[논문]탄성 구조물의 안정성을 고려한 형상최적설계

양욱진; 최주호

탄성 구조물의 안정성을 고려한 형상최적설계
A Study on Shape Optimum Design for Stability of Elastic Structures 원문보기

한국전산구조공학회논문집 = Journal of the computational structural engineering institute of Korea, v.20 no.1, 2007년, pp.75 - 82

양욱진 (한국항공대학교 대학원) , 최주호 (한국항공대학교 항공우주 및 기계공학부)

초록
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본 연구에서는 설계민감도 해석기법을 사용하여 구조물의 안정성, 즉 좌굴을 고려한 형상 최적설계를 수행하였다. 형상 변수를 고려한 설계민감도 해석을 수행하기 위해 전미분 개념을 도입하고, 이를 이용하여 연속체기반의 변분방정식을 미분하여 민감도공식을 유도하였다. 기존의 유한차분법과 비교할 때 설계민감도 해석법의 장점은 설계변수의 갯수에 상관없이 매우 적은 해석횟수를 가지고도 민감도를 더 정확하게 계산할 수 있으며, 해석결과만을 이용하여 민감도계산을 수행하므로 상용 해석 소프트웨어를 활용할 수 있다는 것이다. 한편 좌굴문제를 다룰 때는 일반적으로 보나 쉘 같은 구조요소를 이용하지만 본 연구에서는 솔리드 요소를 이용한 연속체 모델로 고려하였는데 그 이유는 연속체 모델을 이용하면 뚱뚱한 형상뿐만 아니라 보나 쉘 같은 슬림(slim) 한 모델을 모두 해석할 수 있기 때문이다 설계민감도를 활용하여 여러 가지 좌굴문제에 대해 형상 설계민감도 계산 및 최적설계를 수행하였다. 그 결과 실행함수가 매우 빠르게 수렴하는 것을 확인할 수 있었고, 설계변수가 많아지고 해석시간이 길어질수록 더 효율적인 것을 알 수 있었다.

Abstract ▼ AI-Helper

This paper addresses a method for shape optimization of a continuous elastic body considering stability, i.e., buckling behavior. The sensitivity formula for critical load is analytically derived and expressed in terms of shape variation, based on the continuum formulation of the stability problem. Unlike the conventional finite difference method (FDM), this method is efficient in that only a couple of analyses are required regardless of the number of design parameters. Commercial software such as ANSYS can be employed since the method requires only the result of the analysis in computation of the sensitivity. Though the buckling problem is more efficiently solved by structural elements such as a beam and shell, elastic solids have been chosen for the buckling analysis because solid elements can generally be used for any kind of structure whether it is thick or thin. Sensitivity is then computed by using the mathematical package MATLAB with the initial stress and buckling analysis of ANSYS. Several problems we chosen in order to illustrate the efficiency of the presented method. They are applied to the shape optimization problems to minimize weight under allowed critical loads and to maximize critical loads under same volume.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 연구에서는 이러한 효과적인 방법을 좌굴을 고려한 설계 문제에 적용하고자 한다. DSA 방법을 적용하여 좌굴을 고려한 최적설계를 수행한 사례는 최근의 몇몇 논문에서 발견되고 있다.
본 연구에서는 좌굴 문제에 대해, 구조요소가 아닌 연속체 구조물(continuum structure)을 대상으로, 그리고 치수가 아닌 형상을 고려하여, 설계민감도 해석을 수행하는 방법을 개발하였다. 또한 이산화 접근법이 아닌 연속체 접근법을 사용하였는데, 이는 이산화되기 전인 원래의 구조해석 방정식을 해석적으로 미분하고, 이를 토대로 민감도 공식을 유도하는 방법이다.
본 연구에서는 탄성체의 임계좌굴하중에 대한 형상 설계 민감도 해석을 위한 방법을 제시하였다. 좌굴문제를 해석하기 위해 초기 정적 평형문제, 이의 보조변수 문제 및 좌굴 문제의 해를 구하였고 이들을 민감도 공식에 넣어서 적분하여 민감도를 계산하였다.

가설 설정

1 로 고정하였다. 이는 두께방향 요소수의 영향으로 민감도계산에 영향을 미치게 되므로 앞서 말한 것과 같이 요소수를 증가시킴으로써 해결 가능하지만 많은 계산 시간을 초래하게 되어 본 연구에서는 그냥 초기치로 고정하였다. 허용좌굴하중은 2.

제안 방법

은 초기체적으로 동일한 값을 갖는 것을 제한조건으로 하였다. 3차원 기둥 모델에 대하여 두께가 0.5와 0.4일 경우 각각에 대해 최적화를 수행 하였고, 이보다 더 얇은 경우도 고려하였다.
본 연구에서는 좌굴을 고려한 형상 DSA를 수행하는 방법으로 설계변수의 변화에 따른 임계좌굴하중(critical buckling load)의 변화에 관한 민감도 공식을 유도하였고, 이를 형상 변 분(shape variation)의 함수로 표현하였다. 한편 좌굴은 연속체 보다는 보나 쉘 같은 구조요소에서 더 중요한 고려 사항이다.
설계 민감도 해석을 이용하여 2차원 곡선보, 3차원 기둥 그리고 병모양 기등에 대한 형상 최적화를 실시하였다. 최적화 프로그램은 Visual-DOC를 이용하였고, 이 세 가지 예제에 대하여 허용된 좌굴하중보다 큰 값을 갖고 체적을 최소화하는 문제로 정의하여 고려하였다.
해석을 위한 방법을 제시하였다. 좌굴문제를 해석하기 위해 초기 정적 평형문제, 이의 보조변수 문제 및 좌굴 문제의 해를 구하였고 이들을 민감도 공식에 넣어서 적분하여 민감도를 계산하였다. 한편 각 설계변수 별로 설계 속도 벡터를 알고 있어야 하는데 이들은 형상변화에 대해서만 유한차분을 적용하여 간편하게 구할 수 있었다.
최적화 프로그램은 Visual-DOC를 이용하였고, 이 세 가지 예제에 대하여 허용된 좌굴하중보다 큰 값을 갖고 체적을 최소화하는 문제로 정의하여 고려하였다.

대상 데이터

민감도 계산은 ANSYS에서 얻은 해석결과를 가지고 외부에서 범용 수치 연산 소프트웨어인 MATLAB (2002)> 이용하여 계산하였다. 검증용 예제로 압축하중 하의 곡선보, 박판단면이나 병과 같은 모양의 3 차원 기둥문제 등을 대상으로 설계민감도 해석을 수행하였고, 최적화 프로그램인 Visual-DOC (1999)를 이용하여 허용 임계 좌굴하중 이하에서의 체적을 최소화 하거나, 동일한 체적 하에서 임계좌굴하중을 최대화 하는 문제를 대상으로 하였다. 그 결과 DSA 방법의 효율성, 정확성을 입증하였다.

데이터처리

본 연구에서는 고유치 문제로 표현되는 선형 좌굴 해석을 대상으로 하였고, 실제 해석은 상용 해석 소프트웨어인 ANSYS(2003)를 사용하였다. 민감도 계산은 ANSYS에서 얻은 해석결과를 가지고 외부에서 범용 수치 연산 소프트웨어인 MATLAB (2002)> 이용하여 계산하였다. 검증용 예제로 압축하중 하의 곡선보, 박판단면이나 병과 같은 모양의 3 차원 기둥문제 등을 대상으로 설계민감도 해석을 수행하였고, 최적화 프로그램인 Visual-DOC (1999)를 이용하여 허용 임계 좌굴하중 이하에서의 체적을 최소화 하거나, 동일한 체적 하에서 임계좌굴하중을 최대화 하는 문제를 대상으로 하였다.

이론/모형

구조요소에서 다루는 치수, 형상설계는 연속체에서는 모두형 상설계가 되는데, 이는 본문의 예제들을 보면 잘 알 수 있다. 본 연구에서는 고유치 문제로 표현되는 선형 좌굴 해석을 대상으로 하였고, 실제 해석은 상용 해석 소프트웨어인 ANSYS(2003)를 사용하였다. 민감도 계산은 ANSYS에서 얻은 해석결과를 가지고 외부에서 범용 수치 연산 소프트웨어인 MATLAB (2002)> 이용하여 계산하였다.
설계속도장 V의 계산은 선행연구(최주호, 2006)에서 언급한 바와 같이 설계속도의 계산만을 위한 유한차분법을 이용한다. 설계속도벡터는 임의의한 설계변수 饥.
형상변분은 전미분(material derivative) 의 개념을 이용하여 효과적으로 설명된다(Haug, 1985). 이와 관련한 이론 및 민감도 공식의 유도는 이미 선행 연구(Choi, 2006)에서 다룬 바 있으며, 따라서 본 논문에서는 중요한 결과 식만을 수록하였다

성능/효과

물론 이럴 경우 3-D 솔리드 모델을 사용하기 때문에 해석을 위한 계산 시간 증가라는 어쩔 수 없는 대가는 지불해야 할 것이다. DSA와 FDM 두 방법의 최적화 수렴속도를 비교한 결과해석 시간이 긴 3차원 문제일수록 그리고 설계변수 갯수가 많을수록 DSA가 훨씬 빠른 수렴성을 나타내었다.
또한 CAD 소프트웨어로부터 수입되는 모델의 경우 보나 구조 요소로 변환 시키지 않고 최적화를 수행함으로써 시간과 비용 면에서 더 효율적일 수 있다. 구조요소에서 다루는 치수, 형상설계는 연속체에서는 모두형 상설계가 되는데, 이는 본문의 예제들을 보면 잘 알 수 있다. 본 연구에서는 고유치 문제로 표현되는 선형 좌굴 해석을 대상으로 하였고, 실제 해석은 상용 해석 소프트웨어인 ANSYS(2003)를 사용하였다.
검증용 예제로 압축하중 하의 곡선보, 박판단면이나 병과 같은 모양의 3 차원 기둥문제 등을 대상으로 설계민감도 해석을 수행하였고, 최적화 프로그램인 Visual-DOC (1999)를 이용하여 허용 임계 좌굴하중 이하에서의 체적을 최소화 하거나, 동일한 체적 하에서 임계좌굴하중을 최대화 하는 문제를 대상으로 하였다. 그 결과 DSA 방법의 효율성, 정확성을 입증하였다.
한편 각 설계변수 별로 설계 속도 벡터를 알고 있어야 하는데 이들은 형상변화에 대해서만 유한차분을 적용하여 간편하게 구할 수 있었다. 다양한 2차원 및 3차원 예제에 대해 민감도를 계산하고 정확도를 검증함으로써 본 방법의 장점과 효용성을 입증하였다. 최적화는 체적을 최소화 하는 것과 임계좌굴하중을 최대로 하는 것을 각각 수행하였고, 그 값들이 유한차분법에 의한 결과와 매우 잘 일치 하였다.
6에 나타내었다. 둘다 동일한 해로 수렴하였으나 DSA가 FDM에 비해 약 4배 정도 빠르게 수렴하였다. 이는 설계변수가 증가하고 해석 시산이 길어질수록 더욱 차이가 날 것으로 예상 된다.
임계좌굴하중을 최대화 하는 경우 모델의 두께가 얇은 3차원 모델의 경우 중복 고유치 문제가 발생하면서 2차 좌굴 모드를 계산해줘야 하며, 이는 본 논문에서는 고려되지 않았다. 민감도 해석결과를 보면 대체적으로 형상에 대한 민감도보다는 두께에 대한 민감도가 요소 수에 더욱 민감하게 반응한다는 것을 알 수 있었다. 즉, 두께에 대한 설계변수를 지정할 경우 요소 개수를 증가 시킬수록 우수한 결과를 얻을 수 있음을 알 수 있다.
민감도 해석결과를 보면 대체적으로 형상에 대한 민감도보다는 두께에 대한 민감도가 요소 수에 더욱 민감하게 반응한다는 것을 알 수 있었다. 즉, 두께에 대한 설계변수를 지정할 경우 요소 개수를 증가 시킬수록 우수한 결과를 얻을 수 있음을 알 수 있다. 하지만 이럴 경우 해석 시간이 증가하게 되어 효율적인 측면에서는 좋지 않다.
다양한 2차원 및 3차원 예제에 대해 민감도를 계산하고 정확도를 검증함으로써 본 방법의 장점과 효용성을 입증하였다. 최적화는 체적을 최소화 하는 것과 임계좌굴하중을 최대로 하는 것을 각각 수행하였고, 그 값들이 유한차분법에 의한 결과와 매우 잘 일치 하였다. 임계좌굴하중을 최대화 하는 경우 모델의 두께가 얇은 3차원 모델의 경우 중복 고유치 문제가 발생하면서 2차 좌굴 모드를 계산해줘야 하며, 이는 본 논문에서는 고려되지 않았다.

참고문헌 (14)

최주호(2006) 탄성 구조물의 안정성을 고려한 형상설계 민감도 해석, 대한기계학회, 30(1), pp.76-83

원문보기 상세보기
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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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