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문제 정의
- ‘자와 컴퍼스의 방법’에는 이들 정다각형의 작도와 함께 정육각형에서 정12각 형, 정13각형에서 정24각형을 작도하는 일반화된 방법이 제시되어 있는데, 본 연구에 서는 이들 작도가 오류를 포함하고 있음을 보이고, 이들 오류의 교육적 활용 가능성 에 대해서도 고찰하였다.
- 본 연구에서는 1709년 러시아에서 출판된 ‘자와 컴퍼스의 방법’([12])에 제시된 정다각형의 작도들 중에서 정7각형과 정9각형을 중심으로 이들의 작도에 관련된 오류를 분석할 것이다.
- 그런 다음, AB를 한 변으로 하는 다각형을 작도하면, 정7각형이 얻어진다. 본 연구에서는 이와 같은 방법으로 얻어진 원의 반지름 AF에 대한 근사값과 정7각형의 한 변의 공식 #에 대한 근사값을 Excell 프로그램을 이용하여 계산하여, 작도과정에 오류가 있음을 밝혔다. 한편 ‘자와 컴퍼스의 방법’에 제시된 정9각형의 작도방법에 관련된 수학적 관계를 유도하여, 정9각형의 작도에 오류가 포함되어 있음을 제시하였다.
- 이제 [그림 4]의 작도방법을 분석하자. 본 연구에서는 첫째, [그림 4]에서 호 AE를 자와 컴퍼스를 이용하여 6등분할 수 있는가, 둘째 그러한 6등분점 F, G, H, I, K가 존재한다고 할 경우에 [그림 4]에서 기술한 작도방법이 타당한가에 대해 살펴볼 것이다.
- ‘자와 컴퍼스의 방법’에서는 원주를 n등분하는 방법으로 정육각형에서 정24각형을 작도하는 방법을 제시하고 있다. 이를 자세히 살펴보자.
- 이제 기술한 작도 방법의 타당성을 살펴보자. [그림 3]에서 원의 반지름 AE를 구하자.
- 정7각형과 정9각형의 작도에서 발생하는 오류에 대해 살펴보았다. 문제해결 과정에 오류가 존재한다는 것이 밝혀지면, 그 문제해결은 수학적으로 타당하지 않으며 그러 한 문제해결은 폐기되는 경우가 많다.
- 특히 ‘자와 컴퍼스의 방법’에는 이들 정다각형의 작도와 함께 정육각형에서 정12각형, 정13각형에서 정24각형을 작도하는 일반화된 방법이 제시되어 있는데, 본 연구에서는 이들 작도가 오류를 포함하고 있음을 보이고, 이들 오류의 교육적 활용 가능성에 대해서도 고찰할 것이다.
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