‘Pick의 정리’ 문제 해결 과정에서 나타나는 수학영재 학생들의 사고특성과 정당화 분석 An Analysis of Mathematically Gifted Students’ Thinking Characteristics and Justification in ‘Pick's Theorem' Problem Solving Process원문보기
본 연구의 목적은 중학교 수학영재 학생들이 ‘Pick의 정리’를 소재로 문제를 해결하는 과정에서 나타나는 수학영재 학생들의 사고특성과 정당화특성을 살펴보는데 있다. 이러한 연구 목적을 구현하기 위하여 다음과 같이 두 가지 연구 문제를 설정하였다. 첫째, ‘Pick의 정리’ 문제 해결과정에서 나타나는 중학교 수학영재 학생들의 사고 특성은 어떠한가? 둘째, ‘Pick의 정리’를 정당화하는 과정에서 나타나는 중학교 수학영재 학생들의 특성은 어떠한가? 연구문제를 해결하기 위해 서울특별시 S교육지원청 수학영재원에서 선발되어 이수 중인 중학교 2학년 학생 4명을 대상으로 연구하였다. 연구에 참여하고자 하는 희망자 가운데서 영재원 경험이 많은 2명의 학생과 경험이 적은 2명의 학생을 구분하여 선발하였고 모두 ‘Pick의 정리’에 대해 학습한 경험이 없었다. 연구 과제는 문헌들을 바탕으로 연구자가 직접 제작했으며 총 5차시에 해당한다. 1차시의 주제는 ‘Pick의 정리 발견’이고, 2차시는 ‘Pick의 정리 정당화하기’, 3차시는 ‘Pick의 정리가 성립하지 않는 도형의 식을 찾고 정당화하기’ 이다. 4차시는 ‘Pick의 정리를 실생활 적용’이고 5차시는 ‘Pick의 정리의 확장’이다. 본 연구에서 각 연구문제에 대한 결론은 다음과 같다. 첫째, ‘Pick의 정리’란 주제는 수학 영재 학생들에게 다양한 사고를 요구하는 과제가 될 수 있다. 동질집단이지만 이질집단이 나올수 밖에 없는 현실 속에서 상대적 하위 그룹에서는 직관적 통찰, ...
본 연구의 목적은 중학교 수학영재 학생들이 ‘Pick의 정리’를 소재로 문제를 해결하는 과정에서 나타나는 수학영재 학생들의 사고특성과 정당화특성을 살펴보는데 있다. 이러한 연구 목적을 구현하기 위하여 다음과 같이 두 가지 연구 문제를 설정하였다. 첫째, ‘Pick의 정리’ 문제 해결과정에서 나타나는 중학교 수학영재 학생들의 사고 특성은 어떠한가? 둘째, ‘Pick의 정리’를 정당화하는 과정에서 나타나는 중학교 수학영재 학생들의 특성은 어떠한가? 연구문제를 해결하기 위해 서울특별시 S교육지원청 수학영재원에서 선발되어 이수 중인 중학교 2학년 학생 4명을 대상으로 연구하였다. 연구에 참여하고자 하는 희망자 가운데서 영재원 경험이 많은 2명의 학생과 경험이 적은 2명의 학생을 구분하여 선발하였고 모두 ‘Pick의 정리’에 대해 학습한 경험이 없었다. 연구 과제는 문헌들을 바탕으로 연구자가 직접 제작했으며 총 5차시에 해당한다. 1차시의 주제는 ‘Pick의 정리 발견’이고, 2차시는 ‘Pick의 정리 정당화하기’, 3차시는 ‘Pick의 정리가 성립하지 않는 도형의 식을 찾고 정당화하기’ 이다. 4차시는 ‘Pick의 정리를 실생활 적용’이고 5차시는 ‘Pick의 정리의 확장’이다. 본 연구에서 각 연구문제에 대한 결론은 다음과 같다. 첫째, ‘Pick의 정리’란 주제는 수학 영재 학생들에게 다양한 사고를 요구하는 과제가 될 수 있다. 동질집단이지만 이질집단이 나올수 밖에 없는 현실 속에서 상대적 하위 그룹에서는 직관적 통찰, 귀납적 추론, 정보 처리의 신속함과 효율성을 상대적 상위 그룹에서는 직관적 통찰, 귀납적 추론, 연역적 추론을 비롯한 논리적·추상적 사고, 유추적 사고, 창의적 사고 등을 기대할 수 있다. 중등 수학영재들의 다양한 사고를 이끌어 낼 수 있으므로 프로그램 계발로 이어질 필요가 있다. 둘째, 중학교 2학년 수학영재 학생은 연역적, 형식적 정당화를 받아들이기에 충분하다. 연구 결과 상위집단은 쉬운 문제는 연역적으로 어려운 문제는 귀납적으로 정당화하려하고 하위집단은 문제에 상관없이 귀납적으로 정당화하려고 한다. 조작적 불변자가 충분함에도 귀납적으로 정당화하는 것은 일상 언어에서 수학적 언어로의 변환이 부족해서이다. 그러므로 수학적 언어, 기호에 대한 학습을 시작으로 연역적, 형식적 정당화에 대한 점진적인 학습이 필요하다. 셋째, 본 연구에서 제시하는 과제들은 중학교 2학년 영재학생들이 해결할 수 있다. 연구 결과에 따르면 필요한 조작적 불변자들은 갖추고 있으며 「Pick의 정리 정당화」와 「구멍이 있는 도형의 Pick의 정리 정당화」는 할 만하다고 인식하고 있으며 「교점이 있는 도형의 Pick의 정리 정당화」와 「각기둥에서의 Pick의 정리 정당화」는 조금 어려운 과제이다. 어렵고 복잡한 문제에 대해 스스로 도전하는 성향이 있는 영재학생에게 4개의 정당화 과제는 적합하다고 생각된다. 「교점이 있는 도형의 Pick의 정리 정당화」와 「각기둥에서의 Pick의 정리 정당화」는 팀별과제로 적합하다. 이와 같은 연구결과를 바탕으로 몇 가지 제안을 하고자 한다. 첫째, ‘Pick의 정리’는 문제해결과정 속에 수학 영재학생들의 다양한 사고 특성이 나타나며 특히 패턴의 일반화와 수학적 추론에 관련된 주제이다. 그러므로 논리적 사고력 향상을 위해 ‘Pick의 정리’ 와 관련된 심화 영재 학습 자료의 개발이 필요하다. 둘째, 본 연구에서 사용한 PILSO 분석틀처럼 수학 영재 학생의 증명교육에 지침과 교수학적 접근을 위해서 수학영재 학생들에 맞는 세분화 된 정당화 과정 분석틀이 필요하다. 분석틀 개발로 수학 영재학생들이 어느 정도의 수준이며 부족한 부분이 어디인지 찾아내서 지도에 참고할 수 있을 것이다. 셋째, 본 연구는 4명의 학생을 대상으로 한 사례연구이다. 따라서 더 많은 학생들을 대상으로 정당화 특성을 분석하여 요소 간에는 어떤 영향이 있는지, 중학교 수학영재 학생들의 증명 교육을 위해 필요한 것이 무엇인지 후속 연구가 요구된다.
본 연구의 목적은 중학교 수학영재 학생들이 ‘Pick의 정리’를 소재로 문제를 해결하는 과정에서 나타나는 수학영재 학생들의 사고특성과 정당화특성을 살펴보는데 있다. 이러한 연구 목적을 구현하기 위하여 다음과 같이 두 가지 연구 문제를 설정하였다. 첫째, ‘Pick의 정리’ 문제 해결과정에서 나타나는 중학교 수학영재 학생들의 사고 특성은 어떠한가? 둘째, ‘Pick의 정리’를 정당화하는 과정에서 나타나는 중학교 수학영재 학생들의 특성은 어떠한가? 연구문제를 해결하기 위해 서울특별시 S교육지원청 수학영재원에서 선발되어 이수 중인 중학교 2학년 학생 4명을 대상으로 연구하였다. 연구에 참여하고자 하는 희망자 가운데서 영재원 경험이 많은 2명의 학생과 경험이 적은 2명의 학생을 구분하여 선발하였고 모두 ‘Pick의 정리’에 대해 학습한 경험이 없었다. 연구 과제는 문헌들을 바탕으로 연구자가 직접 제작했으며 총 5차시에 해당한다. 1차시의 주제는 ‘Pick의 정리 발견’이고, 2차시는 ‘Pick의 정리 정당화하기’, 3차시는 ‘Pick의 정리가 성립하지 않는 도형의 식을 찾고 정당화하기’ 이다. 4차시는 ‘Pick의 정리를 실생활 적용’이고 5차시는 ‘Pick의 정리의 확장’이다. 본 연구에서 각 연구문제에 대한 결론은 다음과 같다. 첫째, ‘Pick의 정리’란 주제는 수학 영재 학생들에게 다양한 사고를 요구하는 과제가 될 수 있다. 동질집단이지만 이질집단이 나올수 밖에 없는 현실 속에서 상대적 하위 그룹에서는 직관적 통찰, 귀납적 추론, 정보 처리의 신속함과 효율성을 상대적 상위 그룹에서는 직관적 통찰, 귀납적 추론, 연역적 추론을 비롯한 논리적·추상적 사고, 유추적 사고, 창의적 사고 등을 기대할 수 있다. 중등 수학영재들의 다양한 사고를 이끌어 낼 수 있으므로 프로그램 계발로 이어질 필요가 있다. 둘째, 중학교 2학년 수학영재 학생은 연역적, 형식적 정당화를 받아들이기에 충분하다. 연구 결과 상위집단은 쉬운 문제는 연역적으로 어려운 문제는 귀납적으로 정당화하려하고 하위집단은 문제에 상관없이 귀납적으로 정당화하려고 한다. 조작적 불변자가 충분함에도 귀납적으로 정당화하는 것은 일상 언어에서 수학적 언어로의 변환이 부족해서이다. 그러므로 수학적 언어, 기호에 대한 학습을 시작으로 연역적, 형식적 정당화에 대한 점진적인 학습이 필요하다. 셋째, 본 연구에서 제시하는 과제들은 중학교 2학년 영재학생들이 해결할 수 있다. 연구 결과에 따르면 필요한 조작적 불변자들은 갖추고 있으며 「Pick의 정리 정당화」와 「구멍이 있는 도형의 Pick의 정리 정당화」는 할 만하다고 인식하고 있으며 「교점이 있는 도형의 Pick의 정리 정당화」와 「각기둥에서의 Pick의 정리 정당화」는 조금 어려운 과제이다. 어렵고 복잡한 문제에 대해 스스로 도전하는 성향이 있는 영재학생에게 4개의 정당화 과제는 적합하다고 생각된다. 「교점이 있는 도형의 Pick의 정리 정당화」와 「각기둥에서의 Pick의 정리 정당화」는 팀별과제로 적합하다. 이와 같은 연구결과를 바탕으로 몇 가지 제안을 하고자 한다. 첫째, ‘Pick의 정리’는 문제해결과정 속에 수학 영재학생들의 다양한 사고 특성이 나타나며 특히 패턴의 일반화와 수학적 추론에 관련된 주제이다. 그러므로 논리적 사고력 향상을 위해 ‘Pick의 정리’ 와 관련된 심화 영재 학습 자료의 개발이 필요하다. 둘째, 본 연구에서 사용한 PILSO 분석틀처럼 수학 영재 학생의 증명교육에 지침과 교수학적 접근을 위해서 수학영재 학생들에 맞는 세분화 된 정당화 과정 분석틀이 필요하다. 분석틀 개발로 수학 영재학생들이 어느 정도의 수준이며 부족한 부분이 어디인지 찾아내서 지도에 참고할 수 있을 것이다. 셋째, 본 연구는 4명의 학생을 대상으로 한 사례연구이다. 따라서 더 많은 학생들을 대상으로 정당화 특성을 분석하여 요소 간에는 어떤 영향이 있는지, 중학교 수학영재 학생들의 증명 교육을 위해 필요한 것이 무엇인지 후속 연구가 요구된다.
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