[논문]테이퍼진 단면을 가진 회전 외팔보의 진동해석

이준희; 유홍희

doi:10.5050/ksnvn.2009.19.4.363

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A vibration analysis for a rotating cantilever beam with the tapered cross section is presented in this study. The stiffness changes due to the stretching caused by centrifugal inertia forces when a tapered cantilever beam rotates about the axis perpendicular to its longitudinal axis. When the cross...

A vibration analysis for a rotating cantilever beam with the tapered cross section is presented in this study. The stiffness changes due to the stretching caused by centrifugal inertia forces when a tapered cantilever beam rotates about the axis perpendicular to its longitudinal axis. When the cross section of cantilever beam are assumed to decrease constantly, the mass and stiffness also change according to the variation of the thickness and width ratio of a tapered cantilever beam. Such phenomena result in variations of natural frequencies and mode shapes. Therefore it is important to the equations of motion in order to be obtained accurate predictions of these variations. The equations of motion of a rotating tapered cantilever beam are derived by using hybrid deformation variable modeling method and numerical results are obtained along with the angular velocity and the thickness and width ratio.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

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문제 정의

이러한 동적 특성의 변화는 처음 소개했던 예제들과 같은 시스템의 작동 성능과 밀접한 관계가 있으므로, 회전운동과 더불어 테이퍼진 외팔보의 연구가 필요하다. 본 연구의 목적은 테이퍼진 단면을 가진 회전하는 외팔보의 진동해석이며, 회전 각속도와 테이퍼진 보의 너비와 두께의 비에 따른 해석 결과를 도출하여 시스템의 동적 특성을 분석하는데 있다.

제안 방법

이 장에서는 복합변형 변수를 이용하여 회전 구조물의 운동방정식을 유도한 참고문헌 (9,10)을 참조하여 구한 테이퍼진 외팔보의 운동방정식 유도과정을 간략히 소개하기로 한다.
테이퍼진 단면을 가진 회전 외팔보의 진동 특성을 예측하기 위해 진동 방정식을 유도하였으며 이를 이용하여 해석 결과를 도출하였다. 이 해석 결과는 상용 구조해석 프로그램인 ANSYS를 사용하여 얻은 모달 해석 결과와 제안된 방법을 통해 얻은 고유 진동수의 결과를 비교함으로써 이 논문에서 제시된 진동 방정식의 신뢰성과 정확성을 검증할 수 있었다.

대상 데이터

이 장에서는 앞에서 유도된 운동 방정식을 사용하여 수치 해석을 수행하였다. 수치 해석을 위해 굽힘 방향 변위의 가상모드(assumed modes)들로는 정지된 외팔보의 굽힘 진동모드들을 사용하였으며 5개의 모드들을 이용하였다.

데이터처리

또한, 제안한 방법과 ANSYS를 사용해 얻은 해석결과를 비교해 보면 거의 유사 함을 알 수 있다. Table 3은 회전 각속도가 59.33 (rad/s)일 때 폭의 비를 5로 일정하게 하고 두께비를 증가시켜가면서 제안된 방법과 ANSYS의 해석 결과를 비교하였다. 회전 각속도를 추가시키고 폭의 비를 변화시켜도 제안된 방법과 ANSYS의 해석결과는 거의 유사함을 Table 3의 결과를 통해 알 수 있다.
이 논문에서 제안한 방법에 의해 구해진 수치해석 결과들의 정확성과 신뢰성을 검증하기 위해서 상용 구조해석 프로그램인 ANSYS를 사용하여 수치해석결과와 비교하였다. 검증 결과의 비교를 위해서 수치해석 결과는 식 (13)의 운동방정식을 사용하였으며, Table 1은 해석에 사용된 보의 제원을 나타내고 있다.

이론/모형

이 논문에서 제안한 방법에 의해 구해진 수치해석 결과들의 정확성과 신뢰성을 검증하기 위해서 상용 구조해석 프로그램인 ANSYS를 사용하여 수치해석결과와 비교하였다. 검증 결과의 비교를 위해서 수치해석 결과는 식 (13)의 운동방정식을 사용하였으며, Table 1은 해석에 사용된 보의 제원을 나타내고 있다. 해석 결과를 나타내고 있는 Table 2, 3는 모두 축반경을 0으로 하였다.
이 논문의 구성은 서론에 이어 복합 변형 변수를 이용하여 회전하는 테이퍼진 외팔보의 굽힘 방향 운동 방정식을 Kane의 방법으로 유도하였으며 무차원 변수를 사용해 운동 방정식을 무차원화 시켰다. 3장에서는 유도된 운동 방정식에 근거하여 수치 해석을 실시하여 해석 결과를 보이고 회전 각속도의 크기와 두께와 너비의 비에 따른 동적 특성의 변화에 대해 논의 하였다.

성능/효과

테이퍼진 외팔보의 단면 형상을 결정하는 두께비와 폭의 비의 변화에 따른 동적 특성의 변화를 보면 폭의 비의 변화 보다는 두께비의 변화가 외팔보의 고유진동수 변화에 더 큰 영향을 끼친다는 것을 알수 있다. 그리고 두께비와 폭의 비가 변하면서 보의 단면형상이 변화하여도 회전 각속도가 증가하게 되면 고유진동수도 증가하는 것을 확인할 수 있었다. 또한, 축 반경 비의 증가에 따른 고유진동수의 증가도 확인하였다.
Table 2는 회전하지 않고 정지된 상태에서 외팔보의 단면형상을 결정하는 두께비를 변화시키면서 제안된 방법과 상용 구조해석 프로그램의 해석 결과를 나타내었다. 두께비가 커짐에 따라 외팔보에서 고정단의 단면형상보다 자유단의 단면형상이 점점 작아지게 되며, 이때 가장 작은 3개의 고유진동수를 보게 되면 첫 번째 고유진동수는 두께비가 증가할수록 함께 증가하고 있으며, 그 외 두 번째, 세 번째 고유진동수는 감소하는 것을 알 수 있다. 또한, 제안한 방법과 ANSYS를 사용해 얻은 해석결과를 비교해 보면 거의 유사 함을 알 수 있다.
회전 각속도를 추가시키고 폭의 비를 변화시켜도 제안된 방법과 ANSYS의 해석결과는 거의 유사함을 Table 3의 결과를 통해 알 수 있다. 또한 Table 2와 같이 고정단의 단면형상보다 자유단의 단면형상이 작아질수록 첫 번째 고유진동수는 증가하지만 두 번째, 세 번째 고유진동수는 여전히 감소하는 것을 확인할 수 있다.
두께비가 커짐에 따라 외팔보에서 고정단의 단면형상보다 자유단의 단면형상이 점점 작아지게 되며, 이때 가장 작은 3개의 고유진동수를 보게 되면 첫 번째 고유진동수는 두께비가 증가할수록 함께 증가하고 있으며, 그 외 두 번째, 세 번째 고유진동수는 감소하는 것을 알 수 있다. 또한, 제안한 방법과 ANSYS를 사용해 얻은 해석결과를 비교해 보면 거의 유사 함을 알 수 있다. Table 3은 회전 각속도가 59.
그리고 두께비와 폭의 비가 변하면서 보의 단면형상이 변화하여도 회전 각속도가 증가하게 되면 고유진동수도 증가하는 것을 확인할 수 있었다. 또한, 축 반경 비의 증가에 따른 고유진동수의 증가도 확인하였다.
테이퍼진 단면을 가진 회전 외팔보의 진동 특성을 예측하기 위해 진동 방정식을 유도하였으며 이를 이용하여 해석 결과를 도출하였다. 이 해석 결과는 상용 구조해석 프로그램인 ANSYS를 사용하여 얻은 모달 해석 결과와 제안된 방법을 통해 얻은 고유 진동수의 결과를 비교함으로써 이 논문에서 제시된 진동 방정식의 신뢰성과 정확성을 검증할 수 있었다. 테이퍼진 외팔보의 단면 형상을 결정하는 두께비와 폭의 비의 변화에 따른 동적 특성의 변화를 보면 폭의 비의 변화 보다는 두께비의 변화가 외팔보의 고유진동수 변화에 더 큰 영향을 끼친다는 것을 알수 있다.
이 해석 결과는 상용 구조해석 프로그램인 ANSYS를 사용하여 얻은 모달 해석 결과와 제안된 방법을 통해 얻은 고유 진동수의 결과를 비교함으로써 이 논문에서 제시된 진동 방정식의 신뢰성과 정확성을 검증할 수 있었다. 테이퍼진 외팔보의 단면 형상을 결정하는 두께비와 폭의 비의 변화에 따른 동적 특성의 변화를 보면 폭의 비의 변화 보다는 두께비의 변화가 외팔보의 고유진동수 변화에 더 큰 영향을 끼친다는 것을 알수 있다. 그리고 두께비와 폭의 비가 변하면서 보의 단면형상이 변화하여도 회전 각속도가 증가하게 되면 고유진동수도 증가하는 것을 확인할 수 있었다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	회전 외팔보가 모델로 사용되어진 것은?	회전 외팔보는 터빈 블레이드, 헬리콥터의 블레이드, 인공위성 안테나 그리고 풍력발전기의 블레이드 등의 회전운동을 하는 시스템의 모델로 사용되어왔다. 그리고 원심력을 받는 구조물의 동적 안정성과 진동에 관한 연구는 기계공학, 항공 우주공학 그리고 토목공학 등 많은 분야에 걸쳐 연구자들의 관심의 대상이 되어왔다.
	원심력을 받는 구조물의 동적 안정성과 진동에 관한 연구가 관심의 대상이 되어온 분야는?	회전 외팔보는 터빈 블레이드, 헬리콥터의 블레이드, 인공위성 안테나 그리고 풍력발전기의 블레이드 등의 회전운동을 하는 시스템의 모델로 사용되어왔다. 그리고 원심력을 받는 구조물의 동적 안정성과 진동에 관한 연구는 기계공학, 항공 우주공학 그리고 토목공학 등 많은 분야에 걸쳐 연구자들의 관심의 대상이 되어왔다.
	회전하는 구조물의 동적 특성에 대한 Southwell과 Schilhansl의 방법들의 장점은?	1970년대를 거치며 전산기의 발전과 더불어 종래의 해석적 방법을 떠나 수치적인 방법(3)으로 진동을 해석하려는 연구결과들이 등장하게 되었다. 이 방법들은 고유진동수를 더 정확하게 구할 수 있을 뿐만 아니라 모드형상도 구할 수 있다는 장점을 가지고 있다. 이후 회전하는 외팔보의 선형 운동 방정식을 복합 변형변수를 이용하여 정의하고, Kane 의 방법을 이용한 보 구조물의 다양한 연구들(4~6)이 수행되었다.

참고문헌 (10)

Southwell, R. and Gough, F., 1921, 'The Free Transverse Vibration of Airscrew Blades,' British A.R.C. Reports and Memoranda No. 766
Schilhansl, M., 1958, 'Bending Frequency of a Rotating Cantilever Beam,' J. of Appl. Mech. Trans. Am. Soc. Mech. Engrs, 25, pp. 28-30
Putter, S. and Manor, H., 1978, 'Natural Frequencies of Radial Rotating Beams,' J. Sound and Vibration, Vol. 56, No.2, pp. 175-185

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Buffinton, K. and Kane, T., 1985, 'Dynamics of a Beam Moving Over Supports,' International Journal of Solids and Structures, Vol. 21, No. 7, pp. 617-643

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Kane, T., Ryan, R. and Banerjee, A., 1987, 'Dynamics of Cantilever Beam Attached to a Moving Base,' Journal of Guidance, Control and Dynamics, Vol. 10, No. 2, pp. 139-151

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Lai, S., 1994, 'Nonlinear Finite Element modeling of a High Speed Rotating Timoshenko Beam Structure,' International Journal of Mechanical Science, Vol. 36, No. 9, pp. 849-86

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Lee, S. Y. and Kuo, Y. H., 1991, 'Elastic Stability of Non-uniform Columns,' Journal of Sound and Vibration, Vol. 148, No. 1, pp. 11-24

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Rossi, R. E., Laura, P. A. and Gutierrez, R. H., 1990, 'A Note on Transverse Vibrations of a Timoshenko Beam of Non-uniform Thickness Clampes at One End and Carrying a Concentrated Mass at the Other,' Journal of Sound and Vibration, Vol. 143, No. 3, pp. 491-502

상세보기
Yoo, H. H., 1991, 'A Linear Dynamic Modeling Using Hybrid Deformation Variables for Rotating Structures,' Journal of The Korean Society for Aeronautical and Space Sciences, Vol. 19, No. 3, pp. 32-39
Yoo, H. H., 1998, 'Vibration Analysis of Rotating Cantilever Beams,' Transactions of the Korean Society for Noise and Vibration Engineering, Vol. 8, No. 5, pp. 765-774

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