적 변화를 살펴봄으로써 극한 개념에 대한 보다 나은 이해와 탐구심을 자극한다. 이러한 입장 하에서 본 논문에서는 극한 개념의 기저인 실무한이 아리스토텔레스이래로 근대에 이르기까지 받아들여지지 못한 역사적 단서가 되는 제논의 역설을 통한 아리스토텔레스 무한론에 대하여 고찰을 하고, 극한 개념의 직접적인 응용이면서 미적분학의 이론전개에 필수적인 무한급수에 대한 역사적 고찰을 살펴보며, 마지막으로 극한 개념의 산술화를 위한 시간과 공간의 연속성을 수학적으로 표현한 실수의 완비성 공리의 형성과정을 에우독소스의 비례론 입장에서 고찰하고자 한다. 먼저 제논의 논증들과 역설에 대한 그의 논의를 기반으로 아리스토텔레스의 잠재적인 무한론 형성에 제논의 영향을 추론하였다. 고대 그리스수학의 기초로서 아리스토텔레스의 잠재적인 무한을 고찰해 보면 극한 개념에 꼭 필요한 실무한에 대한 개념을 허락하지 않았다. 아리스토텔레스의『자연학』에서 실무한의 존재를 부정하고 잠재적인 무한만을 주장하게 된 것은 제논의 논증에 나타난 불합리를 피하기 위한 희망이 내재해 있는 것으로 판단할 수 있다. 따라서 고대 그리스인들이 왜 실제적으로 극한 개념을 수반한 적분을 개발하지 못하고 번거롭고 불완전한 실진법을 사용하면서 멀리까지 왔는지에 대한 이유 중 하나를 제공할 수 있을 것이다. 다음으로 해석학이라는 이름이 말하듯 임의의 함수를 무한급수의 형태로 표현하는 것은 과학과 수학에서 중요한 개념이다. 역사적으로 무한급수에 대한 정의와 구조의 진보는 미적분학의 엄밀화에서 중요한 역할을 하였다. 무한급수의 역사에 대하여 많은 연구가 이루어졌지만 일반적으로 광범위한 수학사의 일부분으로서 또는 무한급수 역사의 작은 부분을 상술하는 것으로서 이루어졌다. 본 논문에서는 무한급수의 개념이 처음으로 나타나는 고대 그리스에서부터 무한급수의 타당성에 대한 근거를 제시하는 19세기에서의 무한급수까지 무한급수의 발전과 진보를 시대별로 고찰하였다. 마지막으로 에우독소스의 비례론이 데데킨트가 실수를 현대적으로 정의한 ‘데데킨트 절단’과 일치한다고 해도 과언이 아니다. 데데킨트는 2000년보다 더 앞선 에우독소스의 방법을 근거로 조사함으로써 실수체계에 대한 확고한 기초를 확립하였다고 볼 수 있다. 그래서 데데킨트의 정의에서 그리스 유산을 구별하는 것은 가치가 있을 것으로 판단된다. 그런데 에우독소스의 비례론과 데데킨트 절단 사이에는 ‘근본적인 차이’가 존재한다. 그리스인들은 수(number)와 공간적 크기(magnitude)사이의 구별에 생각이 미치지 못한 것으로 보인다. 그리하여 비와 비례 개념에 대한 에우독소스의 설명과 ‘데데킨트 절단’을 통한 실수의 구조와의 관계를 살펴봄으로서 에우독소스의 비례론이 데데킨트의 실수의 완비성을 증명하기 위해 도입된 절단의 개념과 어떤 관계가 있으며 어떤 영향을 끼쳤는지를 고찰하였다.
Mathematics is a result of human activities to solve various practical problems inevitably generated from the daily living and interaction. Furthermore mathematics is an academic discipline developed by tenacious efforts of the numerous individuals for a long stretch of time. Contrary to other acade...
Mathematics is a result of human activities to solve various practical problems inevitably generated from the daily living and interaction. Furthermore mathematics is an academic discipline developed by tenacious efforts of the numerous individuals for a long stretch of time. Contrary to other academic disciplines, mathematics created several thousand years ago is still valid up to date. Such impressive history of mathematics itself represents the value and importance of its existence. Studies on mathematical concepts reveal the origin and developmental process of mathematics, hence providing an insight into the origin and evolution of the mathematical concepts. The Limit concept which has changed and evolved throughout history is established not as a complete form by a single mathematician in an intuitive moment, but as a solid and invincible concept as a result of the evolutionary process in which various failures, trials, and defeat were experienced. Accordingly, to examine the Limit concept in calculus history is to reject a myopic view on Limit concept, and examine historical context within which the concept originated, developmental process, and subsequent mathematical changes. Consequently, such examination enables a better understanding of Limit Concept and stimulates intellectual curiosity. Against this backdrop, the aim of the study was to examine the potential infinite of Aristotle through Zenon's paradoxes serving as a historical clue for a limit concept which is one of the basic concepts of calculus. Subsequently a historical investigation was made on infinite series as a direct application of the limit concept and a requirement for developing a theory of calculus. Finally an examination was made on a formation process of a completeness of axiom of real numbers mathematically expressing a continuity of time and space for an arithmetization of the limit concept, based on the Eudoxean theory of proportion. Firstly, we have inferred the influence of Zeno on the construction of the potential infinite of Aristotle based on arguments of Zeno's paradoxes. When we examine the potential infinite of Aristotle as the basis of the ancient Greek mathematics, we can see that they did not permit the concept of the actual infinite necessary for calculus. The reason why they recognized the potential infinite, denying the actual infinite as seen in Aristotle's physics could be found in their attempt to escape the illogicality shown in Zeno's arguments. Accordingly, we could provided one of reasons why the ancient Greeks had used uneasy exhaustion's method instead of developing the quadrature involving the limit concept. Secondly, Infinite series is a significant concept in science and mathematics, for various functions can be expressed naturally as infinite series and a useful expression of the infinite series is available for numeric calculation. Historically the need for infinite series played a crucial role for a theoretical development of calculus. Countless studies were conducted regarding the history of infinite series, however, they were limited to a description of a minor portion of the history of infinite series as a part of the mathematical history which is a broader scope in general. Thus the formation process of the infinite series was examined in this study, ranging from the ancient Greece from which the concept of infinite series firstly appeared, to the nineteenth Century which provided the rationale for validity of the infinite series. Lastly, the Eudoxean theory of Proportion is correlated with 'Dedekind cut' with which Dedekind defined the real number in modern usage. Dedekind established a firm foundation for the real number system by retracing some of Eudoxus' steps of over two thousand years earlier. Thus it should be quite worthy that we separates Greek inheritance from definition of Dedekind, However there is fundamental difference between the Eudoxean theory of proportion and Dedekind cut. Basically, It seems impossible for Greeks to distinguish between number and magnitude. Thus we will consider how the Eudoxean theory of proportion was related to Dedekind cut introduced to prove the Dedekind's Completeness of real numbers and how it influenced Dedekind cut by looking the relation of Eudoxos's explication of the notion of ratio to Dedekind's well-known construction of the real numbers.
Mathematics is a result of human activities to solve various practical problems inevitably generated from the daily living and interaction. Furthermore mathematics is an academic discipline developed by tenacious efforts of the numerous individuals for a long stretch of time. Contrary to other academic disciplines, mathematics created several thousand years ago is still valid up to date. Such impressive history of mathematics itself represents the value and importance of its existence. Studies on mathematical concepts reveal the origin and developmental process of mathematics, hence providing an insight into the origin and evolution of the mathematical concepts. The Limit concept which has changed and evolved throughout history is established not as a complete form by a single mathematician in an intuitive moment, but as a solid and invincible concept as a result of the evolutionary process in which various failures, trials, and defeat were experienced. Accordingly, to examine the Limit concept in calculus history is to reject a myopic view on Limit concept, and examine historical context within which the concept originated, developmental process, and subsequent mathematical changes. Consequently, such examination enables a better understanding of Limit Concept and stimulates intellectual curiosity. Against this backdrop, the aim of the study was to examine the potential infinite of Aristotle through Zenon's paradoxes serving as a historical clue for a limit concept which is one of the basic concepts of calculus. Subsequently a historical investigation was made on infinite series as a direct application of the limit concept and a requirement for developing a theory of calculus. Finally an examination was made on a formation process of a completeness of axiom of real numbers mathematically expressing a continuity of time and space for an arithmetization of the limit concept, based on the Eudoxean theory of proportion. Firstly, we have inferred the influence of Zeno on the construction of the potential infinite of Aristotle based on arguments of Zeno's paradoxes. When we examine the potential infinite of Aristotle as the basis of the ancient Greek mathematics, we can see that they did not permit the concept of the actual infinite necessary for calculus. The reason why they recognized the potential infinite, denying the actual infinite as seen in Aristotle's physics could be found in their attempt to escape the illogicality shown in Zeno's arguments. Accordingly, we could provided one of reasons why the ancient Greeks had used uneasy exhaustion's method instead of developing the quadrature involving the limit concept. Secondly, Infinite series is a significant concept in science and mathematics, for various functions can be expressed naturally as infinite series and a useful expression of the infinite series is available for numeric calculation. Historically the need for infinite series played a crucial role for a theoretical development of calculus. Countless studies were conducted regarding the history of infinite series, however, they were limited to a description of a minor portion of the history of infinite series as a part of the mathematical history which is a broader scope in general. Thus the formation process of the infinite series was examined in this study, ranging from the ancient Greece from which the concept of infinite series firstly appeared, to the nineteenth Century which provided the rationale for validity of the infinite series. Lastly, the Eudoxean theory of Proportion is correlated with 'Dedekind cut' with which Dedekind defined the real number in modern usage. Dedekind established a firm foundation for the real number system by retracing some of Eudoxus' steps of over two thousand years earlier. Thus it should be quite worthy that we separates Greek inheritance from definition of Dedekind, However there is fundamental difference between the Eudoxean theory of proportion and Dedekind cut. Basically, It seems impossible for Greeks to distinguish between number and magnitude. Thus we will consider how the Eudoxean theory of proportion was related to Dedekind cut introduced to prove the Dedekind's Completeness of real numbers and how it influenced Dedekind cut by looking the relation of Eudoxos's explication of the notion of ratio to Dedekind's well-known construction of the real numbers.
AI-Helper
※ AI-Helper는 부적절한 답변을 할 수 있습니다.