[논문]p-수렴 경계요소법에 의한 L-형 영역을 갖는 2차원 포텐셜 문제 해석

우광성; 조준형

p-수렴 경계요소법에 의한 L-형 영역을 갖는 2차원 포텐셜 문제 해석
Analysis of 2-D Potential Problem with L-shape Domain by p-Convergent Boundary Element Method 원문보기

한국전산구조공학회논문집 = Journal of the computational structural engineering institute of Korea, v.22 no.1, 2009년, pp.117 - 124

우광성 (영남대학교 건설환경공학부) , 조준형 (한국전력공사 전력연구원)

초록
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2차원 포텐셜 문제를 해석하기 위해 고차의 르장드르 형상함수에 기초를 둔 p-수렴 경계요소법이 제안되었다. p-수렴 경계요소법은 종래의 경계요소법에서 사용되는 형상함수와 성질이 다른 르장드르 다항식을 형상함수로 사용한다. p-수렴 유한요소법과 마찬가지로 고차의 형상함수에 따른 절점의 위치가 경계상에서 정해지지 않는다. 따라서 형상함수가 증가함에 따라 선형방정식을 구성하기 위한 수단으로 선점법을 이용하였다. p-수렴 경계요소법에서 선점법은 비대칭 계층적 선점법과 대칭 비계층적 선점법을 선택하여 수치해석을 수행하였다. 선택점들은 형상함수가 증가함에 따라 증가하는 성질을 나타내며 계층적 또는 대칭적으로 선택될 수 있다. p-수렴 경계요소법에서 나타나는 특이 적분항을 계산하기 위해 special numeric quadrature technique와 semi-analytical integration technique를 사용하였다. 사각모서리부에서 특이성을 가지는 L-형 영역문제를 해석한 결과 적은 수의 자유도에서 기존문헌의 결과와 차이가 거의 없는 정도인 $10^{-2}%$단위 이하의 정확도를 보여주었다. 또한 같은 조건에서는 대칭형 선점의 위치를 이용해 계산한 값이 가장 높은 정확도를 보여주었다.

Abstract ▼ AI-Helper

The p-convergent boundary element method has been proposed to analyze two-dimensional potential problem on the basis of high order Legendre shape functions that have different property comparing with the shape functions in conventional boundary element method. The location of nodes corresponding to high order shape function are not defined along the boundary, called by nodeless node, similar to the p-convergent finite element method. As the order of shape function increases, the collocation point method is used to solve linear simultaneous equations. The collocation patterns of p-convergent boundary element method consist of non-symmetric hierarchial or symmetric non-hierarchical. As the order of shape function increases, the number of collocation point increases. The singular integral that appears in p-convergent boundary element has been calculated by special numeric quadrature technique and semi-analytical integration technique. The L-shape domain problem including singularity in the vicinity of reentrant comer is analyzed and the numerical results show that the relative error is smaller than $10^{-2}%$ range as compared with other results in literatures. In case of same condition, the symmetric p-collocation point pattern shows high accuracy of solution.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

p-version 경계 요소법은 연구에 있어서 중요성을 지니고 있는데, 왜냐하면 ^-version 경 계요소법은 p-version 경 계요소법의 부분집합이 라 할 수 있으며 서로 보완적 성격을 가지고 있기 때문이다. 본 논문에서는 p-version 경계요소법을 구현할 때 사용되는 계층형 고차 형상 함수의 특성, 계층형 고차 형상함수의 사용을 위한 선택점 (collocation point) 의 선정, 핵함수(kernel function) 와 계증형 고차형상함수(hierarchial high order shape function) 와 경계적분식에 나타는 자유항에 대한 적분에 대해서 살펴보면서 기존 연구와 차별화 하고자 한다. 아울러 이러한 방법들을 포텐셜문제에 적용하여 p-version 경계요소법의 적용성을 평가해보고자 한다.
본 논문에서는 p-version 경계요소법을 구현할 때 사용되는 계층형 고차 형상 함수의 특성, 계층형 고차 형상함수의 사용을 위한 선택점 (collocation point) 의 선정, 핵함수(kernel function) 와 계증형 고차형상함수(hierarchial high order shape function) 와 경계적분식에 나타는 자유항에 대한 적분에 대해서 살펴보면서 기존 연구와 차별화 하고자 한다. 아울러 이러한 방법들을 포텐셜문제에 적용하여 p-version 경계요소법의 적용성을 평가해보고자 한다.
그림 1에는 대칭 비계층 형태의 p-collocation point위치를 나타내고 있다. 이 방법의 착안점은 h-version 경계 요소법에서 선택점 위치가 요소를 균등분할한 위치에 존재할 때 가장 좋은 결과를 도줄한 사실에 기인한다. p-version 경계요소법에 대해서도 위와 같은 사실은 여전히 성립한다.

가설 설정

해석예제는 그림 3과 같이 L-형 문제를 선택했다. 등방성 재료로 가정했으며 영역은 Laplace 방정식에 의해 지배를 받는다. 이 문제는 기하학적 특이 (singularity)가 존재하는 문제로 p-version 경계요소법의 정확도를 명시할 수 있을 것으로 생각된다.
그러한 이유로 경계요소법을 이용해 최고의 결과를 얻기 위해서 추가적인 p-collocation point의 위치는 중요한 문제가 된다. 본 논문에서는 2가지 형태의 선택점 위치가 논의될 것이다. 첫 번째로 대칭 비계층(symmetric non나lierarchial) 형태를 들 수 있다.

제안 방법

해석을 위해 다음의 3가지 형태로 요소를 분할하였다. 각각의 모델은 Symmetric Non-Hierarchial p-collocation point 형태와 Non-symmetric Hierarchial p-collocation point 형태에 대해서 계산하였다. 6-요소, 8요소, 12-요소 모델에 대한 해석값은 아래와 같이 나타났다.
위의 내용을 통해 p-version 경계요소법의 구성방식과 해석 결과를 알아보았다. 이러한 방식은 계층적 형상함수를 사용하기 때문에 기존의 경계요소법에서 고차의 형상함수를 사용할 때 방법과 약간의 차이를 보인다.
뒤를 이어 Alarcon(1986)은 선점법 (point collocation method)-e 이용한 p■수렴 계층적(hierarchial) 경계요소법을 2차원 포텐셜 문제에 적용하여 연구를 진행하였다. 이 연구는 처음으로 경계 요소법의 적응적 해석을 시도하였다. 그러나 이 연구는 초기 연구적 성격을 띠고 있었으며, aversion 형상함수의 고차화에 따른 수치해석의 효과에 대한 내용은 포함되지 않았다.

이론/모형

이 방식은 강특이적분 (strongly singular integral)를 평가할 때 사용된다, 본 논문에서는 p=l의 collocation point에 대한 적분이 먼저 평가되고, p>l의 collocation point에 대한 적분이 뒤이어 평가된다. p스1에 대한 약특이적분 및 강특이적분은 Semi-Analytical Integration Techniques을 사용했다. 즉 특이적분항을 제외한 항에는 가우스 적분을 나머지 특이적분항은 해석적으로 적분했다.
본 연구에서는 Legendre 다항식을 p-version 경계요소 법의 형상함수로 사용하였다. 선점법 (collocation method) 은 경계요소 방정식을 근사하는 선형방정식을 구성하는 수단이 된다.
이 방법은 유한요소법의 정확도를 증가시키기 위해 요소의 크기를 고정한 채 형상함수의 차수를 증가시키는 방법을 택한다. 특히 사용되는 형상함수는 h-version에서 사용되는 형상함수와는 다른 직교성을 갖는 르장드르 다항식 또는 적분형 르장드르 다항식을 사용한다. 이렇게 함으로써 계산되는 강성도 행렬의 조건수는 호조건화 되며, 이는 수치 오차를 줄이는 효과를 발휘한다.

성능/효과

이를 피하기 위해서는 필요 이상의 고차형상함수 사용을 줄이는 방법을 택해야 할 것으로 생각된다. 또한 홀수차수의 형상함수를 사용했을 때 대칭 비계 중형 collocation point pattern에 기반을 두어 계산된 결과값의 수렴정도가 휠 씬 더 높은 것으로 나타났다. 이는 선택점이 대칭 형태를 이루고 있는 것에 기인한 것으로 생각된다.

후속연구

본 연구는 p-version 경계요소법의 가장 기초적인 부분으로 생각할 수 있으며 앞으로 연구가 이루어져야할 분야는 탄성학의 여러 문제와 파괴역학 등이 있을 수 있다. 아울러 경계요소법 특유의 장점을 발휘할 수 있는 반무한 해석영역과 유한해석영역의 결합형태를 해석하는 연구 즉 이러한 형태의 해석은 p~version 경계요소법과 p-version 유한요소법의 연계에 대한 연구라 할 수 있다.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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