[논문]이산 Convolution 적산의 z변환의 증명을 위한 인과성의 필요에 대한 재고

정태상; 이재석

이산 Convolution 적산의 z변환의 증명을 위한 인과성의 필요에 대한 재고
A Reconsideration of the Causality Requirement in Proving the z-Transform of a Discrete Convolution Sum 원문보기

정태상 (중앙대 공대 전자전기공학과) , 이재석 (중앙대 공대 제어계측공학과)

The z-transform method is a basic mathematical tool in analyzing and designing digital signal processing systems for discrete input and output signals. There are may cases where the output signal is in the form of a discrete convolution sum of an input function and a designed digital processing algorithm function. It is well known that the z-transform of the convolution sum becomes the product of the two z-transforms of the input function and the digital processing function, whose proofs require the causality of the digital signal processing function in the almost all the available references. However, not all of the convolution sum functions are based on the causality. Many digital signal processing systems such as image processing system may depend not on the time information but on the spatial information, which has nothing to do with causality requirement. Thus, the application of the causality-based z-transform theorem on the convolution sum cannot be used without difficulty in this case. This paper proves the z-transform theorem on the discrete convolution sum without causality requirement, and make it possible for the theorem to be used in analysis and desing for any cases.

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문제 정의

따라서 인과성의 조건이 없이 두 함수의 컨볼루션적산의 형태로 주어진 식의 N변환에 대한 연구가 필요하다. 본 논문에서는 이산 컨볼루션 적산의 형태로 주어진 식의 z변환은, 인과성과 관계없이 모든 경우에 다 같이 성분 함수 각각의 N변환의 곱으로 표현됨을 인과성의 조건을 적용하지 않고 증명하여 이의 응용에 제한 조건을 없앴다.

제안 방법

대부분의 디지털 제어공학이나 신호처리의 교과서/참고서는 (6)의 규정과 (6)으로부터 (7)의 관계를 유도하는 증명을 상세히 제공한다 [1-7], 그러나 본 논문에서의 이론 전개의 필요에 의하여, 그리고 본 논문이 제안하는 이론과의 비교를 위하여, 이산 컨볼루션의 z변환을 예시한 참고 문헌들이 증명하는 방법으로 이 논문에 다시 기술하여 상호비교를 용이하게 하고자 한다. (6)의 양변에 z변환을 취하면 아래와 같다.

성능/효과

이 논문에서는 디지털 신호처리에 나타날 수 있는 이산컨볼루션의 적산형태의 식에 대한 N변환을 성분 함수 각각의 Z변환식들의 곱으로 표시할 수 있음을 신호의 인과성의 조건을 적용함이 없이 증명하였다. 따라서 인과성 시스템이나 비인과성 시스템의 두 경우 모두에 이산 컨볼루션 적산식의 N변환 정리를 적용할 수 있는 이론적 바탕을 제공하여, 시스템 설계나 해석에 이론적 어려움 없이 이용할 수 있도록 하였다.

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