[학위논문]‘스타이너 트리’를 활용한 수학 영재 교수 · 학습 자료의 개발 및 적용 Development and Application of Teaching-Learning Materials Using Steiner Tree for Mathematically Gifted Students원문보기
본 연구의 목적은 스타이너 트리 문제를 소재로 수학 영재 교수·학습 자료를 개발하여 영재 지도 교사들이 교육현장에서 활용할 수 있도록 하기 위함이다. 스타이너 트리 문제는 그 자체로도 그래프 이론과 기하학, 계산복잡도 이론에서 중요한 위치를 차지하고 있지만(Soothill, 2010), 유선 통신선이나 도로, 철도, 집적 회로 등 현실 세계에서 여러 형태의 연결 문제가 스타이너 트리 문제로 모델링될 수 있음을 고려할 때 그 활용도 측면에서도 매우 중요한 문제이다. 스타이너 트리 문제는 수학 영재를 위한 새로운 융합 콘텐츠이자 주제 중심, 프로젝트 중심 수업의 소재로서 많은 가치를 지니고 있다. 따라서 연구 목적에 따른 연구 문제를 다음과 같이 설정하였다.
1. 스타이너 트리를 소재로 하여 중학교 수학 영재 학생들을 위한 교수·학습 자료를 어떻게 구성할 것인가?
2. 스타이너 트리 문제를 활용한 수학 영재 교수·학습 자료의 적용 과정에서 나타나는 영재 학생들의 사고특성은 어떠한가?
첫 번째 연구 문제를 해결하기 위해 국내외 서적과 논문을 통해 스타이너 트리 이론을 정리하고 학습 요소를 추출하였다. 또한 수학 영재의 특성 및 수학 영재 교수·학습 자료의 개발 준거를 살펴보고 구체적인 개발 방향과 학습 목표를 설정하였다. 마지막으로 전문가 2인의 조언을 반영하여 20차시 이상의 교수·학습 자료를 개발하였다. 두 번째 연구 문제를 해결하기 위해 K대학교 영재교육원 수학 사사과정에 참여하는 중학교 3학년 학생 4명을 대상으로 개발한 교수·학습 자료를 실제 수업에 적용하였다. 수학 영재의 사고 특성을 7가지로 분류한 기준에 따라 적용 과정에서 수학 영재 학생들의 어떤 사고 특성이 발현되는지 살펴보고, 수학적 사고 경험을 제공하고 수학적 능력을 발전시킬 수 있는 교육 자료를 개발하고자 하였다. 또 영재 교수·학습 자료의 개발 준거에 따라 개발 자료 및 적용 결과를 분석하여 자료의 ...
본 연구의 목적은 스타이너 트리 문제를 소재로 수학 영재 교수·학습 자료를 개발하여 영재 지도 교사들이 교육현장에서 활용할 수 있도록 하기 위함이다. 스타이너 트리 문제는 그 자체로도 그래프 이론과 기하학, 계산복잡도 이론에서 중요한 위치를 차지하고 있지만(Soothill, 2010), 유선 통신선이나 도로, 철도, 집적 회로 등 현실 세계에서 여러 형태의 연결 문제가 스타이너 트리 문제로 모델링될 수 있음을 고려할 때 그 활용도 측면에서도 매우 중요한 문제이다. 스타이너 트리 문제는 수학 영재를 위한 새로운 융합 콘텐츠이자 주제 중심, 프로젝트 중심 수업의 소재로서 많은 가치를 지니고 있다. 따라서 연구 목적에 따른 연구 문제를 다음과 같이 설정하였다.
1. 스타이너 트리를 소재로 하여 중학교 수학 영재 학생들을 위한 교수·학습 자료를 어떻게 구성할 것인가?
2. 스타이너 트리 문제를 활용한 수학 영재 교수·학습 자료의 적용 과정에서 나타나는 영재 학생들의 사고특성은 어떠한가?
첫 번째 연구 문제를 해결하기 위해 국내외 서적과 논문을 통해 스타이너 트리 이론을 정리하고 학습 요소를 추출하였다. 또한 수학 영재의 특성 및 수학 영재 교수·학습 자료의 개발 준거를 살펴보고 구체적인 개발 방향과 학습 목표를 설정하였다. 마지막으로 전문가 2인의 조언을 반영하여 20차시 이상의 교수·학습 자료를 개발하였다. 두 번째 연구 문제를 해결하기 위해 K대학교 영재교육원 수학 사사과정에 참여하는 중학교 3학년 학생 4명을 대상으로 개발한 교수·학습 자료를 실제 수업에 적용하였다. 수학 영재의 사고 특성을 7가지로 분류한 기준에 따라 적용 과정에서 수학 영재 학생들의 어떤 사고 특성이 발현되는지 살펴보고, 수학적 사고 경험을 제공하고 수학적 능력을 발전시킬 수 있는 교육 자료를 개발하고자 하였다. 또 영재 교수·학습 자료의 개발 준거에 따라 개발 자료 및 적용 결과를 분석하여 자료의 타당도를 높이고자 하였다. 마지막으로 개발 자료와 학생 활동 결과물을 바탕으로 영재교육 경험이 있는 현직 교사 6명을 대상으로 설문조사를 실시하여, 자료의 적합성을 확인하고 교수·학습 자료에 개선점을 반영하였다. 본 연구에서 개발한 수학 영재 교수·학습 자료를 실제 수업에 적용한 뒤 다음과 같은 결론을 얻었다.
첫째, 스타이너 트리를 소재로 개발한 교수·학습 자료는 수학영재를 위한 심화 학습 자료로 활용될 수 있다. 스타이너 트리는 중학교에서 다루는 평면 도형의 기본 성질을 바탕으로 구성되기 때문에 속진 과정이 아니라 심화 과정으로 활용될 수 있으며, 평면에서 최단 거리의 연결에 대해 깊이 있는 탐구가 가능한 소재이다. 다양한 분야에서 활용되고 있는 만큼 영재 학생들의 외적연결성과 문제해결력, 종합적 사고력을 향상시킬 수 있는 소재이기도 하다. 둘째, 스타이너 트리를 활용한 교수·학습 자료는 수학 영재 학생들에게 다양한 사고를 요구하는 과제가 될 수 있다. 개발 자료를 실제 수업에 적용했을 때, 스타이너 트리의 기하적 성질을 탐구하는 과정에서는 귀납 추론과 일반화, 시각적·도해적 추론, 논리적 사고 등을 통해 새로운 수학적 개념, 원리를 발견하였다. 다각형의 SMT를 찾고 가중치가 적용된 페르마의 문제를 해결하는 과정에서는 직관적 통찰 및 유추, 시각적·도해적 추론을 통한 문제 해결이 두드러졌다. 학습한 개념을 실생활 문제에 적용하는 활동에서는 정보의 조직화, 논리적 사고, 발산적 사고, 반성적 사고를 통한 문제 해결이 이루어졌으며, 마지막 프로젝트 학습에서는 여러 가지 요소가 복합적으로 나타나며 종합적 사고가 이루어졌다. 셋째, 스타이너 트리를 소재로 개발한 교수·학습 자료는 프로젝트 중심 수업에서 활용될 수 있다. 개발된 교수·학습 자료는 스타이너 트리의 성질을 이해하는 활동부터 시작하여 최단 거리 연결 문제를 깊이 있게 탐구하고, 관련된 실생활 문제의 해결을 경험하게 함으로써 학생들이 자기주도적 프로젝트를 수행할 수 있는 수학적 기반을 갖추도록 단계적으로 구성되어 있다. 넷째, 스타이너 트리를 활용한 교수·학습 자료는 평면 그래프의 최적화 문제를 알고리즘 측면에서 다룸으로써 학습자에게 최적해가 아니라 근사해를 찾는 새로운 문제해결 방법을 경험하게 할 수 있다. 학생들은 대부분 답이 정해져 있는 문제만 접해 왔기 때문에 가장 좋은 답을 얻기 전에는 문제를 해결하지 못한 것이라 생각하였고, 알고리즘도 최적해를 찾아야만 가치가 있다고 생각하는 경향이 있었다. ‘여행하는 외판원 문제’나 ‘놀이공원 길 설계하기’ 과제를 다루면서 학생들은 효율성을 고려한 휴리스틱 알고리즘의 가치를 이해할 수 있었다. 다섯째, 최단 거리 연결과 관련된 실생활 문제를 해결하는 활동은 실생활에서 수학이 활용되는 사례를 경험하게 함으로써 수학의 역할과 가치를 실감하게 할 것으로 기대된다. 학생들은 스타이너 트리 이론을 실생활에 적용하면서 평소 관심을 두지 않았던 문제들에 관심을 갖게 되고, 수학적인 근거를 들어 합리적인 의사결정을 할 수 있다는 점을 인식하게 되었다. 여섯째, 탐구형 소프트웨어를 활용하는 수업 모델을 제시하고 실제 수업에 적용함으로써, 알맞은 공학 도구의 사용은 학습을 가능하게 하고 학습자의 이해를 도울 수 있음을 확인할 수 있다. 스타이너 트리를 직접 구성하는 과정에서 Geogebra의 사용은 보다 역동적인 탐구 기회를 제공하고, 시각적·도해적 추론과 정당화를 가능하게 하였다.
이 연구의 결과를 바탕으로 발전된 후속 연구를 위하여 다음과 같은 제언을 한다. 첫째, 개발된 교수·학습 자료는 최적화 문제를 알고리즘 측면에서 다루었으나, 실제로 알고리즘을 개발하여 문제 해결에 적용하지는 않았다. 특정 문제를 해결하는 데 그치지 않고 일반화된 알고리즘을 개발하는 것은 보다 높은 수준의 사고력을 요구하는 문제로 영재 학생들에게 도전적인 과제가 될 수 있다. 향후 스타이너 트리에 대한 수학적 지식을 기반으로 실제 알고리즘의 개발 및 적용까지 이어질 수 있도록 정보 분야와 융합된 프로그램의 개발을 시도해 볼 필요가 있다. 둘째, 개발된 교수·학습 자료는 소수의 표본을 대상으로 한 번의 수업에 적용하였기 때문에 실험 결과를 일반화하기에는 무리가 있다. 더 많은 학생을 대상으로 여러 번 실제 수업에 적용하여 교수·학습 자료를 발전시킬 수 있는 후속 연구가 필요하다. 특히 컴퓨터 프로그래밍 교육이 이루어지는 과학 고등학교에서 과제 탐구나 R&E 수업에 적용하여 창의·융합 능력을 함양할 수 있는 교수·학습 자료로서의 가치를 확인해볼 필요가 있다. 셋째, 유클리드 스타이너 트리 문제를 택시거리 공간에서의 스타이너 트리 문제로 확장시켜 사고해볼 수 있다. 택시거리는 도시 설계나 집적 회로 구성 등 응용 가능한 범위가 넓어서 택시거리 공간에서 스타이너 트리 문제를 다룬 연구들이 많이 진행되었다. 이를 활용하여 수학 영재 자료의 개발을 시도해 볼 수 있다.
본 연구의 목적은 스타이너 트리 문제를 소재로 수학 영재 교수·학습 자료를 개발하여 영재 지도 교사들이 교육현장에서 활용할 수 있도록 하기 위함이다. 스타이너 트리 문제는 그 자체로도 그래프 이론과 기하학, 계산복잡도 이론에서 중요한 위치를 차지하고 있지만(Soothill, 2010), 유선 통신선이나 도로, 철도, 집적 회로 등 현실 세계에서 여러 형태의 연결 문제가 스타이너 트리 문제로 모델링될 수 있음을 고려할 때 그 활용도 측면에서도 매우 중요한 문제이다. 스타이너 트리 문제는 수학 영재를 위한 새로운 융합 콘텐츠이자 주제 중심, 프로젝트 중심 수업의 소재로서 많은 가치를 지니고 있다. 따라서 연구 목적에 따른 연구 문제를 다음과 같이 설정하였다.
1. 스타이너 트리를 소재로 하여 중학교 수학 영재 학생들을 위한 교수·학습 자료를 어떻게 구성할 것인가?
2. 스타이너 트리 문제를 활용한 수학 영재 교수·학습 자료의 적용 과정에서 나타나는 영재 학생들의 사고특성은 어떠한가?
첫 번째 연구 문제를 해결하기 위해 국내외 서적과 논문을 통해 스타이너 트리 이론을 정리하고 학습 요소를 추출하였다. 또한 수학 영재의 특성 및 수학 영재 교수·학습 자료의 개발 준거를 살펴보고 구체적인 개발 방향과 학습 목표를 설정하였다. 마지막으로 전문가 2인의 조언을 반영하여 20차시 이상의 교수·학습 자료를 개발하였다. 두 번째 연구 문제를 해결하기 위해 K대학교 영재교육원 수학 사사과정에 참여하는 중학교 3학년 학생 4명을 대상으로 개발한 교수·학습 자료를 실제 수업에 적용하였다. 수학 영재의 사고 특성을 7가지로 분류한 기준에 따라 적용 과정에서 수학 영재 학생들의 어떤 사고 특성이 발현되는지 살펴보고, 수학적 사고 경험을 제공하고 수학적 능력을 발전시킬 수 있는 교육 자료를 개발하고자 하였다. 또 영재 교수·학습 자료의 개발 준거에 따라 개발 자료 및 적용 결과를 분석하여 자료의 타당도를 높이고자 하였다. 마지막으로 개발 자료와 학생 활동 결과물을 바탕으로 영재교육 경험이 있는 현직 교사 6명을 대상으로 설문조사를 실시하여, 자료의 적합성을 확인하고 교수·학습 자료에 개선점을 반영하였다. 본 연구에서 개발한 수학 영재 교수·학습 자료를 실제 수업에 적용한 뒤 다음과 같은 결론을 얻었다.
첫째, 스타이너 트리를 소재로 개발한 교수·학습 자료는 수학영재를 위한 심화 학습 자료로 활용될 수 있다. 스타이너 트리는 중학교에서 다루는 평면 도형의 기본 성질을 바탕으로 구성되기 때문에 속진 과정이 아니라 심화 과정으로 활용될 수 있으며, 평면에서 최단 거리의 연결에 대해 깊이 있는 탐구가 가능한 소재이다. 다양한 분야에서 활용되고 있는 만큼 영재 학생들의 외적연결성과 문제해결력, 종합적 사고력을 향상시킬 수 있는 소재이기도 하다. 둘째, 스타이너 트리를 활용한 교수·학습 자료는 수학 영재 학생들에게 다양한 사고를 요구하는 과제가 될 수 있다. 개발 자료를 실제 수업에 적용했을 때, 스타이너 트리의 기하적 성질을 탐구하는 과정에서는 귀납 추론과 일반화, 시각적·도해적 추론, 논리적 사고 등을 통해 새로운 수학적 개념, 원리를 발견하였다. 다각형의 SMT를 찾고 가중치가 적용된 페르마의 문제를 해결하는 과정에서는 직관적 통찰 및 유추, 시각적·도해적 추론을 통한 문제 해결이 두드러졌다. 학습한 개념을 실생활 문제에 적용하는 활동에서는 정보의 조직화, 논리적 사고, 발산적 사고, 반성적 사고를 통한 문제 해결이 이루어졌으며, 마지막 프로젝트 학습에서는 여러 가지 요소가 복합적으로 나타나며 종합적 사고가 이루어졌다. 셋째, 스타이너 트리를 소재로 개발한 교수·학습 자료는 프로젝트 중심 수업에서 활용될 수 있다. 개발된 교수·학습 자료는 스타이너 트리의 성질을 이해하는 활동부터 시작하여 최단 거리 연결 문제를 깊이 있게 탐구하고, 관련된 실생활 문제의 해결을 경험하게 함으로써 학생들이 자기주도적 프로젝트를 수행할 수 있는 수학적 기반을 갖추도록 단계적으로 구성되어 있다. 넷째, 스타이너 트리를 활용한 교수·학습 자료는 평면 그래프의 최적화 문제를 알고리즘 측면에서 다룸으로써 학습자에게 최적해가 아니라 근사해를 찾는 새로운 문제해결 방법을 경험하게 할 수 있다. 학생들은 대부분 답이 정해져 있는 문제만 접해 왔기 때문에 가장 좋은 답을 얻기 전에는 문제를 해결하지 못한 것이라 생각하였고, 알고리즘도 최적해를 찾아야만 가치가 있다고 생각하는 경향이 있었다. ‘여행하는 외판원 문제’나 ‘놀이공원 길 설계하기’ 과제를 다루면서 학생들은 효율성을 고려한 휴리스틱 알고리즘의 가치를 이해할 수 있었다. 다섯째, 최단 거리 연결과 관련된 실생활 문제를 해결하는 활동은 실생활에서 수학이 활용되는 사례를 경험하게 함으로써 수학의 역할과 가치를 실감하게 할 것으로 기대된다. 학생들은 스타이너 트리 이론을 실생활에 적용하면서 평소 관심을 두지 않았던 문제들에 관심을 갖게 되고, 수학적인 근거를 들어 합리적인 의사결정을 할 수 있다는 점을 인식하게 되었다. 여섯째, 탐구형 소프트웨어를 활용하는 수업 모델을 제시하고 실제 수업에 적용함으로써, 알맞은 공학 도구의 사용은 학습을 가능하게 하고 학습자의 이해를 도울 수 있음을 확인할 수 있다. 스타이너 트리를 직접 구성하는 과정에서 Geogebra의 사용은 보다 역동적인 탐구 기회를 제공하고, 시각적·도해적 추론과 정당화를 가능하게 하였다.
이 연구의 결과를 바탕으로 발전된 후속 연구를 위하여 다음과 같은 제언을 한다. 첫째, 개발된 교수·학습 자료는 최적화 문제를 알고리즘 측면에서 다루었으나, 실제로 알고리즘을 개발하여 문제 해결에 적용하지는 않았다. 특정 문제를 해결하는 데 그치지 않고 일반화된 알고리즘을 개발하는 것은 보다 높은 수준의 사고력을 요구하는 문제로 영재 학생들에게 도전적인 과제가 될 수 있다. 향후 스타이너 트리에 대한 수학적 지식을 기반으로 실제 알고리즘의 개발 및 적용까지 이어질 수 있도록 정보 분야와 융합된 프로그램의 개발을 시도해 볼 필요가 있다. 둘째, 개발된 교수·학습 자료는 소수의 표본을 대상으로 한 번의 수업에 적용하였기 때문에 실험 결과를 일반화하기에는 무리가 있다. 더 많은 학생을 대상으로 여러 번 실제 수업에 적용하여 교수·학습 자료를 발전시킬 수 있는 후속 연구가 필요하다. 특히 컴퓨터 프로그래밍 교육이 이루어지는 과학 고등학교에서 과제 탐구나 R&E 수업에 적용하여 창의·융합 능력을 함양할 수 있는 교수·학습 자료로서의 가치를 확인해볼 필요가 있다. 셋째, 유클리드 스타이너 트리 문제를 택시거리 공간에서의 스타이너 트리 문제로 확장시켜 사고해볼 수 있다. 택시거리는 도시 설계나 집적 회로 구성 등 응용 가능한 범위가 넓어서 택시거리 공간에서 스타이너 트리 문제를 다룬 연구들이 많이 진행되었다. 이를 활용하여 수학 영재 자료의 개발을 시도해 볼 수 있다.
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