이 연구는 2007 개정 교육과정의 '기하와 벡터' 교과에서 다루어지는 벡터와 내적 개념을 분석하여 그 특징을 기술함으로써 벡터와 내적 개념 지도의 교수학적 시사점을 얻는데 목적을 두었다. 이를 위해 '기하와 벡터' 교육과정에서 다루어지는 벡터와 내적 개념 분석을 위한 세부 관점을 Tall(2002a; Tall, 2004b)과 Watson et al.(2003; Watson, 2002)에 기초하여 5가지로 추출하고, 이렇게 추출된 세부 관점을 토대로 '기하와 벡터' 교육과정 및 교육과정해설서, '기하와 벡터' 교과서 10종 모두에서 다루어지는 벡터와 내적 개념의 특징을 분석하였다. 이로부터 벡터와 내적 개념 형성과 관련된 교육과정상의 이슈를 구체화하였으며 이에 비추어 '기하와 벡터' 교과서에서 벡터 단원의 내용을 전개하는 방식과 관련된 시사점을 논의하였다.
이 연구는 2007 개정 교육과정의 '기하와 벡터' 교과에서 다루어지는 벡터와 내적 개념을 분석하여 그 특징을 기술함으로써 벡터와 내적 개념 지도의 교수학적 시사점을 얻는데 목적을 두었다. 이를 위해 '기하와 벡터' 교육과정에서 다루어지는 벡터와 내적 개념 분석을 위한 세부 관점을 Tall(2002a; Tall, 2004b)과 Watson et al.(2003; Watson, 2002)에 기초하여 5가지로 추출하고, 이렇게 추출된 세부 관점을 토대로 '기하와 벡터' 교육과정 및 교육과정해설서, '기하와 벡터' 교과서 10종 모두에서 다루어지는 벡터와 내적 개념의 특징을 분석하였다. 이로부터 벡터와 내적 개념 형성과 관련된 교육과정상의 이슈를 구체화하였으며 이에 비추어 '기하와 벡터' 교과서에서 벡터 단원의 내용을 전개하는 방식과 관련된 시사점을 논의하였다.
This study analyzed issues in the mathematics curriculum concerning the cognitive development of the vector and inner product concepts in the light of Tall's and Watson's research(Tall, 2004a; Tall, 2004b; Watson et al., 2003; Watson, 2002). Some suggestions in teaching the vector and inner product ...
This study analyzed issues in the mathematics curriculum concerning the cognitive development of the vector and inner product concepts in the light of Tall's and Watson's research(Tall, 2004a; Tall, 2004b; Watson et al., 2003; Watson, 2002). Some suggestions in teaching the vector and inner product concepts were elaborated in the terms of these analyses. First, the position vector needs to be represented by an arrow on the coordinate system in order to introduce the component form of a vector represented by a directed line segment. Second, proofs of the vector operation law should be carried out by symbolic manipulations based on the algebraic concept of a vector in the symbolic world. Third, it is appropriate that the inner product is defined as $\vec{a}{\cdot}\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$ (when, $\vec{a}=(a_1,a_2)$, $\vec{b}=(b_1,b_2)$) when it comes to considering the meaning of the inner product relevant to vector space in the formal world. Cognitive growth of concepts of the vector and inner product can be properly induced through revising explanation methods about the concepts in the curriculum in the basis of the above suggestions.
This study analyzed issues in the mathematics curriculum concerning the cognitive development of the vector and inner product concepts in the light of Tall's and Watson's research(Tall, 2004a; Tall, 2004b; Watson et al., 2003; Watson, 2002). Some suggestions in teaching the vector and inner product concepts were elaborated in the terms of these analyses. First, the position vector needs to be represented by an arrow on the coordinate system in order to introduce the component form of a vector represented by a directed line segment. Second, proofs of the vector operation law should be carried out by symbolic manipulations based on the algebraic concept of a vector in the symbolic world. Third, it is appropriate that the inner product is defined as $\vec{a}{\cdot}\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$ (when, $\vec{a}=(a_1,a_2)$, $\vec{b}=(b_1,b_2)$) when it comes to considering the meaning of the inner product relevant to vector space in the formal world. Cognitive growth of concepts of the vector and inner product can be properly induced through revising explanation methods about the concepts in the curriculum in the basis of the above suggestions.
기호적 세계는 산술이나 대수에서 개념을 수학적으로 조작하기 위해 사용하는 기호가 기능하는 세계이다. 개념은 구체적 세계에서 발생하여 기호를 통한 조작에 의해 정교화되며 (Tall, 2004a), 기호는 수학하는 과정(process)과 그 과정 자체가 대상(object)이 되는 개념 (concept)을 구성하는데 사용된다(Gray & Tall, 1992, p.
첫 번째 중단원인 ‘벡터와 그 연산’에서 교과서마다 어떻게 설명하였나?
첫 번째 중단원인 ‘벡터와 그 연산’에서 기하와 벡터 교과서 모두는 벡터를 크기와 방향을 갖는 양으로 정의한 다음 벡터와 유향선분의 관계를 설명한다. 이 때 대부분(8종)의 교과서가 벡터를 나타내는 표현 방법으로서 유향선분을 소개한 반면, 2종의 교과서는 ‘점 A 에서점 B 로 향하는 유향선분 AB 을 벡터 AB 라 한다‘와 같이 벡터와 그 표현 방법인 유향선분을 명확하게 구별하지 않고 사용하기도 하였다. 벡터와 그 표현을 구분하지 않는 교과서의 기술 방식과 벡터를 유향선분인 반직선과 일치하는 것으로 파악하는 현직교사의 견해(윤현경, 2011)5)는 학생들의 벡터 개념 형성에 주요한 영향을 미칠 수 있다.
벡터 개념은 무엇이며 언제 시작되었나?
크기와 방향을 갖는 양이라는 벡터 개념은 힘, 이동, 속도 등의 물리적 현상을 해석하는 수단으로 고대 그리스 시대에 발생하였으며, 복소수의 기하적 표현을 연구하던 18세기 수학자 Wessel에 의해 수학적 도구로 다루어지기 시작하였다(Katz, 1995). 19세기 이후 벡터 개념은 유향선분과 수의 순서쌍이라는 표현 형식을 거쳐 벡터 공간의 원소로 추상화되었다(Fuller, 1998; Dorier, 2000).
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