[논문]PID제어를 위한 실용적인 기준 모델 제안과 성능개선

허정규; 양경욱

문제 정의

이 연구에서는 새로운 기준 모델 설정 방법을 제시하였다. 이것은 단위 계단 입력으로부터 얻어지는 제어 대상의 결과에서 피크 시간과 정착 시간만을 파악하면 손쉽게 기준 모델을 만들 수 있는 장점을 가지고 있다.
이 절에서는 제안된 기준 모델과 ITAE 성능지수를 이용한 기준 모델과의 차이점을 비교하기 위하여, 각각의 방법으로 단위 계단 입력에 대한 응답 결과를 확인하였다. 그리고 제안된 기준 모델을 사용하여 PID제어기를 설계하고 그 결과를 고찰하였다.

제안 방법

이 절에서는 제안된 기준 모델과 ITAE 성능지수를 이용한 기준 모델과의 차이점을 비교하기 위하여, 각각의 방법으로 단위 계단 입력에 대한 응답 결과를 확인하였다. 그리고 제안된 기준 모델을 사용하여 PID제어기를 설계하고 그 결과를 고찰하였다.
이 연구에서 제안한 기준 모델의 유용성을 검증하기 위하여 수치해석을 수행하였다. 제어 대상은 비례 전자 압력 제어 밸브를 장착한 유압 시스템⁸⁾을 대상으로 하였으며, 이 시스템을 2차계로 선형화시켜 아래와 같이 설정하였다.
이 연구에서 제안한 방법의 유용성을 검증하기 위하여 기존의 성능 지표를 사용하는 방법⁶⁾으로 구현된 기준 모델과 그 응답특성을 수치 해석을 통하여 비교하고 제어기 설계를 수행함으로써 제안된 방법의 우수성을 증명하고자 한다.
이 연구에서는 쉽게 제어 대상의 동적 모델을 설정하는 방법을 제안하고 제어 대상의 상승 시간에 근접하면서 피크 시간(peak time)을 기점으로 하는 기준 모델 설정방법을 제안하였다. 즉, 제어 대상의 단위 계단 입력(unit step input)에 대한 출력 신호에서 단순히 피크 시간과 정착 시간(settling time)만을 파악하면 쉽게 제어 대상의 동적 모델인 전달 함수를 구할 수 있게 하였다.
제어 대상에 적용하는 제어기는 산업 현장에서 많이 사용되고 있는 제어기에 주목하여 예비 필터(pre-filter)를 가진 PID제어기⁵⁾를 설계하였다. 이 연구에서 사용한 제어계를 Fig.

대상 데이터

일반적으로 제어 대상이 선형 시불변 시스템(linear time-invariant system)일 경우, 고차 시스템(higher order system)은 2차계 전달 함수로 선형화시킬 수가 있다. 제안하는 기준 모델은 제어 대상이 2차계인 경우를 대상으로 하였으며 단위 계단 입력에 대한 응답의 표준 형태는 Fig. 1과 같다. 그림에서 피크 시간인 t_p는 제어 대상 응답의 최초 과응답(overshoot)일 때의 시간을 나타내고 정착 시간인 t_s는 제어 대상의 응답이 정상상태 범위에 들어가는 최초의 시간을 의미한다.
이 연구에서 제안한 기준 모델의 유용성을 검증하기 위하여 수치해석을 수행하였다. 제어 대상은 비례 전자 압력 제어 밸브를 장착한 유압 시스템⁸⁾을 대상으로 하였으며, 이 시스템을 2차계로 선형화시켜 아래와 같이 설정하였다.

성능/효과

5와 91을 선택하였다. 그림에서 알 수 있듯이 제어 대상의 특성이 바뀌더라도 제안된 방법으로 구현한 기준 모델은 최초 과응답이 발생되는 시점인 피크 시간 근방에서 정착 시간을 고정할 수 있는 안정된 기준 모델을 만들 수 있었으나, 기존의 방법은 어느 정도 안정된 정상 상태로 유지되지만 정착 시간이 상당히 늦어짐을 확인할 수 있다. 따라서 이 연구에서 제안한 기준 모델 설정방법은 제어 대상의 특성이 변화하더라도 최초 과응답에 맞추어 정착 시간을 갖는 기준 모델을 만들 수 있기 때문에 안정되게 제어기를 설계할 수가 있다.
7은 제안된 기준 모델의 응답으로써 제어 대상의 고유 주파수 변화에 따른 각각의 응답 변화를 표시한 것이다. 기존의 방법으로는 원하는 정착 시간을 얻을 수 없었지만 이 연구에서 제안한 방법은 제어 대상의 고유 주파수를 임의로 조정하더라도 과응답이 없는 안정한 기준 모델을 얻을 수 있음을 확인하였다.
그림에서 알 수 있듯이 제어 대상의 특성이 바뀌더라도 제안된 방법으로 구현한 기준 모델은 최초 과응답이 발생되는 시점인 피크 시간 근방에서 정착 시간을 고정할 수 있는 안정된 기준 모델을 만들 수 있었으나, 기존의 방법은 어느 정도 안정된 정상 상태로 유지되지만 정착 시간이 상당히 늦어짐을 확인할 수 있다. 따라서 이 연구에서 제안한 기준 모델 설정방법은 제어 대상의 특성이 변화하더라도 최초 과응답에 맞추어 정착 시간을 갖는 기준 모델을 만들 수 있기 때문에 안정되게 제어기를 설계할 수가 있다.
또한 이것을 바탕으로 설계한 기준 모델은 기존의 ITAE 방법⁷⁾과 Kitamori 방법⁶⁾에 비해 정상 상태에서 떨림 현상(hunting)을 최소화할 수 있었으며 응답성이 우수한 기준 모델 설정이 가능하였다. 따라서 제안된 방법을 이용하면 쉽게 전달 함수 형태로 나타낼 수 있게 함으로써 제어 대상의 모델링 작업을 대폭 간소화할 수 있다. 또한 간단히 기준 모델의 감쇠비만 조정하면 기준 모델을 만들 수 있으므로 안정적이고 응답성이 우수한 제어 결과를 얻을 수 있다.
따라서 제안된 방법을 이용하면 쉽게 전달 함수 형태로 나타낼 수 있게 함으로써 제어 대상의 모델링 작업을 대폭 간소화할 수 있다. 또한 간단히 기준 모델의 감쇠비만 조정하면 기준 모델을 만들 수 있으므로 안정적이고 응답성이 우수한 제어 결과를 얻을 수 있다.
즉, 제어 대상의 단위 계단 입력(unit step input)에 대한 출력 신호에서 단순히 피크 시간과 정착 시간(settling time)만을 파악하면 쉽게 제어 대상의 동적 모델인 전달 함수를 구할 수 있게 하였다. 또한 이것을 바탕으로 설계한 기준 모델은 기존의 ITAE 방법⁷⁾과 Kitamori 방법⁶⁾에 비해 정상 상태에서 떨림 현상(hunting)을 최소화할 수 있었으며 응답성이 우수한 기준 모델 설정이 가능하였다. 따라서 제안된 방법을 이용하면 쉽게 전달 함수 형태로 나타낼 수 있게 함으로써 제어 대상의 모델링 작업을 대폭 간소화할 수 있다.
이 연구에서 제안한 기준 모델 특성 방정식에 사용된 고유 주파수(ωn)는 41.5로 구해졌으며, 보정계수(α)와 감쇠비(ζ)는 3과 0.85로 설정하였다.
3은 ITAE 방법과 제안된 방법에 의해 구해진 기준 모델의 응답 결과이다. 제안된 방법에 의한 응답결과는 제어 대상의 상승 시간에 근접하면서 피크 시간을 기준으로 빠르고 안정한 정착 시간을 가지는 것을 확인할 수 있다. 하지만, ITAE 방법으로 구현한 기준 모델의 응답 결과는 제안된 방법의 정착 시간이 약 0.
제안한 기준 모델 설정 방법은 기존의 ITAE 성능 지수에 의하여 만들어진 기준 모델보다도 우수하다는 것을 확인할 수 있었으며, 제어기 설계에 있어서도 만족할만한 응답특성을 얻을 수 있었다. 무엇보다도 제어 대상에 대한 모델링의 번거로운 절차를 거치지 않고 설계하고자하는 제어 대상에서 측정 신호의 최초 피크 시간과 정착 시간만을 알고 있으면 안정성과 응답성이 우수한 기준 모델을 구할 수 있고 쉽게 제어기를 설계할 수 있다.
제안된 방법에 의한 응답결과는 제어 대상의 상승 시간에 근접하면서 피크 시간을 기준으로 빠르고 안정한 정착 시간을 가지는 것을 확인할 수 있다. 하지만, ITAE 방법으로 구현한 기준 모델의 응답 결과는 제안된 방법의 정착 시간이 약 0.1초인데 반해 약 0.3초로 상당히 느린 정착 시간을 보였으며, 비록 2%내의 정착 시간 범위에서 안정된 결과를 나타내지만 떨림 현상을 확인할 수 있었다. 또한 원하는 정착 시간을 갖도록 하기 위해 보정계수를 조정하였지만, Fig.

후속연구

따라서, 제안한 기준 모델은 기존의 방법보다 안정된 정상 상태 특성을 가지고 있기 때문에 특히 극배치 방법을 응용한 제어기 설계 기법에 안정되게 사용될 수 있을 것으로 생각한다.

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