[논문]승무일정계획의 최적화를 위한 이웃해 탐색 기법과 정수계획법의 결합

황준하; 류광렬

문제 정의

모든 실험은 Pentium-in 800 PC 에서 수행되었으며 정수계획법적용올 위한 개발 도구로는 ILOG CPLEXH₂]를 사용하였다. 대상 문제의 목표는 차량운행계획표에 존재하는 640개의 레그를 모두 커버할 수 있는 65개의 근무표 집합을 찾아내는 것이다. 개별 근무표 제약조건을 만족하는 모든 근무표의 개수는 대략 30억 개 정도에 달할 것으로 추정되는데 이 중 대기횟수가 2회인 근무표들이 약 18만개 정도이고 대기횟수가 3회인 근무표들이 약 5 천만개 정도이며 나머지는 대기횟수가 4회인 근무표들이다.
반면에 정수계획법은 문제의 규모가 작을 경우 전역적 탐색 과정을 통해 최적해에 근접한 해를 빠르게 찾을 수 있다는 장점이 있다. 본 논문에서는 두 가지 기법의 장점을 효과적으로 결합할 수 있는 방안을 제시하고 있다.
본 논문에서는 복잡한 승무일정계획 문제를 효과적으로 해결하기 위한 방안으로 최적조합 선정 단계에서 이웃해 탐색 기법과 정수계획법을 결합하는 방안을 제시하고 있다. 일반적으로 이웃해 탐색 기법은 대규모 최적화 문제 해결에 있어서 완전 열거 방식을 기반으로 하는 정수계획법보다 비교적 좋은 해를 훨씬 짧은 시간 내에 찾을 수 있는 기법으로 알려져 있다.
본 논문은 대규모 승무일정계획 문제를 효과적으로 해결하기 위해 이웃해 탐색 기법과 정수계획법을 결합하는 방안을 제시하고 있으며 실제 운행중인 지하철 숭무일정계획 문제를 대상으로 구현 및 실험을 수행함으로써 알고리즘의 성능을 검증하였다. 제안한 알고리즘에서 이웃해 탐색 기법은 순수한 정수계획법만올 적용할 때보다 더 큰 규모의 근무표 집합을 쉽게 다룰 수 있게 함으로써 보다 좋은 해를 발견할 가능성올 높여주고 있다.
는 출퇴근 순서 제약을 만족한다고 할 수 있다. 본 논문의 대상 문제에서는 출퇴근 순서 제약을 위배하는 근무표 쌍의 개수를 최소화하는 것이 중요한 목표가 되고 있다.
보다 최근의 연구에서는 정수계획법과 휴리스틱 탐색 기법을 결합하여 문제를 해결한 바 있다[7]. 이 연구에서는 최적조합 선정 단계에서 정수계획법을 적용한 후 도출된 결과의 불완전한 부분을 보완하기 위해 휴리스틱 탐색 기법을 개발하여 사용하고 있다. 그러나 순수한 정수계획법만으로는 최적조합 선정 결과가 만족스럽지 못하기 때문에 휴리스틱 탐색 단계에서 실행 가능한 해를 도출하기까지 너무 많은 시간이 소요된다는 단점이 있다.

제안 방법

이웃해 탐색과 같은 휴리스틱 탐색 기법은 목적함수나 제약조건의 형태에 관계없이 쉽게 적용이 가능하다는 장점이 있다. 따라서 본 논문에서는 대상 문제를 해결하기 위한 주된 알고리즘으로 이웃해 탐색 기법을 사용하고 있으며 동시에 정수계획법의 전역적 탐색 능력을 부가적으로 사용할 수 있도록 두 가지 기법을 결합하여 사용하고 있다. 그런데 열 생성 기법과는 달리 이웃해 탐색 기법은 대규모 승무일정계획 문제에 있어서 생성 가능한 모든 근무표들을 대상으로 효율적인 탐색을 수행하는 것이 불가능하다.
실험 결과에 의하면 이와 같이 이웃해를 정의할 경우 너무 쉽게 국소 최적해에 빠지는 경향이 있으며 해의 질도 좋지 않음올 확인할 수 있었다. 따라서 본 연구에서는 단 1개의 근무표를 교체하는 방법을 확장하여 임의의 k개까지를 교체하는 방법올 도입하였다. 그림 3에서 이웃해 집합 &는 k개의 근무표를 교체하여 생성된 이웃해들을 의미한다.
따라서 앞에서 설명한 바와 같이 집합 커버링 문제로 모델링 된 문제를 푼 후 초과한 만큼의 근무표를 제거하기보다는 최대 커버링 문제로 모델링함으로써 두 단계를 한 번에 처리할 수 있도록 하였다. 최대 커버링 문제는 주어진 개수의 열들을 선택하여 가장 많은 레그를 커버하는 문제로 정의되어진다.
하더라도 최적조합 선정 시의 대상 근무표 풀 자체가 이웃해 탐색 기법을 효과적으로 적용할 수 있는 수준으로 제한되어 있기 때문에 최적조합선정 단계만으로는 공백 레그를 완전히 제거하는 것이 매우 어렵다. 본 연구에서는 기존 연구 [기과 같이 대상 문제에 적합하게 개발된 휴리스틱 교정 탐색을 통해 일부 근무표들을 수정 또는 교체하는 작업을 반복함으로써 남아있는 공백 레그들이 제거될 수 있도록 하였다. 그러나 본 연구에서는 최적조합 선정 단계에서 정수계획법만을 사용했던 기존 연구와는 달리 이웃해 탐색 기법과 정수계획법을 결합한 방법을 사용함으로써 공백레그를 훨씬 더 많이 줄일 수 있게 하였으며 이에 따라 휴리스틱 단계에서 보다 쉽게 모든 공백 레그를 제거할 수 있도록 하였다.
예를 들어 탐색 방향을 지금까지와는 다른 방향으로 유도하고자 한다면 지금까지 해를 변화시키는 과정 중에 교체가 많이 이루어졌던 근무표들에 대해서는 또 다시 교체되는 것을 금지하거나 벌점을 부과하는 것이다. 본 연구에서는 정수계획법을 해의 개선뿐 아니라 이웃해 탐색 기법의 탐색 다각화를 위해 활용하고 있다. 정수계획법 모듈의 호출이 결정되면 호출하기 전에 먼저 현재해를 대폭 변화시키기 위해 이웃해 탐색 수행 시와는 달리 현재 해로부터 비교적 많은 근무표들을 제거하되 이웃해 탐색 때와 마찬가지로 각 근무표의 중요도에 기반한 확률에 따라 제거하게 된다.
공백레그의 개수가 적으면 적을수록 더 많은 근무표를 교체해야만 해의 개선올 기대할 수 있기 때문이다. 본 연구의 실험에서는 첫 번째 호출 시의 교체 개수를 20으로 설정하였고 이후로는 매 호출 시마다 3개씩 증가시켰다. 실험을 통해 정수계획법이 다른 다각화 방법에 비해 공백 레그를 줄이는 데 보다 효과적임을 확인하였다.
함께 비교하였다. 실험은 표 1의 실험과 같은 조건으로 수행되었으며 이웃해 생성을 위해 5개 이하의 근무표 교체를 허용하였다. 실험 결과에 의하면 이웃해 탐색 기법들 사이에 큰 차이가 없음을 알 수 있다.
정수계획법 모듈은 나머지 근무표 집합을 대상으로 수행되며 근무표 풀로부터 제거된 근무표들올 대체할 가장 좋은 근무표들을 찾는 것이 목표이다. 정수계획법만을 사용하여 최대 커버링 문제를 풀 경우에는 전체 풀로부터 문제에서 주어진 근무표 개수만큼을 모두 선택해야 하지만 이웃해 탐색 도중 호출될 경우에는 근무표들 중 일부만을 교체하도록 함으로써 원문제보다 훨씬 적은규모의 최대 커버링 문제를 풀면 되도록 하였다. 정수계획법 모듈을 수행한 후에는 그 결과를 초기해로 또 다시 이웃해 탐색 기법을 수행하는 방식으로 두 가지 모듈을 반복적으로 수행하게 된다.
첫 번째 실험에서는 정수계획법만을 적용하였을 때 공백 레그의 개수를 살펴보았으며 아울러 집합 커버링 모델(IP/SCP)과 최대 커버링 모델(IP/MCP)을 사용했을 때 각각의 결과를 살펴보았다. 수행 시간은 각 실험 당 2시간으로 제한하였으며 대기횟수가 2회인 18만개의 근무표들 중 최소 1,000개부터 최대 20, 000개까지 다양한 규모의 근무표를 선택해 만든 집합들을 대상으로 하였다.
표 2는 여러가지 이웃해 탐색 기법에 대한 실험 결과를 요약한 것으로서 언덕오르기 탐색 (HC)과 시믈에이티드 어닐링(SA) 그리고 타부 탐색(TS)을 비교하였으며 타부 탐색 기법에 다각화를 추가한 실험 결과(TS+ D)를 함께 비교하였다. 실험은 표 1의 실험과 같은 조건으로 수행되었으며 이웃해 생성을 위해 5개 이하의 근무표 교체를 허용하였다.
표 3은 각각의 이웃해 탐색 기법과 정수계획법을 결합했을 때의 결과를 나타낸 것으로 이전 실험과 마찬가지로 각 실험 당 수행 시간은 2시간으로 제한하였으며 총 10회 실험결과를 요약하였다. 이 실험 결과 역시 이웃해 탐색 기법들 사이의 차이는 거의 없는 것으로 나타났다.

대상 데이터

나타낸 것이다. 각 결과는 10희 실험결과를 요약한 것으로 각 실험 당 수행 '시간은 2시간으로 제한하였으며 대상 근무표 풀로는 대기 횟수가 2회인 18만 개의 근무표 집합을 사용하였다. 실험 결과에 의하면 근무표를 1개만 교체할 때보다 2개 이상의 근무표 교체를 허용할 때 공백 레그의 개수가 현저히 줄어듦을 알 수 있다.
본 논문에서 제안한 알고리즘의 검증을 위해 2장에서 기술한 바와 같이 실제 운행중인 지하철 승무 일정계획 문제를 대상으로 구현 및 실험올 수행하였다. 모든 실험은 Pentium-in 800 PC 에서 수행되었으며 정수계획법적용올 위한 개발 도구로는 ILOG CPLEXH₂]를 사용하였다.
본 논문은 실제 운행중인 지하철 노선에 대한 일정계획 중 숭무일정계획 문제를 대상으로 하고 있다. 지하철 일정 계획은 열차운행 계획, 숭무일정계획, 숭무원배정 계획으로 이루어진다.
숭무소 사이에는 실제 많은 역이 존재하지만 그림에서는 승무원이 다른 열차를 갈아타기 위해 휴식과 교대가 가능한 역인 중간역 C만 표시되어 있다. 본 대상 문제에서 레그의 유형은 출발역과 방향에 따라 A -C, CF B-C, 의 4가지로 나뉘어지며, 전체운행계획표는 총 640개의 레그로 이루어져 있다.
근무표를 모두 생성했다 하더라도 최적조합 선정 단계에서 대상 근무표 풀올 효과적으로 다루는 것은 불가능하다. 본 연구에서는 최적조합선정을 위해 대기횟수가 2회인 근무표들만을 대상으로 하였다. 이는 최적조합 선정 결과 대기횟수가 2회인 근무표들만올 포함하게 함으로써 이후 단계인 휴리스틱교정 단계에서 보다 쉽게 공백 레그들올 제거할 수 있도록 하기 위함이다.
각각의 결과를 살펴보았다. 수행 시간은 각 실험 당 2시간으로 제한하였으며 대기횟수가 2회인 18만개의 근무표들 중 최소 1,000개부터 최대 20, 000개까지 다양한 규모의 근무표를 선택해 만든 집합들을 대상으로 하였다. 실험 결과 IP/MCP에 의해 도출된 결과는 대상 근무표의 개수가 20, 000개일 때 공백 레그의 개수가 24로 가장 좋았으며 IP/SCP의 결과(집합 커버링 문제를 푼 후 초과한 개수만큼의 근무표를 제거하는 방법)는 대상 근무표의 개수가 15,000개일 때 공백 레그의 개수가 47 로 가장 좋았다.

이론/모형

즉, 편승 레그를 많이 포함하는 근무표일수록 삭제될 확률이 높아지게 된다. 근무표 풀로부터 추가될 근무표를 선정하는 방법은 초기해를 생성할 때와 마찬가지로 그리디 휴리스틱을 사용한다. 각각의 이웃해 집합 吳에 포함되는 이웃해의 개수는 k 값과 마찬가지로 실험적으로 결정하였다.
대상으로 구현 및 실험올 수행하였다. 모든 실험은 Pentium-in 800 PC 에서 수행되었으며 정수계획법적용올 위한 개발 도구로는 ILOG CPLEXH₂]를 사용하였다. 대상 문제의 목표는 차량운행계획표에 존재하는 640개의 레그를 모두 커버할 수 있는 65개의 근무표 집합을 찾아내는 것이다.

성능/효과

대상 문제의 목표는 차량운행계획표에 존재하는 640개의 레그를 모두 커버할 수 있는 65개의 근무표 집합을 찾아내는 것이다. 개별 근무표 제약조건을 만족하는 모든 근무표의 개수는 대략 30억 개 정도에 달할 것으로 추정되는데 이 중 대기횟수가 2회인 근무표들이 약 18만개 정도이고 대기횟수가 3회인 근무표들이 약 5 천만개 정도이며 나머지는 대기횟수가 4회인 근무표들이다. 근무표 생성 단계에서 모든 근무표를 생성하는 것은 분명 불가능한 일이다.
본 연구에서는 기존 연구 [기과 같이 대상 문제에 적합하게 개발된 휴리스틱 교정 탐색을 통해 일부 근무표들을 수정 또는 교체하는 작업을 반복함으로써 남아있는 공백 레그들이 제거될 수 있도록 하였다. 그러나 본 연구에서는 최적조합 선정 단계에서 정수계획법만을 사용했던 기존 연구와는 달리 이웃해 탐색 기법과 정수계획법을 결합한 방법을 사용함으로써 공백레그를 훨씬 더 많이 줄일 수 있게 하였으며 이에 따라 휴리스틱 단계에서 보다 쉽게 모든 공백 레그를 제거할 수 있도록 하였다.
이 실험 결과 역시 이웃해 탐색 기법들 사이의 차이는 거의 없는 것으로 나타났다. 그러나 표 2와 비교해 볼 때 이웃해 탐색 기법과 정수계획법을 결합함으로써 이웃해 탐색 기법을 단독으로 사용할 때보다 공백 레그의 개수가 대폭 감소되고 있음을 확인할 수 있다. 또한 정수계획법만을 사용했을 경우의 가장 좋은 결과인 24개보다 공백 레그의 개수가 훨씬 적음을 알 수 있다.
문제는 640개의 레그들로부터 10개를 선정하여 만들 수 있는 근무표의 개수가 너무 방대하여 생성 가능한 모든 근무표를 생성하는 것 자체가 불가능하다는 것이다. 따라서 지금까지 숭무일정계획 수립을 위해 동원되었던 많은 방법들 중 열 생성 기법을 적용하는 것이 가장 적절할 것으로 판단된다. 열 생성 기법은 최적화 도중에 필요로 하는 열들을 동적으로 생성함으로써 모든 열들을 생성하지 않고도 잠재적으로 모든 열들을 대상으로 탐색을 수행할 수 있는 알고리즘으로 알려져 있다.
그러나 표 2와 비교해 볼 때 이웃해 탐색 기법과 정수계획법을 결합함으로써 이웃해 탐색 기법을 단독으로 사용할 때보다 공백 레그의 개수가 대폭 감소되고 있음을 확인할 수 있다. 또한 정수계획법만을 사용했을 경우의 가장 좋은 결과인 24개보다 공백 레그의 개수가 훨씬 적음을 알 수 있다. 정수계획법만을 사용할 경우에는 알고리즘의 특성 상 매우 제한된 근무표 집합만을 대상으로 할 수밖에 없기 때문에 좋은 결과를 기대하기 힘들다.
실험을 통해 정수계획법이 다른 다각화 방법에 비해 공백 레그를 줄이는 데 보다 효과적임을 확인하였다. 뿐만 아니라 정수계획법에 의해 변화된 해는 이전해에 비해 대폭 수정된 상태이므로 이후의 이웃해 탐색 과정을 통해 이전과는 다른 영역에서의 탐색이 가능해지고 이로 인해 해의 개선이 보다 쉬어지는 것으로 나타났다.
수행 시간은 각 실험 당 2시간으로 제한하였으며 대기횟수가 2회인 18만개의 근무표들 중 최소 1,000개부터 최대 20, 000개까지 다양한 규모의 근무표를 선택해 만든 집합들을 대상으로 하였다. 실험 결과 IP/MCP에 의해 도출된 결과는 대상 근무표의 개수가 20, 000개일 때 공백 레그의 개수가 24로 가장 좋았으며 IP/SCP의 결과(집합 커버링 문제를 푼 후 초과한 개수만큼의 근무표를 제거하는 방법)는 대상 근무표의 개수가 15,000개일 때 공백 레그의 개수가 47 로 가장 좋았다. 이 실험으로부터 집합 커버링 문제를 푼 후 근무표를 제거하는 것보다 최대 커버링 문제를 푸는 것이 공백 레그를 최소화하는데 훨씬 효과적임을 알 수 있다.
정수계획법을 수행하는 동안에는 대상 문제에 존재하는 비선형적인 목적함수 및 제약조건을 고려할 수 없으나 반복적인 이웃해 탐색 과정을 통해 또 다시 고려될 수 았으므로'큰 문제가 되지 않는다. 실험 결과 두 가지 기법을 결합한 알고리즘을 사용한 경우 각 기법을 단독으로 사용할 때보다 더 좋은 수준의 계획을 보다 빠른 시간 내에 수립할 수 있음을 확인하였다.
정수계획법올 호출할 경우에는 정수계획법만올 단독으로 사용할 때와는 달리 근무표들 중 일부만올 교체하도록 하여 복잡도가 훨씬 낮은 부문제 (subproblem)를 풀게 함으로써 더 많은 근무표 집합올 대상으로 하는데 큰 어려움이 없도록 하였다. 실험 결과 본 논문에서 제안한 알고리즘은 이웃해 탐색 기법과 정수계획법의 장점을 결합함으로써 각 기법올 단독으로 사용할 때보다 훨씬 더 좋은 결과를 얻을 수 있음을 확인하였다.
각 결과는 10희 실험결과를 요약한 것으로 각 실험 당 수행 '시간은 2시간으로 제한하였으며 대상 근무표 풀로는 대기 횟수가 2회인 18만 개의 근무표 집합을 사용하였다. 실험 결과에 의하면 근무표를 1개만 교체할 때보다 2개 이상의 근무표 교체를 허용할 때 공백 레그의 개수가 현저히 줄어듦을 알 수 있다. 이웃해의 범위를 보다 넓게 정의하고 좋은 이웃해를 찾기 위한 교체 방법을 사용함으로써 보다 좋은 국소 최적해로의 이동이 가능한 것으로 판단된다.
이웃해를 만드는 방법 중 가장 단순한 방법은 현재해 X에 포함된 근무표 중 하나를 제거하고 근무표 풀에 포함된 근무표들 중 하나를 추가하여 새로운 이웃해를 만드는 것이다. 실험 결과에 의하면 이와 같이 이웃해를 정의할 경우 너무 쉽게 국소 최적해에 빠지는 경향이 있으며 해의 질도 좋지 않음올 확인할 수 있었다. 따라서 본 연구에서는 단 1개의 근무표를 교체하는 방법을 확장하여 임의의 k개까지를 교체하는 방법올 도입하였다.
실험은 표 1의 실험과 같은 조건으로 수행되었으며 이웃해 생성을 위해 5개 이하의 근무표 교체를 허용하였다. 실험 결과에 의하면 이웃해 탐색 기법들 사이에 큰 차이가 없음을 알 수 있다. 심지어는 언덕 오르기 탐색까지도 타 기법에 뒤지지 않음을 알 수 있다.
마지막 제약조건은 집합 커버링 모델에서와 마찬가지로 선정된 근무표 집합이 준수해야 할 제약조건들을 의미한다. 실험 결과에 의하면 최대 커버링 모델을 적용하는 것이 집합 커버링 모델을 적용한 후 초과한 만큼의 근무표를 제거하는 것보다 훨씬 더 적은 공백 레그가 발생함을 확인할 수 있었다.
본 연구의 실험에서는 첫 번째 호출 시의 교체 개수를 20으로 설정하였고 이후로는 매 호출 시마다 3개씩 증가시켰다. 실험을 통해 정수계획법이 다른 다각화 방법에 비해 공백 레그를 줄이는 데 보다 효과적임을 확인하였다. 뿐만 아니라 정수계획법에 의해 변화된 해는 이전해에 비해 대폭 수정된 상태이므로 이후의 이웃해 탐색 과정을 통해 이전과는 다른 영역에서의 탐색이 가능해지고 이로 인해 해의 개선이 보다 쉬어지는 것으로 나타났다.
실험 결과 IP/MCP에 의해 도출된 결과는 대상 근무표의 개수가 20, 000개일 때 공백 레그의 개수가 24로 가장 좋았으며 IP/SCP의 결과(집합 커버링 문제를 푼 후 초과한 개수만큼의 근무표를 제거하는 방법)는 대상 근무표의 개수가 15,000개일 때 공백 레그의 개수가 47 로 가장 좋았다. 이 실험으로부터 집합 커버링 문제를 푼 후 근무표를 제거하는 것보다 최대 커버링 문제를 푸는 것이 공백 레그를 최소화하는데 훨씬 효과적임을 알 수 있다. 20, 000개를 초과한 근무표 집합을 대상으로 할 경우에는 과도한 수행 시간 및 메모리를 요구하는 정수계획법의 특성 상 주어진 시간 내에 더 좋은 해를 구하는 데 어려움이 있었다.
알고리즘의 성능을 검증하였다. 제안한 알고리즘에서 이웃해 탐색 기법은 순수한 정수계획법만올 적용할 때보다 더 큰 규모의 근무표 집합을 쉽게 다룰 수 있게 함으로써 보다 좋은 해를 발견할 가능성올 높여주고 있다. 뿐만 아니라 이웃해 탐색 기법은 비선형 제약조건 및 목적함수가 포함된 문제에도 쉽게 적용할 수 있다는 장점이 있다.
이것은 최적조합 선정 단계에서 공백 레그의 개수를 최소화하는 것이 얼마나 중요한 것인가를 보여주는 것으로서 두 기법 올 결합한 방법이 가장 좋음을 알 수 있다. 해의 질에 있어서는 모든 기법들이 거의 유사한 결과를 보였으나 HYBRID의 경우 모든 면에서 약간 더 좋게 나타났다. 이는 전문가에 의해 수립된 결과와 비슷하거나 약간 좋은 결과이다 참고로 수 개월에 걸쳐 전문가에 의해 작성된 계획의 평균근무시간은 10시간 34분이며 출퇴근순서 제약을 위배하는 경우는 3개가 있었다.

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