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문제 정의
- 본 논문은 이러한 최대원리를 이용한 증명방식과는 전혀 다른 순수 기하학적인 방식을 사용하여 증명하였다. 우선 시작환경과 목표점 사이에 발생 가능한 여러 경로의 타입을 정의한 후, 이들 사이의 연속적인 변형 (continuous deformation)을 통해 보다 짧은 다른 타입의 경로로 변환이 가능하다는 사실을 증명하였다.
가설 설정
- 정의하자. 곡률이 최대 1로 제한된 물체가 현재 이동하는 방향으로의 전진이동만을 한다고 가정한다. 주어진 시작점 구성과 목표점 구성에 대해, Dubins[l]는 이 두 구성을 연결하는 제한된 곡률을 지닌 최단 경로는 최대 3개의 원호나 선분으로 이루어지며, CCC, CSC 혹은 이들의 부분 문자열의 모양으로 구성되어 있다는 사실을 증명하였다.
- (i) p와 q를 연결하는 직선 선분은 다른 어떤 경로보다 짧다.
- (ii) p와 q를 연결하는 두 개의 볼록 곡선이 중첩되어있을 경우, 내부에 있는 곡선이 더 짧다.
- s의 이동방향。를 수직으로 위쪽을 향하는 방향으로 가정한다. 시작점 구성 s로부터 목표점 t를 연결하는 곡률이 제한된 경로를 7라 하자.
- 증명. 시작점 구성 s로부터 출발하여 도착점 t를 잇는 두 개의 LSL 타입의 경로 7 와 k이 주어졌을 때, 7 의 첫 번째 원호가 7'의 첫 번째 원호보다 더 짧다고 가정하자. 그리고 L(sa)를 7의 첫 번째 원호라고 하자.
- 증명. 시작점 구성 s로부터 도착점 t를 잇는 두 개의 RSL 타입의 경로 7 와 7'이 주어졌을 때, 7의 첫 번째 원호가 7 '의 첫 번째 원호보다 더 길다고 가정하자. 그리고 R(sa)를 7의 첫 번째 원호라고 하자.
- 증명. 도착점 t가 Dl의 내부에 있다고 가정한다. 7 를 RS 타입의 경로, 7'를 점 a에서 방향을 바꾸는 RL 타입의 경로라고 정의한다.
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