본 연구는 고등학교 ‘기하와 벡터’의 벡터 단원에서 내적과 관련된 문제 해결 과정에서 겪는 학생들의 어려움을 통하여 그 어려움의 원인이 무엇인지를 분석함으로써 교사들의 학습 지도에 도움을 주고 벡터 단원의 내적과 관련된 문제 해결에서 학생들이 자신감을 가지고 문제를 해결할 수 있도록 하는데 그 목적이 있다. 본 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 벡터의 의미와 성질을 정확하게 이해하고 있는가? (1) 벡터의 뜻과 상등의 뜻을 이해하고 있는가? (2) 벡터의 합과 차를 기하학적으로 표현할 수 있는가? (3) 두 점에 대하여 벡터의 성분과 크기를 구할 수 있는가? 2. 내적 문제와 관련된 문제 해결 과정에서 나타나는 학생들의 어려움은 무엇이며, 그것의 원인은 무엇인가? 본 연구의 문제를 해결하기 위하여 경상북도 구미시 S고등학교 3학년 자연과정반 38명을 대상으로 예비검사를 실시하였으며 예비 검사지에서 낮은 정답률과 높은 정답률을 보인 문항을 수정, 보완하여 구미시 소재 G고등학교와 S고등학교 학생들을 대상으로 본 검사를 실시하였다. 구미시에 소재한 G고등학교 3학년 자연과정반 2개반 74명, S고등학교 3학년 자연과정반 3개반 114명중에서 검사지에 전혀 응답하지 않은 경우와 풀이 과정 없이 의미 없는 답만 제시한 경우를 제외한 150명을 연구 대상으로 하였다. 전체 150명을 대상으로 벡터의 내적과 관련된 문제 해결 과정에서 나타나는 오답 유형과 어려움의 원인을 분석하였다. 또한 오답을 한 학생들의 어려움의 원인을 분석하기 위하여 몇 몇 학생들과 면담을 실시하여 에피소드로 실었다. 본 연구 결과를 통하여 다음과 같은 결론을 얻었다. 첫째, 벡터에 대한 잘못된 ...
본 연구는 고등학교 ‘기하와 벡터’의 벡터 단원에서 내적과 관련된 문제 해결 과정에서 겪는 학생들의 어려움을 통하여 그 어려움의 원인이 무엇인지를 분석함으로써 교사들의 학습 지도에 도움을 주고 벡터 단원의 내적과 관련된 문제 해결에서 학생들이 자신감을 가지고 문제를 해결할 수 있도록 하는데 그 목적이 있다. 본 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 벡터의 의미와 성질을 정확하게 이해하고 있는가? (1) 벡터의 뜻과 상등의 뜻을 이해하고 있는가? (2) 벡터의 합과 차를 기하학적으로 표현할 수 있는가? (3) 두 점에 대하여 벡터의 성분과 크기를 구할 수 있는가? 2. 내적 문제와 관련된 문제 해결 과정에서 나타나는 학생들의 어려움은 무엇이며, 그것의 원인은 무엇인가? 본 연구의 문제를 해결하기 위하여 경상북도 구미시 S고등학교 3학년 자연과정반 38명을 대상으로 예비검사를 실시하였으며 예비 검사지에서 낮은 정답률과 높은 정답률을 보인 문항을 수정, 보완하여 구미시 소재 G고등학교와 S고등학교 학생들을 대상으로 본 검사를 실시하였다. 구미시에 소재한 G고등학교 3학년 자연과정반 2개반 74명, S고등학교 3학년 자연과정반 3개반 114명중에서 검사지에 전혀 응답하지 않은 경우와 풀이 과정 없이 의미 없는 답만 제시한 경우를 제외한 150명을 연구 대상으로 하였다. 전체 150명을 대상으로 벡터의 내적과 관련된 문제 해결 과정에서 나타나는 오답 유형과 어려움의 원인을 분석하였다. 또한 오답을 한 학생들의 어려움의 원인을 분석하기 위하여 몇 몇 학생들과 면담을 실시하여 에피소드로 실었다. 본 연구 결과를 통하여 다음과 같은 결론을 얻었다. 첫째, 벡터에 대한 잘못된 오개념을 가지고 있는 학생들이 많았다. 그 중에서도 방향을 나타낼 수 있는 값이라고 답한 경우와 물리량이라고 답한 학생들이 많았다. 벡터의 개념을 알고 있더라도 벡터인 것을 찾는 과정에서 제대로 찾지 못하는 경우와 특히, 속도와 속력을 구분하지 못하는 학생들이 많았다. 학생들에게 어떻게 벡터가 속도, 힘과 같은 물리적 현상을 나타내는 데 이용될 수 있느냐를 이해시키는 것이 중요하다. 학생들이 벡터의 개념을 생활 주변에서 자연스럽게 받아들일 수 있도록 하고 벡터가 타 학문과 문제 해결 과정에서 얼마나 유용하게 사용되는지 그 필요성을 알려줄 필요가 있다. 둘째, 벡터의 상등, 평행이동, 합과 차를 기하학적으로 표현하는 법, 벡터의 성분을 표현하는 법, 벡터의 크기를 나타내는 법은 벡터의 내적을 이해하는데 기본 바탕이 되므로, 학생들이 정확하게 개념을 이해할 수 있도록 지도해야 한다. 두 벡터가 같은 벡터를 모두 구하라는 문항에서의 정답률은 79.33%로 높게 나타났다. 두 벡터의 합과 차를 나타낼 수 있는가?에 대한 문항에서 합의 정답률은 53.33%, 차의 정답률은 43.33%로 나타났다. 두 벡터의 합과 차를 기하학적으로 나타내는 과정에서 학생들 중 일부는 평행이동을 시키지 못하였고, 합의 원리보다는 차의 원리를 더 어려워 하였다. 두 점에 의한 공간벡터의 성분을 나타낼 수 있는가?에 대한 오답으로 오답자 중에서 43.86%가 에 대하여 가 라고 답을 하였다. 교사는 학생들에게 벡터 단원에서 나오는 여러 가지 개념들이 어떻게 서로 연결되고 관련되는지 그 관계를 이해할 수 있도록 해야 한다. 셋째, 두 벡터가 이루는 각의 크기를 묻는 문항과 두 벡터의 수직조건, 평행조건을 묻는 문항에서 다수의 학생들이 내적의 정의를 모르거나, 두 벡터의 내적 구하는 공식을 잘못 알고 적용하고 있었다. 넷째, 크기가 주어진 벡터의 내적의 값을 구하라는 문항의 정답률이 35.33%로 다른 문항에 비하여 정답률이 낮았다. 이 문항에 대하여 학생들이 많은 어려움을 겪고 있는 것을 볼 수 있었다. 크기가 주어진 벡터의 내적의 값을 구하는 과정에서 정답을 한 학생 중에서도 내적에 대한 잘못된 식을 적용하여 문제를 해결한 경우와 기호의 정확한 표현을 하지 않은 채 정답을 한 학생도 있었다. 학생들은 수학적 개념이 어려울 때에는 그 의미를 충분히 이해하지 못한 상태에서 용어나 기호를 무조건 암기하여 적용하려고 하였다. 정답을 구하는 것만이 중요한 것이 아니라 문제 해결 과정에서의 올바른 이해와 적용을 할 수 있어야 하고, 기호의 정확한 표현을 할 수 있도록 해야 한다. 다섯째, 학생들이 주어진 문제 해결 과정에서 다양한 풀이 방법을 할 수 있도록 한다. 많은 학생들이 평면도형과 공간도형에서 시점이 일치하지 않는 두 벡터의 내적의 값을 구하는 과정에서 오답을 하였다. 평면도형과 공간도형에서의 두 벡터의 크기와 이루는 각의 크기를 이용하여 시점이 일치하지 않는 두 벡터의 내적을 구하는 경우에는 평행이동 시켜 시점을 일치시킨 후 두 벡터가 이루는 각의 크기를 구하여 계산할 수 있도록 해야 한다. 평면도형과 공간도형에서 좌표를 도입하여 성분으로 나타낸 후 내적의 값을 구하는 경우에는 각 꼭짓점을 좌표로 정확하게 나타낸 후 벡터의 성분으로 표현하여 내적의 값을 구할 수 있도록 한다. 또한, 계산과정에서 실수를 최소화할 수 있도록 한다. 교과서에서 벡터의 내적의 정의를 기하학적으로 도입하기 때문에 학생들 중 몇몇은 성분으로 주어진 벡터의 내적을 구하는 과정에서 대수적으로 접근하지 못하였다. 학생들의 벡터 내적 정의가 한쪽으로만 치우치지 않도록 기하학적, 대수적으로 자유롭게 사고할 수 있도록 개념을 지도해야 한다. 내적의 기하학적인 정의와 성분으로 주어졌을 때 내적의 값을 구하는 방법 중에서 주어진 문제 상황에서 학생들이 좀 더 효과적인 방법을 적용하여 문제를 해결할 수 있도록 해야 한다. 교사는 문제 해결 과정에서 학생들이 주로 사용하는 방법이 무엇이며 그 과정에서 학생들이 자주 범하는 오류가 무엇인지를 알고 그 지도방안에 대하여 알아볼 필요가 있다. 여섯째, 물리 관련 문장제 문제는 내적의 기하학적인 개념만 알고 있어도 풀 수 있는 문제임에도 불구하고 정답률이 낮았다. 내적의 기하학적 의미를 강조하고 학생들이 실생활 문제나 좀 더 심화된 문제를 해결함에 있어 벡터의 기본 개념을 떠올려 주어진 상황에 적용할 수 있도록 해야 한다.
본 연구는 고등학교 ‘기하와 벡터’의 벡터 단원에서 내적과 관련된 문제 해결 과정에서 겪는 학생들의 어려움을 통하여 그 어려움의 원인이 무엇인지를 분석함으로써 교사들의 학습 지도에 도움을 주고 벡터 단원의 내적과 관련된 문제 해결에서 학생들이 자신감을 가지고 문제를 해결할 수 있도록 하는데 그 목적이 있다. 본 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 벡터의 의미와 성질을 정확하게 이해하고 있는가? (1) 벡터의 뜻과 상등의 뜻을 이해하고 있는가? (2) 벡터의 합과 차를 기하학적으로 표현할 수 있는가? (3) 두 점에 대하여 벡터의 성분과 크기를 구할 수 있는가? 2. 내적 문제와 관련된 문제 해결 과정에서 나타나는 학생들의 어려움은 무엇이며, 그것의 원인은 무엇인가? 본 연구의 문제를 해결하기 위하여 경상북도 구미시 S고등학교 3학년 자연과정반 38명을 대상으로 예비검사를 실시하였으며 예비 검사지에서 낮은 정답률과 높은 정답률을 보인 문항을 수정, 보완하여 구미시 소재 G고등학교와 S고등학교 학생들을 대상으로 본 검사를 실시하였다. 구미시에 소재한 G고등학교 3학년 자연과정반 2개반 74명, S고등학교 3학년 자연과정반 3개반 114명중에서 검사지에 전혀 응답하지 않은 경우와 풀이 과정 없이 의미 없는 답만 제시한 경우를 제외한 150명을 연구 대상으로 하였다. 전체 150명을 대상으로 벡터의 내적과 관련된 문제 해결 과정에서 나타나는 오답 유형과 어려움의 원인을 분석하였다. 또한 오답을 한 학생들의 어려움의 원인을 분석하기 위하여 몇 몇 학생들과 면담을 실시하여 에피소드로 실었다. 본 연구 결과를 통하여 다음과 같은 결론을 얻었다. 첫째, 벡터에 대한 잘못된 오개념을 가지고 있는 학생들이 많았다. 그 중에서도 방향을 나타낼 수 있는 값이라고 답한 경우와 물리량이라고 답한 학생들이 많았다. 벡터의 개념을 알고 있더라도 벡터인 것을 찾는 과정에서 제대로 찾지 못하는 경우와 특히, 속도와 속력을 구분하지 못하는 학생들이 많았다. 학생들에게 어떻게 벡터가 속도, 힘과 같은 물리적 현상을 나타내는 데 이용될 수 있느냐를 이해시키는 것이 중요하다. 학생들이 벡터의 개념을 생활 주변에서 자연스럽게 받아들일 수 있도록 하고 벡터가 타 학문과 문제 해결 과정에서 얼마나 유용하게 사용되는지 그 필요성을 알려줄 필요가 있다. 둘째, 벡터의 상등, 평행이동, 합과 차를 기하학적으로 표현하는 법, 벡터의 성분을 표현하는 법, 벡터의 크기를 나타내는 법은 벡터의 내적을 이해하는데 기본 바탕이 되므로, 학생들이 정확하게 개념을 이해할 수 있도록 지도해야 한다. 두 벡터가 같은 벡터를 모두 구하라는 문항에서의 정답률은 79.33%로 높게 나타났다. 두 벡터의 합과 차를 나타낼 수 있는가?에 대한 문항에서 합의 정답률은 53.33%, 차의 정답률은 43.33%로 나타났다. 두 벡터의 합과 차를 기하학적으로 나타내는 과정에서 학생들 중 일부는 평행이동을 시키지 못하였고, 합의 원리보다는 차의 원리를 더 어려워 하였다. 두 점에 의한 공간벡터의 성분을 나타낼 수 있는가?에 대한 오답으로 오답자 중에서 43.86%가 에 대하여 가 라고 답을 하였다. 교사는 학생들에게 벡터 단원에서 나오는 여러 가지 개념들이 어떻게 서로 연결되고 관련되는지 그 관계를 이해할 수 있도록 해야 한다. 셋째, 두 벡터가 이루는 각의 크기를 묻는 문항과 두 벡터의 수직조건, 평행조건을 묻는 문항에서 다수의 학생들이 내적의 정의를 모르거나, 두 벡터의 내적 구하는 공식을 잘못 알고 적용하고 있었다. 넷째, 크기가 주어진 벡터의 내적의 값을 구하라는 문항의 정답률이 35.33%로 다른 문항에 비하여 정답률이 낮았다. 이 문항에 대하여 학생들이 많은 어려움을 겪고 있는 것을 볼 수 있었다. 크기가 주어진 벡터의 내적의 값을 구하는 과정에서 정답을 한 학생 중에서도 내적에 대한 잘못된 식을 적용하여 문제를 해결한 경우와 기호의 정확한 표현을 하지 않은 채 정답을 한 학생도 있었다. 학생들은 수학적 개념이 어려울 때에는 그 의미를 충분히 이해하지 못한 상태에서 용어나 기호를 무조건 암기하여 적용하려고 하였다. 정답을 구하는 것만이 중요한 것이 아니라 문제 해결 과정에서의 올바른 이해와 적용을 할 수 있어야 하고, 기호의 정확한 표현을 할 수 있도록 해야 한다. 다섯째, 학생들이 주어진 문제 해결 과정에서 다양한 풀이 방법을 할 수 있도록 한다. 많은 학생들이 평면도형과 공간도형에서 시점이 일치하지 않는 두 벡터의 내적의 값을 구하는 과정에서 오답을 하였다. 평면도형과 공간도형에서의 두 벡터의 크기와 이루는 각의 크기를 이용하여 시점이 일치하지 않는 두 벡터의 내적을 구하는 경우에는 평행이동 시켜 시점을 일치시킨 후 두 벡터가 이루는 각의 크기를 구하여 계산할 수 있도록 해야 한다. 평면도형과 공간도형에서 좌표를 도입하여 성분으로 나타낸 후 내적의 값을 구하는 경우에는 각 꼭짓점을 좌표로 정확하게 나타낸 후 벡터의 성분으로 표현하여 내적의 값을 구할 수 있도록 한다. 또한, 계산과정에서 실수를 최소화할 수 있도록 한다. 교과서에서 벡터의 내적의 정의를 기하학적으로 도입하기 때문에 학생들 중 몇몇은 성분으로 주어진 벡터의 내적을 구하는 과정에서 대수적으로 접근하지 못하였다. 학생들의 벡터 내적 정의가 한쪽으로만 치우치지 않도록 기하학적, 대수적으로 자유롭게 사고할 수 있도록 개념을 지도해야 한다. 내적의 기하학적인 정의와 성분으로 주어졌을 때 내적의 값을 구하는 방법 중에서 주어진 문제 상황에서 학생들이 좀 더 효과적인 방법을 적용하여 문제를 해결할 수 있도록 해야 한다. 교사는 문제 해결 과정에서 학생들이 주로 사용하는 방법이 무엇이며 그 과정에서 학생들이 자주 범하는 오류가 무엇인지를 알고 그 지도방안에 대하여 알아볼 필요가 있다. 여섯째, 물리 관련 문장제 문제는 내적의 기하학적인 개념만 알고 있어도 풀 수 있는 문제임에도 불구하고 정답률이 낮았다. 내적의 기하학적 의미를 강조하고 학생들이 실생활 문제나 좀 더 심화된 문제를 해결함에 있어 벡터의 기본 개념을 떠올려 주어진 상황에 적용할 수 있도록 해야 한다.
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