[논문]라카토스의 보조정리 합체법을 적용한 교수-학습 자료 개발

조열제; 류수정; 유익승; 김태호

문제 정의

본 연구에서는 Lakatos의 증명과 반박의 여러가지 증명방식 중 한가지인 보조정리 합체법을 적용하여 수학과 교수-학습 자료를 개발하였다. 보조정리 합체법은 주된 추측이 성립하는 영역을 부분추측들이 성립하는 영역으로 제한하는 방법이라 할 수 있다.
변에 그은 높이와 같다. 이 성질을 (勿-1)개의 변이 서로 같은 力각형에서 위의 성질을 일반화 시키고 이 추측을 증명하고자 하였다.

가설 설정

교사: 이등변삼각형의 밑변에 속하는 임의의 점으로부터 각 옆 변까지 거리의 합은 일정하며 옆 변에 그은 높이와 같습니다. 이 성질을 S-i)개의 변이 서로 같은 "각형에서 위의 성질을 일반화 시키고 이 추측을 증명하여 봅시다.
Lakatos의 수리철학은 수학교육 연구자들에게 많은 호응을 얻었다. 수학적 발견에 대한 Lakatos의새로운 접근 방식에 매료된 수학교육 연구자들은, Lakatos의 방식이 수학교육에 광범하게 적용될 것이라고 가정하였다. 이러한 가정의 기저에 깔려 있는 생각은, Lakatos의 발견술적인 증명 과정을 교실에서 그대로 모방하는 것이 가능하고 바람직하다는 것이다.

제안 방법

그은 높이와 같습니다. 이 성질을 S-i)개의 변이 서로 같은 "각형에서 위의 성질을 일반화 시키고 이 추측을 증명하여 봅시다.
보조정리 합체법은 주된 추측이 성립하는 영역을 부분추측들이 성립하는 영역으로 제한하는 방법이라 할 수 있다. 이를 바탕으로 이등변삼각형의 성질을 此각형으로 확장시켜 "(n—1)개의 변이 서로 같은 如각형에 대하여 길이가 다른 한 변에 속하는 임의의 점으로부터 각 옆 변까지 거리의 합은 일정하며 옆 변에 그은 높이와 같다.”로 추측하고 이성 질을 증명하기 위해 단계3의 사고실험을 하였다.
(2) 증명(단계3의 사고실험), 증명단계를 3단계의 보조정리로 나누었다.
Lakatos의 입장에서는 수학적 지식은 추측에 불과하고, 증명이란 원래의 추측을 부분추측으로 분해하는 사고실험이고, 수학은 증명을 통한 정리의 확립이 아니라, 증명을 통해 반례의 발견과 반박을용이 하게 함으로써 추측의 개선이 시도되는 과학으로서 지식을 확장해나가는 발견술적 규칙을 다음의 5가지로 정리하였다.
Lakatos의 증명과 반박의 방법(보조정리 합체법)을 적용하여 이등변삼각형의 성질을 算각형으로 확장시켜 추측해보고 성질을 증명하고자 한다.
이를 바탕으로 이등변삼각형의 성질을 此각형으로 확장시켜 "(n—1)개의 변이 서로 같은 如각형에 대하여 길이가 다른 한 변에 속하는 임의의 점으로부터 각 옆 변까지 거리의 합은 일정하며 옆 변에 그은 높이와 같다.”로 추측하고 이성 질을 증명하기 위해 단계3의 사고실험을 하였다. 각각의 단계에서 국소적 반례와 전면적 반례에 의해 반박되는 정리들을 조건으로 합체시켜 추측을 개선하였다.
”로 추측하고 이성 질을 증명하기 위해 단계3의 사고실험을 하였다. 각각의 단계에서 국소적 반례와 전면적 반례에 의해 반박되는 정리들을 조건으로 합체시켜 추측을 개선하였다.
규칙 2 : 전면적인 반례가 있으면 추측을 버리고, 반례에 의해 반박될 적절한 보조정리를 증명-분석에 추가하고 그 보조정리를 조건으로 합체시킨 개선된 추측으로 기각한 추측을 대체시켜라. 반례를 괴물이라고 보고 버려지도록 허용하지 말아라.
규칙 4 : 만일 국소적 반례이지만 전면적 반례가 아닌 반례가 있으면 반증되지 않는 보조정리로, 반박된 보조정리를 대체시켜 증명-분석을 개선하도록 시도하여라.
따라서 본 연구에서는 Lakatos의 보조정리 합체법을 바탕으로, 이등변삼각형의 밑변에 속하는 임의의 점으로부터 각 옆 변까지 거리의 합은 일정하며 옆 변에 그은 높이와 같다' 는 성질을 추측-증명-반박-개선을 통해 如각형으로 확장시킴으로써, 중 . 고등학생들을 대상으로 하는 심화활동 시간에 활용할 수 있는 교수-학습 자료를 개발할 것이다.

이론/모형

본 교수-학습 자료의 개발은 한인기(2006)가 제시한 8가지의 수학교수학적 원리의 분류 중에서 체계성과 순차성, 도달가능성의 원리에 기본 방향을 두었다. 학생들의 지적 계발수준, 능력 등에 적합한 내용으로(도달가능성), 학습 내용의 요소들 사이의 긴밀한 관련성 확인, 요소와 구조의 결합 규명, 부분과 전체의 결합 규명을 통해(체계성), 단순한 것에서 복잡한 것으로, 쉬운 것으로 부터 어려운 것으로, 순차적으로 보충하였다(순차성).

성능/효과

(3) 단계1의 보조정리에서 나타난 반례(전면적 반례)및 개선된 추측, "삼각형으로 분할 할 수 없는 경우가 생긴다”는 반례가 생기고 그에 의해 반박되는 보조정리를 조건으로 합체시켜 "도형이 이루는 각의 내부에 기준변이 존재하는 從각형”으로 추측을 개선하였다..
(4) 단계2의 보조정리에 대한 증명-분석, 삼각형으로 분할 된 耸각형의 기준변 위의 임의의 점에서 각 변까지 거리의 합은 일정함을 증명하였다.
(5) 단계1과 단계2에 대한 국소적 반례 및 추측에 대한 증명의 개선, 주어진 도형을 삼각형으로 분할할 수 없는 경우에 대하여 삼각형이 아닌 부분(사각형)의 넓이를 구하는 방법을 증명하여 “ :払각형의기준변 위의 임의의 점에서 각 변까지 거리(음수포함)의 합은 일정하다.”로 단계1의 증명을 개선하였다 (6) 단계3의 보조정리에 대한 전면적 반례와 국소적 반례 및 추측의 개선, 단계3은 삼각형인 경우는 성립하나 사각형인 경우 거리의 합이 옆 변에 그은 높이와 다르고 그 옆변에 그은 높이의 합과 같다. 또 단계2와 마찬가지로 筋각형에 포함되지 않는 부분의 삼각형의 높이를 음수로 둔다면, 인임 의의 점에서 각 변까지 거리의 합과 기준변의한 끝점에서 이 점을 공유하지 않는 변까지의 거리의 합이 같게 됨으로 추측을 개선하였다.
”로 단계1의 증명을 개선하였다 (6) 단계3의 보조정리에 대한 전면적 반례와 국소적 반례 및 추측의 개선, 단계3은 삼각형인 경우는 성립하나 사각형인 경우 거리의 합이 옆 변에 그은 높이와 다르고 그 옆변에 그은 높이의 합과 같다. 또 단계2와 마찬가지로 筋각형에 포함되지 않는 부분의 삼각형의 높이를 음수로 둔다면, 인임 의의 점에서 각 변까지 거리의 합과 기준변의한 끝점에서 이 점을 공유하지 않는 변까지의 거리의 합이 같게 됨으로 추측을 개선하였다.

후속연구

통해 如각형으로 확장시킴으로써, 중 . 고등학생들을 대상으로 하는 심화활동 시간에 활용할 수 있는 교수-학습 자료를 개발할 것이다.
하지만 Lakatos가 강조하는 발견의 맥락과 절대주의에서 강조하는 정당화의 맥락을 통합함으로써 증명 교육을 보완할 방안을 탐색할 필요가 있다. 또한 Lakatos가 강조한 증명의 분석적 방식을, 증명의 외형적 모습만을 선형적으로 제시하는 종합적 방식을 보완하는 한 방안으로 파악하는 것은 학교 수학에서 충분한 의의가 있다고 생각된다.

내보내기 구분	파일저장 인쇄 메일전송
구성항목	기본정보 상세정보 관리번호, 논문명, 저널/프로시딩명, 저자 , 발행년, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, 발행기관 관리번호, 논문명, 대등논문명, 저자 , 저널/프로시딩명, 발행기관, 발행년, 발행언어, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, ISBN, ISSN, 주제분야, 키워드, 초록(한글), 초록(영문), 저자(소속기관)
저장형식	Text(ASCII format) Excel format RefWorks Direct Export RIS format (for Reference Manager, ProCite, EndNote), Scholar's Aids, Mendeley
메일정보	받는사람 (필수) @ 보내는사람 (선택) @ 제목 내용 KISTI 검색결과 이메일 서비스
안내	총 건의 자료가 검색되었습니다. 다운받으실 자료의 인덱스를 입력하세요. (1-10,000) 검색결과의 순서대로 최대 10,000건 까지 다운로드가 가능합니다. 데이타가 많을 경우 속도가 느려질 수 있습니다.(최대 2~3분 소요) 다운로드 파일은 UTF-8 형태로 저장됩니다. 파일의 내용이 제대로 보이지 않을실 때는 웹브라우저 상단의 보기 -> 인코딩 -> 자동선택 여부를 확인하십시오. ~ Text(ASCII format) Excel format

연합인증

라카토스의 보조정리 합체법을 적용한 교수-학습 자료 개발
Development of teaching-learning materials in lemma-incorporation method of Lakatos 원문보기

초록
AI-Helper

Abstract AI-Helper

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

문제 정의

가설 설정

제안 방법

이론/모형

성능/효과

후속연구

이 논문을 인용한 문헌

저자의 다른 논문 :

관련 콘텐츠

원문 보기

원문 URL 링크

이 논문과 함께 이용한 콘텐츠

AI-Helper ※ AI-Helper는 오픈소스 모델을 사용합니다.

선택된 텍스트

연합인증

라카토스의 보조정리 합체법을 적용한 교수-학습 자료 개발 Development of teaching-learning materials in lemma-incorporation method of Lakatos 원문보기

초록 용어보기논문에서 용어와 풀이말을 자동 추출한 결과로, 시범 서비스 중입니다. AI-Helper

Abstract AI-Helper

주제어

AI 본문요약 엑셀 다운로드 AI-Helper

문제 정의

가설 설정

제안 방법

이론/모형

성능/효과

후속연구

이 논문을 인용한 문헌

저자의 다른 논문 :

조열제 (22) 유익승 (6) 김태호 (1)

관련 콘텐츠

원문 보기

원문 URL 링크

이 논문과 함께 이용한 콘텐츠

AI-Helper ※ AI-Helper는 오픈소스 모델을 사용합니다.

선택된 텍스트

라카토스의 보조정리 합체법을 적용한 교수-학습 자료 개발
Development of teaching-learning materials in lemma-incorporation method of Lakatos 원문보기

초록
AI-Helper

AI 본문요약
AI-Helper