많은 학생들이 접선을 학습하는 것에 어려움을 겪는다. 본 연구에서는 학생들이 접선 학습을 어려워하는 이유 중에서 개념 이미지와 개념 정의 사이의 불일치에 주목해보고자 한다. 본 연구의 목적은 첫째, 접선을 학습하는 과정에서 형성된 학생들의 개념 이미지를 파악하는 것이다. 둘째, 학생들이 접선에 관하여 적절한 개념 이미지를 구성하도록 돕고, 실제 수업에서 접선의 개념 이미지와 개념 정의 사이의 불일치를 줄이기 위한 수업 방안을 마련하는 것이다. 학생들은 접선을 학습할 때 한정된 예로 인해 잘못된 개념이미지를 갖는 경우가 많으므로 수업의 원리로 Dienes의 ...
많은 학생들이 접선을 학습하는 것에 어려움을 겪는다. 본 연구에서는 학생들이 접선 학습을 어려워하는 이유 중에서 개념 이미지와 개념 정의 사이의 불일치에 주목해보고자 한다. 본 연구의 목적은 첫째, 접선을 학습하는 과정에서 형성된 학생들의 개념 이미지를 파악하는 것이다. 둘째, 학생들이 접선에 관하여 적절한 개념 이미지를 구성하도록 돕고, 실제 수업에서 접선의 개념 이미지와 개념 정의 사이의 불일치를 줄이기 위한 수업 방안을 마련하는 것이다. 학생들은 접선을 학습할 때 한정된 예로 인해 잘못된 개념이미지를 갖는 경우가 많으므로 수업의 원리로 Dienes의 수학적 다양성의 원리를 선정하였다. 또한 개념을 학습하고 곧바로 개념의 성질을 제시하고, 관련 문제를 풀이하는 수업 방식은 접선의 정의가 아니라 성질, 예시, 문제 등과 관련하여 개념 이미지를 형성할 가능성을 높인다. 따라서 학생들이 충분히 개념을 구성한 후에 성질을 분석할 필요가 있으므로 Dienes의 구성의 원리를 수업의 원리로 선정하였다. 이 두 가지의 원리를 수업에서 활용하면 접선의 바람직한 개념이미지 형성에 도움이 될 것이라 예상한다.
본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.
가. 고등학교 2학년 학생들은 접선에 대해 어떠한 개념 이미지를 가지고 있는가? 이는 접선의 개념 정의와 부합하는가? 나. 접선 영역에서 Dienes의 수학적 다양성의 원리, 구성의 원리를 활용한 지도는 바람직한 개념 이미지 구성에 효과가 있는가?
본 연구에서 설정한 연구문제를 해결하기 위해, 학생들의 접선의 개념 이미지와 개념 정의를 파악할 수 있으면서, Dienes의 원리를 활용한 수업의 효과성을 알아보기 위한 사전 검사지와 사후 검사지를 개발하였다. 그 후 H대학교 수학교육 전문가에게 조언을 받아 문항을 수정하고 검사지를 완성하였다. 다음으로 Dienes의 구성의 원리와 수학적 다양성의 원리를 활용하여 접선 수업을 구상하였다. 먼저 구성의 원리와 관련하여, 접점 주위에 여러 점을 찍어 할선들을 스스로 그려보고 관찰하는 활동을 하였다. 또한 다양하게 제시된 접선의 예들을 통해 접선의 본질적인 개념을 파악하고, 접선을 올바르게 그려보는 활동을 함으로써 접선이 ‘할선의 극한’이라는 개념 이미지를 형성할 수 있도록 하였다. 학생들에게 접선의 개념 이미지가 구성된 후 접선의 기울기, 접선의 방정식, 접선의 성질 등을 분석할 수 있도록 한다. 특히 원의 접선을 학습할 때 형성된 제한된 개념 이미지를 미분계수 및 할선과 관련하여 재구성할 수 있도록 하였다. 수학적 다양성의 원리와 관련하여, 접선 개념의 본질은 유지하면서 비본질적인 부분을 다양하게 변화시킨 예시들을 제시하여 지도하였다. 예를 들어 함수식이 달라지는 경우, 함수에서 상수 부분만 변화시키는 경우, 같은 함수의 그래프 상에서 접점의 위치가 달라지는 경우 등을 제시할 수 있다. 수학적 다양성을 잘 구현하기 위해 Geogebra를 수업의 도구로 활용하였다. 수업에서 수학적 다양성 원리를 구현함으로써 접선이 ‘곡선 위의 한 점을 지나며, 기울기가 그 점에서의 미분 계수가 되는 직선’이라는 개념 이미지를 형성할 수 있도록 한다. 수업을 구상한 후 경력 20년 이상의 고등학교 수학 교사에게 조언을 받아 구상한 내용을 수정한 다음 지도 활동에 임하였다. 연구 기간 중 사전 검사, 지도 활동, 사후 검사를 통해 자료를 수집하였고, 수집된 자료는 모범답안과 채점기준에 따라 채점을 한 후 SPSS를 이용하여 분석하였다.
본 연구의 결과를 통해 얻을 수 있는 결론은 다음과 같다.
연구문제 가에 관하여, 학생들은 접선에 대해 다양한 개념 이미지를 가지고 있지만 올바르지 못한 개념 이미지가 많았다. 중학교 때 학습한 원의 접선 개념은 수정될 필요가 있음에도 불구하고 더 확장된 영역의 접선에서도 여전히 개념 이미지로 작용하고 있었다. 접선 영역을 성공적으로 학습하기 위해서는 개념 이미지와 개념 정의가 일치하고 올바르게 상호작용해야 하지만, 대체로 학생들의 인지 구조 안에 접선의 개념 정의에 부합하지 않는 개념 이미지가 형성되어 있어 학습에 어려움을 겪는 것으로 보인다. 연구문제 나에 관하여, 부적절한 개념 이미지를 수정시키기 위한 수업 방안으로 Dienes의 수학적 다양성의 원리, 구성의 원리를 활용한 지도를 하였다. 수업 지도와 사후 검사 이후 SPSS로 검정한 결과 Dienes의 원리를 활용한 수업이 그렇지 않은 수업보다 약간의 효과가 있는 것으로 확인되었다. 따라서 수업에서 Dines의 원리를 활용하면 접선에 대한 바람직한 개념 이미지를 구성하는 데 도움이 된다고 할 수 있다. 또한 Dienes의 원리를 활용한 수업에서 그렇지 않은 수업보다 더 많은 학생들이 적극적이고 바람직한 수업 태도를 나타내었다는 점에서도 의의가 있다. 교사는 접선 영역뿐 아니라 수학의 교수·학습 과정에서 학생들이 수학에 대해 긍정적인 태도를 갖출 수 있도록 정의적인 측면에 관심을 기울여야 하며, 개념 학습 시에 학생들이 바람직한 개념 이미지를 형성할 수 있도록 끊임없이 노력해야 할 것이다.
많은 학생들이 접선을 학습하는 것에 어려움을 겪는다. 본 연구에서는 학생들이 접선 학습을 어려워하는 이유 중에서 개념 이미지와 개념 정의 사이의 불일치에 주목해보고자 한다. 본 연구의 목적은 첫째, 접선을 학습하는 과정에서 형성된 학생들의 개념 이미지를 파악하는 것이다. 둘째, 학생들이 접선에 관하여 적절한 개념 이미지를 구성하도록 돕고, 실제 수업에서 접선의 개념 이미지와 개념 정의 사이의 불일치를 줄이기 위한 수업 방안을 마련하는 것이다. 학생들은 접선을 학습할 때 한정된 예로 인해 잘못된 개념이미지를 갖는 경우가 많으므로 수업의 원리로 Dienes의 수학적 다양성의 원리를 선정하였다. 또한 개념을 학습하고 곧바로 개념의 성질을 제시하고, 관련 문제를 풀이하는 수업 방식은 접선의 정의가 아니라 성질, 예시, 문제 등과 관련하여 개념 이미지를 형성할 가능성을 높인다. 따라서 학생들이 충분히 개념을 구성한 후에 성질을 분석할 필요가 있으므로 Dienes의 구성의 원리를 수업의 원리로 선정하였다. 이 두 가지의 원리를 수업에서 활용하면 접선의 바람직한 개념이미지 형성에 도움이 될 것이라 예상한다.
본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.
가. 고등학교 2학년 학생들은 접선에 대해 어떠한 개념 이미지를 가지고 있는가? 이는 접선의 개념 정의와 부합하는가? 나. 접선 영역에서 Dienes의 수학적 다양성의 원리, 구성의 원리를 활용한 지도는 바람직한 개념 이미지 구성에 효과가 있는가?
본 연구에서 설정한 연구문제를 해결하기 위해, 학생들의 접선의 개념 이미지와 개념 정의를 파악할 수 있으면서, Dienes의 원리를 활용한 수업의 효과성을 알아보기 위한 사전 검사지와 사후 검사지를 개발하였다. 그 후 H대학교 수학교육 전문가에게 조언을 받아 문항을 수정하고 검사지를 완성하였다. 다음으로 Dienes의 구성의 원리와 수학적 다양성의 원리를 활용하여 접선 수업을 구상하였다. 먼저 구성의 원리와 관련하여, 접점 주위에 여러 점을 찍어 할선들을 스스로 그려보고 관찰하는 활동을 하였다. 또한 다양하게 제시된 접선의 예들을 통해 접선의 본질적인 개념을 파악하고, 접선을 올바르게 그려보는 활동을 함으로써 접선이 ‘할선의 극한’이라는 개념 이미지를 형성할 수 있도록 하였다. 학생들에게 접선의 개념 이미지가 구성된 후 접선의 기울기, 접선의 방정식, 접선의 성질 등을 분석할 수 있도록 한다. 특히 원의 접선을 학습할 때 형성된 제한된 개념 이미지를 미분계수 및 할선과 관련하여 재구성할 수 있도록 하였다. 수학적 다양성의 원리와 관련하여, 접선 개념의 본질은 유지하면서 비본질적인 부분을 다양하게 변화시킨 예시들을 제시하여 지도하였다. 예를 들어 함수식이 달라지는 경우, 함수에서 상수 부분만 변화시키는 경우, 같은 함수의 그래프 상에서 접점의 위치가 달라지는 경우 등을 제시할 수 있다. 수학적 다양성을 잘 구현하기 위해 Geogebra를 수업의 도구로 활용하였다. 수업에서 수학적 다양성 원리를 구현함으로써 접선이 ‘곡선 위의 한 점을 지나며, 기울기가 그 점에서의 미분 계수가 되는 직선’이라는 개념 이미지를 형성할 수 있도록 한다. 수업을 구상한 후 경력 20년 이상의 고등학교 수학 교사에게 조언을 받아 구상한 내용을 수정한 다음 지도 활동에 임하였다. 연구 기간 중 사전 검사, 지도 활동, 사후 검사를 통해 자료를 수집하였고, 수집된 자료는 모범답안과 채점기준에 따라 채점을 한 후 SPSS를 이용하여 분석하였다.
본 연구의 결과를 통해 얻을 수 있는 결론은 다음과 같다.
연구문제 가에 관하여, 학생들은 접선에 대해 다양한 개념 이미지를 가지고 있지만 올바르지 못한 개념 이미지가 많았다. 중학교 때 학습한 원의 접선 개념은 수정될 필요가 있음에도 불구하고 더 확장된 영역의 접선에서도 여전히 개념 이미지로 작용하고 있었다. 접선 영역을 성공적으로 학습하기 위해서는 개념 이미지와 개념 정의가 일치하고 올바르게 상호작용해야 하지만, 대체로 학생들의 인지 구조 안에 접선의 개념 정의에 부합하지 않는 개념 이미지가 형성되어 있어 학습에 어려움을 겪는 것으로 보인다. 연구문제 나에 관하여, 부적절한 개념 이미지를 수정시키기 위한 수업 방안으로 Dienes의 수학적 다양성의 원리, 구성의 원리를 활용한 지도를 하였다. 수업 지도와 사후 검사 이후 SPSS로 검정한 결과 Dienes의 원리를 활용한 수업이 그렇지 않은 수업보다 약간의 효과가 있는 것으로 확인되었다. 따라서 수업에서 Dines의 원리를 활용하면 접선에 대한 바람직한 개념 이미지를 구성하는 데 도움이 된다고 할 수 있다. 또한 Dienes의 원리를 활용한 수업에서 그렇지 않은 수업보다 더 많은 학생들이 적극적이고 바람직한 수업 태도를 나타내었다는 점에서도 의의가 있다. 교사는 접선 영역뿐 아니라 수학의 교수·학습 과정에서 학생들이 수학에 대해 긍정적인 태도를 갖출 수 있도록 정의적인 측면에 관심을 기울여야 하며, 개념 학습 시에 학생들이 바람직한 개념 이미지를 형성할 수 있도록 끊임없이 노력해야 할 것이다.
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