[논문]베지어 곡선과 곡면의 립과 팬

이주행; 박형준

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Ribs and fans are interesting geometric entities that are derived from an ordinary $B\'{e}zier$ curve or surface. A rib itself is a $B\'{e}zier$ curve or surface with a lower degree than the given curve or surface. A fan is a vector field whose degree is also lower than its ori...

Ribs and fans are interesting geometric entities that are derived from an ordinary $B\'{e}zier$ curve or surface. A rib itself is a $B\'{e}zier$ curve or surface with a lower degree than the given curve or surface. A fan is a vector field whose degree is also lower than its origin. First, we present methods to transform the control points of a $B\'{e}zier$ curve or surface into the control points and vectors of its ribs and fans. Then, we show that a $B\'{e}zier$ curve of degree n is decomposed into a rib of degree (n-1), a fan of degree (n-2), and a scalar function of degree 2. We also show that a $B\'{e}zier$ surface of degree (m, n) is decomposed into a rib of degree (m-1, n-1) and three fans of degrees (m-1, n-2), (m-2, n-1), and (m-2, n-2), respectively. In addition, the lengths of the fans are further controlled by scalar functions of degree 2 and (2, 2). We present relevant notations and definitions, introduce theories, and present some of design examples.

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문제 정의

본 논문에서는 베지어 곡선과 곡면의 새로운 성질, 즉 립 (rib)과 팬(fhn)을 소개하고, 주어진 베지어 곡선 과 곡면을 팬과 립으로 분해하는 방법을 제시한다(특별히 이름을 립과 팬으로 한 것은, Fig. 3에서 처럼 주어진 곡선을 기준으로 늑골(rib)이나 부챗살(fhn) 모양의 패턴이 생성되기 때문이다.).
본 논문에서는 베지어 곡선과 곡면의 립과 팬에 대한 기하학적인 개념을 제시하였다.

가설 설정

위의 변환에서 순서는 결과에 영향을 미치지 않는다.

제안 방법

본 논문에서는 베지어 곡선과 곡면의 새로운 성질, 즉 립 (rib)과 팬(fhn)을 소개하고, 주어진 베지어 곡선 과 곡면을 팬과 립으로 분해하는 방법을 제시한다(특별히 이름을 립과 팬으로 한 것은, Fig. 3에서 처럼 주어진 곡선을 기준으로 늑골(rib)이나 부챗살(fhn) 모양의 패턴이 생성되기 때문이다.).
최종적으로 립과 길이 조정된 팬들을 모두 더하면 주어진 베지어 곡선과 곡면을 얻을 수 있다. 본 논문에서는 필요한 기호와 정의를 설명하고이론을 설명한 후에 실제 디자인 예제들을 보인다.
최종적으로 립과 길이 조정된 팬들을 모두 더하면 주어진 베지어 곡선과 곡면을 얻을 수 있다. 본 논문에서는 필요한 기호와 정의를 설명하고이론을 설명한 후에 실제 디자인 예제들을 보인다.
). 먼저, 몇 가지 표현기호를 설명하고, 주어진 제어점을 변환하여 립의 제어점과 팬의 제어벡터를 구하는 방법을 설명한다. 마지막으로, 주어진 베지어 곡선을 립과 팬으로 분해하는 방법을 설명한다.
와 v는 실수 구간에 정의되는 두 개의 독립변수이다. 본 논문에서는 기존의 표기와 더불어 립과팬 개념의 설명이 용이하도록 텐서곱 곡면에 대해서 약간 다른 표기법을 사용하기로 한다. 특히, 이 표기법은 "와 V 방향으로의 독립적인 분해의 중간과정을 잘 보여 줄 수 있다는 장점이 있다.
또한, 주어진 베지어 곡선과 곡면의 제어점을 립과 팬의 제어점과 제어벡터로 변환하는 방법을 설명하였다.

후속연구

따라서, B-spline이나 NURBS 등으로 립과 팬 이론을 확장하는 것이 추후 연구 주제가 될 것이다.

참고문헌 (6)

Farin, G., Curves and Surfaces for CAGD-A Practical Guide, 5th Ed., Morgan Kaufmann, San Francisco, CA, 2002
Farin, G. and Hansford, D., The Essentials of CAGD, A K Peters, Natick, MA, 2000
Farouki, R. and Rajan, V., 'Algorithms for Polynomials in Bernstein Form', Computer Aided Geometric Design, Vol. 5, No.1, pp. 1-26, 1988

상세보기
Hoschek, J. and Lasser, D., Fundamentals of Computer Aided Geometric Design, A K Peters, Natick, MA, 1993
Macromedia Flash MX, http://www.macromedia.com/devnet/devices/, Macromedia, Inc.
Design Examples of Ribs and Fans, http://joohaeng.etri.re.kr/GeoLix/BezierRibFan

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