본 연구는 초등학교 4학년 학생들의 함수적 사고에 대한 질적 분석을 통해 학교 수학에서 함수적 사고 지도와 관련하여 그동안 간과되어 왔던 문제들을 제기하고, 학생들의 함수적 사고를 바탕으로 이에 대한 지도상의 개선 방안을 찾음으로써, 초기 대수 교육에 시사점을 주는 데 궁극적인 목적이 있다. 본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 가. 초등학교 4학년 학생들의 함수적 사고는 어떠한가? 1) 함수 유형에 따른 함수적 관계 파악은 어떠한가? 2) 패턴 유형에 따른 함수적 관계 적용은 어떠한가? 3) 패턴 유형에 따른 함수적 관계 표현은 어떠한가? 나. 학생들의 함수적 사고를 발달을 지원하는 지도 방안은 무엇인가? 본 연구는 이러한 연구 문제를 해결하기 위하여 학생들의 함수적 사고 검사지 분석 및 심층 면담, 그리고 교수실험을 통한 질적 ...
본 연구는 초등학교 4학년 학생들의 함수적 사고에 대한 질적 분석을 통해 학교 수학에서 함수적 사고 지도와 관련하여 그동안 간과되어 왔던 문제들을 제기하고, 학생들의 함수적 사고를 바탕으로 이에 대한 지도상의 개선 방안을 찾음으로써, 초기 대수 교육에 시사점을 주는 데 궁극적인 목적이 있다. 본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 가. 초등학교 4학년 학생들의 함수적 사고는 어떠한가? 1) 함수 유형에 따른 함수적 관계 파악은 어떠한가? 2) 패턴 유형에 따른 함수적 관계 적용은 어떠한가? 3) 패턴 유형에 따른 함수적 관계 표현은 어떠한가? 나. 학생들의 함수적 사고를 발달을 지원하는 지도 방안은 무엇인가? 본 연구는 이러한 연구 문제를 해결하기 위하여 학생들의 함수적 사고 검사지 분석 및 심층 면담, 그리고 교수실험을 통한 질적 사례연구 방법을 적용하였다. 구체적으로 연구 문제 ‘가’를 해결하기 위하여, 4학년 1개 학급을 대상으로 1, 2차 함수적 사고 검사를 실시 한 후 검사지 자료를 분석하였으며, 검사지 분석에서 특징적인 반응을 보이는 학생들을 대상으로 심층 면담을 병행하여 추가적인 정보를 얻고, 그 결과를 상세하게 분석하였다. 연구 문제 ‘나’를 해결하기 위하여, 초기 대수 및 함수적 사고의 지도와 관련된 문헌을 검토하여 함수적 사고 발달을 지원하는 지도 방향을 설정하고, 본 검사 및 면담 결과와 함수적 사고 관련 교과서 분석 결과를 종합하여 3차시의 수업 지도 프로그램을 개발하였으며, 함수적 사고를 활용한 관계 파악․표현․적용에 어려움을 겪는 학생 5명을 대상으로 적용한 후 지도 과정에서 나타나는 학생들의 함수적 사고 과정의 특징 및 발달 과정을 분석하였다. 본 연구를 통하여 다음과 같은 연구 결과를 얻을 수 있었다. 첫째, 함수 유형에 따른 관계 파악을 분석한 결과, 현재 교육과정에서 두 수의 관계를 학습하기 위한 함수 유형인 y=x+a와 y=ax에서는 학생들의 80% 이상이 기호화 수준의 함수적 관계 파악이 가능한 것으로 나타났다. 반면, y=ax+b 유형의 함수에서는 50% 이상의 학생들이 순환적인 관계 파악에 그쳤으며, 이 유형에서 함수적 관계 파악이 가능한 학생들도 기호로 관계를 표현하는 과정에서 다양한 오류들이 나타났다. 따라서 표상적 사고로서의 함수적 사고가 의미 있게 다루어지기 위해서는 이미 기호화 수준에 이른 함수 유형 보다는 y=ax+b 유형의 함수적 상황처럼 관계에 대한 일반화로 나아가는 과정에 있는 함수 유형을 제시할 필요가 있다. 둘째, y=ax+b 함수 유형에서 패턴에 따른 관계 적용을 분석한 결과는 다음과 같다. 표의 경우, 비순차적 데이터 제시와 독립변수의 명시적인 제시로 두 수의 관계에 초점을 맞출 수는 있었으나 수의 합성과 분해 능력이 부족한 경우 수치적 구조를 파악하는데 어려움을 보였다. 수열의 경우는 순차적인 데이터 제시로 인해 순환적인 관계 적용이 많이 나타났다. 또한 기하적 패턴의 경우는 시각적인 데이터가 추가됨으로써 다양한 패턴의 해석으로 문제 해결에 적용한 경우가 많았으나, 동시에 잘못된 패턴의 해석도 나타났다. 상황적 패턴의 경우는 시각적 요소를 포함하지 않음으로써, 수치적 요소만 분리하여 관계를 파악하고 문제 해결에 적용했다는 점에서 수열과 비슷한 관계 적용을 보였다. 또한 표로 제시된 수치적 패턴을 제외하고는 독립 변수와 종속 변수가 명시적으로 제시되지 않아, 순환적 규칙에 머무르거나, 복잡한 관계 적용이 이루어졌다. 이는 각 패턴에서의 데이터 제시의 특징이 학생들의 관계 적용 전략에 영향을 줄 수 있음을 의미하는 것으로, 패턴을 통해 함수적 사고 발달을 지원하기 위해서는 이러한 패턴과 함수적 사고와의 관련성에 바탕을 둔 계획이 선행되어야 함을 보여준다고 할 수 있다. 셋째, 패턴 유형에 따른 관계 표현을 분석한 결과는 다음과 같다. 표로 제시된 수치적 패턴의 경우, 독립 변수는 ‘입력’, 종속 변수는 ‘출력’으로, 두 대상이 명확히 결정됨으로써 관계 표현에 있어서도 수치적 구조를 파악하기만 하면 오류가 발견되지 않는 명확한 기호화 표현이 가능하다는 것을 확인할 수 있었다. 또한 화살표 도식은 물론 언어적 진술에 있어서도 준-변수적인 형태로 일반화된 식과 다름없는 관계 표현을 보였다. 수열로 제시된 수치적 패턴과 상황적 패턴의 경우 유사한 관계 표현을 볼 수 있었는데, 이 두 패턴에서 학생들이 표현한 일반화된 식을 살펴보면, 독립 변수를 기준으로 하여 종속 변수를 조절한 경우와 종속 변수를 기준으로 하여 독립변수를 조절한 두 가지 관계 표현을 나타내었다. 이는 패턴에서 독립 변수가 명확히 주어지지 않음에 기인한 것으로, 표와 같이 명확한 입출력의 관계를 나타내는 일반화된 식을 구성하기 위해서는 두 변수에 대한 명확한 인식을 바탕으로 일반화된 관계 표현으로 나아갈 수 있도록 해야 함을 시사한다. 기하적 패턴의 경우는 패턴에대한 다양한 해석으로 인하여 시각적인 설명과 함께 다양한 관계 표현으로 이어졌으며, 그로 인해 학생들의 다양한 아이디어를 확인할 수 있었다. 따라서 기하적 패턴의 시각적인 요소는 학생들이 기호화된 식의 의미를 되짚어보고 설명하는데 유용한 도구임을 확인할 수 있다. 하지만 이러한 관계 표현들은 패턴을 분해하여 자신이 인식한 증가 상황에 맞게 일반화한 경우로, 두 변수에 대한 명확한 함수적 관계 표현과는 거리가 있었다. 따라서 기하적 패턴에서도 두 변수에 대한 함수적 관계 표현을 위해서는 두 변수에 대한 명확한 인식을 바탕이 되어야 함을 알 수 있다. 끝으로, 본 연구에서는 초등학교 학생들의 함수적 사고 발달을 지원하고자, 패턴을 통한 함수적 사고의 도입, 다양한 표상과 연계한 지도, 함수적 표현 방법 강조 및 표현 간의 연결성 탐구, 자신의 생각을 정당화할 기회 제공의 4가지 지도 방향을 바탕으로 수업 프로그램을 개발하고 적용해 보았다. 그 과정에서 함수기계와 입출력 표, 위치 카드를 활용하여 함수적 관계 파악으로 나아갈 수 있도록 하였고, 화살표 도식과 pair-수직선을 활용하여 함수적 관계 표현 및 표현간의 연결성을 탐구할 수 있는 기회를 제공하였으며, 또한 패턴에서의 함수적 관계 파악 및 표현을 바탕으로 문제 해결 과정에 적용할 수 있는 기회를 제공함으로써 함수적 사고의 발달을 지원할 수 있었다. 이러한 결과는 수업 적용 대상의 대표성이나 표본의 크기의 문제로 인해 일반화하여 받아들이기는 힘든 점이 있으나, 이는 학생들의 실제로 지도하는 과정을 통한 경험적인 사실로서, 학생들의 함수적 사고 발달을 지원할 수 있는 지도 방법을 모색하는 데 기초적인 역할을 할 수 있으리라 기대한다.
본 연구는 초등학교 4학년 학생들의 함수적 사고에 대한 질적 분석을 통해 학교 수학에서 함수적 사고 지도와 관련하여 그동안 간과되어 왔던 문제들을 제기하고, 학생들의 함수적 사고를 바탕으로 이에 대한 지도상의 개선 방안을 찾음으로써, 초기 대수 교육에 시사점을 주는 데 궁극적인 목적이 있다. 본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 가. 초등학교 4학년 학생들의 함수적 사고는 어떠한가? 1) 함수 유형에 따른 함수적 관계 파악은 어떠한가? 2) 패턴 유형에 따른 함수적 관계 적용은 어떠한가? 3) 패턴 유형에 따른 함수적 관계 표현은 어떠한가? 나. 학생들의 함수적 사고를 발달을 지원하는 지도 방안은 무엇인가? 본 연구는 이러한 연구 문제를 해결하기 위하여 학생들의 함수적 사고 검사지 분석 및 심층 면담, 그리고 교수실험을 통한 질적 사례연구 방법을 적용하였다. 구체적으로 연구 문제 ‘가’를 해결하기 위하여, 4학년 1개 학급을 대상으로 1, 2차 함수적 사고 검사를 실시 한 후 검사지 자료를 분석하였으며, 검사지 분석에서 특징적인 반응을 보이는 학생들을 대상으로 심층 면담을 병행하여 추가적인 정보를 얻고, 그 결과를 상세하게 분석하였다. 연구 문제 ‘나’를 해결하기 위하여, 초기 대수 및 함수적 사고의 지도와 관련된 문헌을 검토하여 함수적 사고 발달을 지원하는 지도 방향을 설정하고, 본 검사 및 면담 결과와 함수적 사고 관련 교과서 분석 결과를 종합하여 3차시의 수업 지도 프로그램을 개발하였으며, 함수적 사고를 활용한 관계 파악․표현․적용에 어려움을 겪는 학생 5명을 대상으로 적용한 후 지도 과정에서 나타나는 학생들의 함수적 사고 과정의 특징 및 발달 과정을 분석하였다. 본 연구를 통하여 다음과 같은 연구 결과를 얻을 수 있었다. 첫째, 함수 유형에 따른 관계 파악을 분석한 결과, 현재 교육과정에서 두 수의 관계를 학습하기 위한 함수 유형인 y=x+a와 y=ax에서는 학생들의 80% 이상이 기호화 수준의 함수적 관계 파악이 가능한 것으로 나타났다. 반면, y=ax+b 유형의 함수에서는 50% 이상의 학생들이 순환적인 관계 파악에 그쳤으며, 이 유형에서 함수적 관계 파악이 가능한 학생들도 기호로 관계를 표현하는 과정에서 다양한 오류들이 나타났다. 따라서 표상적 사고로서의 함수적 사고가 의미 있게 다루어지기 위해서는 이미 기호화 수준에 이른 함수 유형 보다는 y=ax+b 유형의 함수적 상황처럼 관계에 대한 일반화로 나아가는 과정에 있는 함수 유형을 제시할 필요가 있다. 둘째, y=ax+b 함수 유형에서 패턴에 따른 관계 적용을 분석한 결과는 다음과 같다. 표의 경우, 비순차적 데이터 제시와 독립변수의 명시적인 제시로 두 수의 관계에 초점을 맞출 수는 있었으나 수의 합성과 분해 능력이 부족한 경우 수치적 구조를 파악하는데 어려움을 보였다. 수열의 경우는 순차적인 데이터 제시로 인해 순환적인 관계 적용이 많이 나타났다. 또한 기하적 패턴의 경우는 시각적인 데이터가 추가됨으로써 다양한 패턴의 해석으로 문제 해결에 적용한 경우가 많았으나, 동시에 잘못된 패턴의 해석도 나타났다. 상황적 패턴의 경우는 시각적 요소를 포함하지 않음으로써, 수치적 요소만 분리하여 관계를 파악하고 문제 해결에 적용했다는 점에서 수열과 비슷한 관계 적용을 보였다. 또한 표로 제시된 수치적 패턴을 제외하고는 독립 변수와 종속 변수가 명시적으로 제시되지 않아, 순환적 규칙에 머무르거나, 복잡한 관계 적용이 이루어졌다. 이는 각 패턴에서의 데이터 제시의 특징이 학생들의 관계 적용 전략에 영향을 줄 수 있음을 의미하는 것으로, 패턴을 통해 함수적 사고 발달을 지원하기 위해서는 이러한 패턴과 함수적 사고와의 관련성에 바탕을 둔 계획이 선행되어야 함을 보여준다고 할 수 있다. 셋째, 패턴 유형에 따른 관계 표현을 분석한 결과는 다음과 같다. 표로 제시된 수치적 패턴의 경우, 독립 변수는 ‘입력’, 종속 변수는 ‘출력’으로, 두 대상이 명확히 결정됨으로써 관계 표현에 있어서도 수치적 구조를 파악하기만 하면 오류가 발견되지 않는 명확한 기호화 표현이 가능하다는 것을 확인할 수 있었다. 또한 화살표 도식은 물론 언어적 진술에 있어서도 준-변수적인 형태로 일반화된 식과 다름없는 관계 표현을 보였다. 수열로 제시된 수치적 패턴과 상황적 패턴의 경우 유사한 관계 표현을 볼 수 있었는데, 이 두 패턴에서 학생들이 표현한 일반화된 식을 살펴보면, 독립 변수를 기준으로 하여 종속 변수를 조절한 경우와 종속 변수를 기준으로 하여 독립변수를 조절한 두 가지 관계 표현을 나타내었다. 이는 패턴에서 독립 변수가 명확히 주어지지 않음에 기인한 것으로, 표와 같이 명확한 입출력의 관계를 나타내는 일반화된 식을 구성하기 위해서는 두 변수에 대한 명확한 인식을 바탕으로 일반화된 관계 표현으로 나아갈 수 있도록 해야 함을 시사한다. 기하적 패턴의 경우는 패턴에대한 다양한 해석으로 인하여 시각적인 설명과 함께 다양한 관계 표현으로 이어졌으며, 그로 인해 학생들의 다양한 아이디어를 확인할 수 있었다. 따라서 기하적 패턴의 시각적인 요소는 학생들이 기호화된 식의 의미를 되짚어보고 설명하는데 유용한 도구임을 확인할 수 있다. 하지만 이러한 관계 표현들은 패턴을 분해하여 자신이 인식한 증가 상황에 맞게 일반화한 경우로, 두 변수에 대한 명확한 함수적 관계 표현과는 거리가 있었다. 따라서 기하적 패턴에서도 두 변수에 대한 함수적 관계 표현을 위해서는 두 변수에 대한 명확한 인식을 바탕이 되어야 함을 알 수 있다. 끝으로, 본 연구에서는 초등학교 학생들의 함수적 사고 발달을 지원하고자, 패턴을 통한 함수적 사고의 도입, 다양한 표상과 연계한 지도, 함수적 표현 방법 강조 및 표현 간의 연결성 탐구, 자신의 생각을 정당화할 기회 제공의 4가지 지도 방향을 바탕으로 수업 프로그램을 개발하고 적용해 보았다. 그 과정에서 함수기계와 입출력 표, 위치 카드를 활용하여 함수적 관계 파악으로 나아갈 수 있도록 하였고, 화살표 도식과 pair-수직선을 활용하여 함수적 관계 표현 및 표현간의 연결성을 탐구할 수 있는 기회를 제공하였으며, 또한 패턴에서의 함수적 관계 파악 및 표현을 바탕으로 문제 해결 과정에 적용할 수 있는 기회를 제공함으로써 함수적 사고의 발달을 지원할 수 있었다. 이러한 결과는 수업 적용 대상의 대표성이나 표본의 크기의 문제로 인해 일반화하여 받아들이기는 힘든 점이 있으나, 이는 학생들의 실제로 지도하는 과정을 통한 경험적인 사실로서, 학생들의 함수적 사고 발달을 지원할 수 있는 지도 방법을 모색하는 데 기초적인 역할을 할 수 있으리라 기대한다.
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