[논문]적응적 쉘유한요소를 이용한 박스형 구조물의 좌굴해석

송명관; 김선훈

초록
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본 논문에서는 적응적 h-유한요소 세분화에 의한 박스형 절판 구조물의 선형좌굴 유한요소해석법을 제안한다. 면내회전 자유도를 갖는 변절점 평판쉘유한요소를 사용하여 유한요소의 거동을 개선하고 6자유도를 갖는 다른 유한요소와의 자유도의 연결을 용이하게 한다. 이와 같이 개발된 평판쉘유한요소에 의하여 박스형 절판구조물의 정확한 구조해석이 가능한데, 변절점유한요소를 정식화함으로써 적응적 h-유한요소 세분화시에 발생하는 다른 패턴의 사각형 유한요소 세분화망의 연결을 용이하게 해결한다. 오차평가에 대한 개선된 응력장을 얻기 위하여 상위수렴 조각회복법을 적용한다. 이와 같이 상위수렴 조각회복법에 의한 개선된 응력장에 의하여 구성된 유한요소 세분화망을 이용하여 좌굴하중과 좌굴모드를 자동적으로 구할 수 있도록 한다.

Abstract ▼ AI-Helper

The finite element linear buckling analysis of folded plate structures using adaptive h-refinement methods is presented in this paper. The variable-node flat shell element used in this study possesses the drilling D.O.F. which, in addition to improvement of the element behavior, permits an easy conn...

The finite element linear buckling analysis of folded plate structures using adaptive h-refinement methods is presented in this paper. The variable-node flat shell element used in this study possesses the drilling D.O.F. which, in addition to improvement of the element behavior, permits an easy connection to other elements with six degrees of freedom per node. The Box-typed structures can be analyzed using these developed flat shell elements. By introducing the variable-node elements some difficulties associated with connecting the different layer patterns, which are common in the adaptive h-refinement on quadrilateral mesh, can be overcome. To obtain better stress field for the error estimation, the super-convergent patch recovery is used. The convergent buckling modes and the critical loads associated with these modes can be obtained.

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문제 정의

된다. 본 논문에서는 冷유한요소 세분화 방법을 이용한 박스형 절판구조물의 선형 좌굴유한요소해 석방법을 제안하였다. 박스형 절판구조물의 모델링에는 유한요소해석 결과의 정확성을 높이고 3차원 모델링의 효율성 확보를 위하여 절점당 6자 유도를 가지는 변절점 평판쉘유한요소를 사용하였다.

가설 설정

Reissner-Mindlin 평판이론을 바탕으로하는 평판 휨 요소는 연직처짐 변위장과 회전변위장을 별도로 가정하며 변 위장을 C°연속성만 만족하면 되고 전단변형을 고려할 수 있다. 일반적인 감절점 Mindlin 평판휨 등매개변수요소의 형상은 그림3과 같고 변절점 평판휨요소의 변위장은 식 (1)과 같이 정의된다(김선훈 등, 2005).

제안 방법

본 연구에서 박스형구조물의 모델링에 사용한 CLS 요소는 회전자 유도를 가지는 평면요소(Allman, 1988)와 Mindlin 평판휨요소를 조합하여 구성되었으며, 변절점 평면쉘 요소의 구성에 필요한 절점번호체계와 요소의 국지좌표계는 그림 2 에 나타낸 바와 같다. 이 요소에 대한 자세한 정식화 과정은 참조문헌(Choi 등, 1996)에 자세히 소개되어 있다.
적용하다. 따라서, 우선 구조물에 참조하중(reference load) [7?] 澎을 가하여 정적해석을 수행하고, 모든평판쉘요소에서 발생하는 막응력( a”)을 계산한다. 이로부터 모든 요소들의 응력강성도행렬을 구성하여 조합(assemble) 하면 전체구조물의 응력강성도행렬( [K。]澎)을 다음과 같이 구성할 수 있다(Bathe, 1996; Cook 등, 1989).
이용하여 수행한 박스형구조물의 좌굴해석 예를 나타낸 것이다. 양측 고정된 개구부를 가지는 박스형구조물로서 집중하중이 상하면의 중앙에 반대방향을 작용하는 경우(그림 7) 대칭성을 고려하여 1/8만을 모델링하였으며, 해석에 적용한 재료의 물성치는 탄성계수 E=2.1xio8kN/m2, v=0.10 이다. 적응적 방법에 의한 유한요소세분화 형태와 좌굴 모드를 그림 8과 9에 나타내었다(NDF는 자유도수).
적응적 유한요소 세분화 방법을 이용한 좌굴해석의 두 번째 예제로서 팔각형 박스형 구조물의 좌굴해석을 수행하였다. 양측 고정된 팔각형 단면을 가지는 박스형구조물로서 집중하중이 상면과 하면의 중앙에 반대방향으로 작용하는 경우 (그림 11) 대칭성을 고려하여 1/8만을 모델링하였으며, 해석에 적용한 재료의 물성치는 탄성계수 E=210, 000MPa, 〃=0.
본 논문에서는 冷유한요소 세분화 방법을 이용한 박스형 절판구조물의 선형 좌굴유한요소해 석방법을 제안하였다. 박스형 절판구조물의 모델링에는 유한요소해석 결과의 정확성을 높이고 3차원 모델링의 효율성 확보를 위하여 절점당 6자 유도를 가지는 변절점 평판쉘유한요소를 사용하였다. 또한, 상위수렴조각회복기 법 (Super-convergent patch recovery te- chnique)에 의하여 적응적 유한요소해석방법을 사용함으로서 모델링과정에서 응력의 상대오차를 줄일 수 있다.
절판구조물에 대한 첫번째 예제로서 stiffener가 있는 평판에 일축 압축하중을 가하여 선형좌굴해석을 하였다(그림6). 평판의 물성치는 E=2xl08kN/m2, v=Q.

대상 데이터

본 논문에서는 박스형구조물의 좌굴해석을 위하여 회전자 유도를 가지는 쉘 유한요소(CLS요소)를 사용하였다. CLS 요소는 회전자유도를 가지는 막요소와 대체전단변형률장을 사용하는 Mindlin 평판휨요소를 조합하여 얻어졌으며, 이미 많은 선형탄성 수치해석에서 효율성이 입증된 바 있다(Choi 등, 1996).
이 예제는 그림 5에서 보는 바와 같으며, L=480mm, B=480mm, t = 10mm, 탄성계수 E = 210.133kN/mm², 포와송비 1^=0.316 등이 사용되었다. 구조물의 대칭성을 이용하여 전체 구조물의 1/8을 모델링하였으며, 4절점 CLS 요소만을 사용하였다.
일축 압축하중을 가하여 선형좌굴해석을 하였다(그림6). 평판의 물성치는 E=2xl08kN/m2, v=Q.3, a=b = 1.0m, h = 0.01m, e=0.06m이다. 선형좌굴해석 결과를 표 2에서와 같이 각 좌굴형상과 임계하중에 대해 이론해(Timoshenko 등, 1961) 및 다른 연구 결과와 비교가 가능하며, 다른 연구의 결과들과 잘 일치하고 있음을 알 수 있다(그림 6, 표 2).
양측 고정된 팔각형 단면을 가지는 박스형구조물로서 집중하중이 상면과 하면의 중앙에 반대방향으로 작용하는 경우 (그림 11) 대칭성을 고려하여 1/8만을 모델링하였으며, 해석에 적용한 재료의 물성치는 탄성계수 E=210, 000MPa, 〃=0.10이다. 적응적 해석방법에 의한 요소망과 좌굴 모드를 그림 12와 13에 나타내었다.

데이터처리

구조물의 대칭성을 이용하여 전체 구조물의 1/8을 모델링하였으며, 4절점 CLS 요소만을 사용하였다. 구조해석을 수행하여 얻어진 한계 하중의 크기를 다른 문헌에 나온 결과들(Errikson, 1992 ; Wasz- czyszyn 등, 1994)과 비교분석해 보았다. 표 1에서 볼 수 있듯이 본 연구에서 수행하여 얻어진 해석결과는 다른 연구 결과들 잘 일치함을 알 수 있었다.

이론/모형

CLS 요소는 회전자유도를 가지는 막요소와 대체전단변형률장을 사용하는 Mindlin 평판휨요소를 조합하여 얻어졌으며, 이미 많은 선형탄성 수치해석에서 효율성이 입증된 바 있다(Choi 등, 1996). 박스형구조물의 좌굴해석의 정확성과 효율성을 높이기 위하여 적응적 ■成유한요소 자동 세분화 방법을 적용하였다.
본 연구에서는 식 (9)의 수치해석을 위해 대형 유한요소해석시스템에서 소수의 고유치와 고유벡터의 계산에 적합한 부공간 반복법 (subspace iteration method)을 사용하였다. 실제로 p개의 고유치와 고유벡터를 얻기 위해서 부공간 q의 크기는 다음의 조건을 만족해야 한다(Zinekiewicz 등, 1989).
구조물 모델링의 효율성과 해석결과의 정확성을 높이기 위하여 본 연구에서는 적응적 卜유한요소세분화 방법이 사용되었다. 또한 응력오차를 줄이기 위하여 유한요소 세분화망은상위수렴 조각회복법 (super-convergent patch recovery technique) (Zienkiewicz 등, 1989)를 적용하였다.
또한 응력오차를 줄이기 위하여 유한요소 세분화망은상위수렴 조각회복법 (super-convergent patch recovery technique) (Zienkiewicz 등, 1989)를 적용하였다.
박스형 절판구조물의 모델링에는 유한요소해석 결과의 정확성을 높이고 3차원 모델링의 효율성 확보를 위하여 절점당 6자 유도를 가지는 변절점 평판쉘유한요소를 사용하였다. 또한, 상위수렴조각회복기 법 (Super-convergent patch recovery te- chnique)에 의하여 적응적 유한요소해석방법을 사용함으로서 모델링과정에서 응력의 상대오차를 줄일 수 있다. 따라서, 본 논문에서 제안한 방법에 의하여 박스형 절판구조물의 선형좌굴 유한요소해석을 수행하면 상대오차를 크게 줄이면서 좌굴 모드와 좌굴하중을 계산할 수 있게 되었다.

성능/효과

구조해석을 수행하여 얻어진 한계 하중의 크기를 다른 문헌에 나온 결과들(Errikson, 1992 ; Wasz- czyszyn 등, 1994)과 비교분석해 보았다. 표 1에서 볼 수 있듯이 본 연구에서 수행하여 얻어진 해석결과는 다른 연구 결과들 잘 일치함을 알 수 있었다.
적응적 유한세분화에 의해 상대오차를 최적으로 수렴시키면서 정확한 좌굴해석이 가능함을 알 수 있다.
또한, 상위수렴조각회복기 법 (Super-convergent patch recovery te- chnique)에 의하여 적응적 유한요소해석방법을 사용함으로서 모델링과정에서 응력의 상대오차를 줄일 수 있다. 따라서, 본 논문에서 제안한 방법에 의하여 박스형 절판구조물의 선형좌굴 유한요소해석을 수행하면 상대오차를 크게 줄이면서 좌굴 모드와 좌굴하중을 계산할 수 있게 되었다.

후속연구

그림 14에서는 상대오차의 감소의 추이와 적응적 세분화에 따른 좌굴하중이 정확한 값으로 수렴되어 가는 추이를 보여주고 있다. 앞의 예제와 마찬가지로 적응적 유한세분화에 의해 상대오차를 최적으로 수렴시키면서 정확한 좌굴해석이 가능함을 알 수 있다.

참고문헌 (11)

김선훈, 한인선(2005) 고성능 유한요소를 이용한 평판구조물의 정적 및 동적해석, 한국전산구조공학회논문집, 18(3), pp. 311-320

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Allman, D.J.(1988) A Quadrilateral Finite Element including Vertex Rotations for Plane Elasticity Problems, Int. J. Numer. Methods Engrg., 26, pp. 717-739

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Bathe, K.J.(1996) Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, USA
Choi, C.K., Lee, W.H.(1996) Versatile Variable-node Flat Shell Element, Journal of Engineering Mechanics (ASCE), 122, pp. 432-441

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Cook, R.D., Malkus, D.S., Plesha, M.E.(1989) Concepts and Applications of Finite Element Analysis, 3rd ed., John Wiley & Sons, New York
Donea, J., Lamain, L.G.(1987) A Modified Representation of Transverse Shear in CO Quadrilateral Plate Elements, Comput. Meth. in Appl. Mech. and Engng., 63, pp.183-207

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Eriksson, A.(1992) On a Thin Shell Element for Nonlinear Analysis, based on the Isoparametric Concept, Computers & Structures, 42, pp.927-939

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Timoshenko, S.P., Gere, J.M.(1961) Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, New York, USA
Waszczyszyn, Z., Cichon, C., Radwanska, M. (1994) Stability of Structures by Finite Element Methods, Elsevier, The Netherlands
Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L.(1989) The Finite Element Method: Solid and Fluid Mechanics. Dynamics and Nonlinearity, Vol. II, McGraw-Hill, London
Zienkiewicz, O.C., Zhu, J.Z.(1989) Error Estimates and Adaptive Refinement for Plate Bending Problems, Int. J. Numer. Methods Engrg., 28, pp.2839-2853

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