[논문]적분형 르장드르 형상함수를 이용한 단일 수준 적응적 hp-체눈 세분화

조준형; 유효진; 우광성

초록
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적응적 hp-세분화 기법과 그 기법의 효과적인 구성방법을 포함한 새로운 적응적 유한요소 알고리즘의 기초이론 및 적용이 이 연구를 통해 제시되었다. 적응적 hp-세분화 기초의 유한요소기법은 적분형 르장드르 형상함수와 요소별로 불균등한차수의 분배 및 비정형적인 절점연결과 관련된 연속조건을 만족시킬 수 있는 제약조건을 필요로 한다. 따라서 요소간의 접합부분에서 적응적 hp-유한요소망의 연속성이 중요한 문제로 대두된다. 이러한 문제를 요소경계에 연속성 제약조건을 절점연결 사상행렬을 적용하여 해결하였다. 또한, 적분형 르장드르 형상함수의 계층성질을 이용하여 제시된 알고리즘의 효율적 정식화 방안을 제시하였다. 간단한 캔틸레버문제가 h-세분화, p-세분화 그리고 hp-세분화 방법에 의해 계산되었다. hp-세분화의 결과는 다른 방식의 세분화에 비해 보다 빠른 수렴성을 보여 주는 것이 확인되었다. 그러므로 제시된 hp-세분화 알고리즘은 실제문제에 효율적으로 적용될 수 있을 것으로 생각된다.

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The basic theory and application of new adaptive finite element algorithm have been proposed in this study including the adaptive hp-refinement strategy, and the effective method for constructing hp-approximation. The hp-adaptive finite element concept needs the integrals of Legendre shape function,...

The basic theory and application of new adaptive finite element algorithm have been proposed in this study including the adaptive hp-refinement strategy, and the effective method for constructing hp-approximation. The hp-adaptive finite element concept needs the integrals of Legendre shape function, nonuniform p-distribution, and suitable constraint of continuity in conjunction with irregular node connection. The continuity of hp-adaptive mesh is an important problem at the common boundary of element interface. To solve this problem, the constraint of continuity has been enforced at the common boundary using the connectivity mapping matrix. The effective method for constructing of the proposed algorithm has been developed by using hierarchical nature of the integrals of Legendre shape function. To verify the proposed algorithm, the problem of simple cantilever beam has been solved by the conventional h-refinement and p-refinement as well as the proposed hp-refinement. The result obtained by hp-refinement approach shows more rapid convergence rate than those by h-refinement and p-refinement schemes. It it noted that the proposed algorithm may be implemented efficiently in practice.

주제어

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문제 정의

이 p-체눈 세분화는 오차평가를 통해 응력집중부위에 고차의 형상함수를 부여하고 그 외 구역에는 저차의 형상함수를 부여함으로 계산의 효율을 극대화시키며 동시에 수렴성 또한 높이는 장점을 얻을 수 있었다. 본 논문에서는 더 일반적인 요소의 구성 상태를 소개하고자 한다. 이런 일반적인 요소의 구성상태란 형상함수의 차수를 요소별로 자유롭게 사용하고, 요소의 경계와 경계가 1대 1로 접하는 것이 아니라, 1대 2이상의 접합이 가능한 경우를 의미한다.
적분형 르장드르 함수의 경우도 이러한 성질을 그대로 가지고 있다. 본 연구에서는 이러한 점들을 논외로 하고 비정규적 요소분할에서 해의 연속성을 유지시키는 방법을 논하고자 한다.

제안 방법

적분형 르장드르 형상함수를 사용할 경우 비정규적으로 요소분할 된 변에서 해의 연속성을 맞추기 위해 요소의 변에 존재하는 형상함수와 그에 대해 제약조건을 부과하여야 한다. 본 논문에 사용된 형상함수는 르장드르 함수의 적분형태를 나타내고 있고, 식 (1)～(3)과 같으며 2차원 문제에 적용하기위해 텐서곱(tensor product) 혹은 다이어드곱(dyad product)의 형태로 구성된다. 식 (4)는 그림 7에서 보는 바와 같이 요소 I에서, 그리고 식 (5)는 요소 II에서의 변에 존재하는 변위장을 의미한다.
또한 p-체눈 세분화에 사용되는 요소가 가진 장점을 살릴 수 있고, 단점은 배제할 수 있으므로 수렴성 또한 급격히 증가시킬 수 있다. 아울러 본 논문에서 적분형 르장드르 형상함수를 사용하고 있고 요소의 경계에서 해의 연속성을 보장받기 위해 적절한 제약조건을 필요로 한다.

대상 데이터

그림 26～28까지는 Zienkiewicz 등(1987; 1992)에 의해 해석되어진 Cantilever의 오차량이다. 사용되어진 요소는 선형요소(bilinear)이다. 그림 22～25까지 그림을 그림 26～28과 비교해보면 비슷한 자유도 소모에서 오차량이 훨씬 더 적게 계산되는 것을 볼 수 있다.

데이터처리

그림 21의 캔틸레버보 문제를 위에서 언급한 방법을 통한 해석을 수행해 보았다. p-체눈 세분화를 수행한 후 hp-체눈 세분화법을 수행하였고, 두 가지 해석방법을 해의 수렴 기울기를 통해 비교하였다. 재료상수는 각 E=2,000,000, ν=0.

성능/효과

알고리즘의 최적화는 성공적으로 수행된다면 체감할 수 있을 정도의 시공간적 절약을 도모할 수 있다. 본 논문에서 제안한 방법은 요소의 절점이 증가하면 증가할수록 줄어드는 자유도의 수도 많아지므로 더욱 더 높은 계산 효율을 나타내게 된다. 근래에 컴퓨터의 발달로 인해 상상을 초월하는 수억 단위 자유도 수를 사용해 해석을 수행하는 경우를 볼 수 있는데, 결국 이러한 수행들은 적응적 해석을 동반하지 않는다면 그만큼의 자원낭비를 부른다.
따라서 해석영역에서 각 요소별로 다른 차수의 형상함수를 사용하는 적응적 p-체눈 세분화가 제안되었다(Basu 등, 1978; Dunuvant 등, 1983; Bertoti 등, 1998; 우광성 등, 2006; 2007). 이 p-체눈 세분화는 오차평가를 통해 응력집중부위에 고차의 형상함수를 부여하고 그 외 구역에는 저차의 형상함수를 부여함으로 계산의 효율을 극대화시키며 동시에 수렴성 또한 높이는 장점을 얻을 수 있었다. 본 논문에서는 더 일반적인 요소의 구성 상태를 소개하고자 한다.
그림 32에서 볼 수 있듯이 hp-체눈 세분화는 자유도의 증가에 비하여 오차가 줄어드는 경향이 더욱 더 급하게 나타났고, 적은 자유도에서 비슷한 정도의 수렴도를 달성한 결과를 알 수 있다. 이 결과는 위에 그림으로 나타낸 h-체눈 세분화의 결과와 비교해도, 비록 오차의 측정자가 동일하지 않아 절대적 비교는 어려울지라도, 자유도 소모측면에서 상당히 경제적인 것을 알 수 있다. 아울러 추세선으로 나타낸 직선의 경우 수렴기울기(convergence rate)를 나타내는데 p-체눈 세분화의 결과보다 약 2.

후속연구

따라서 또 다른 유한요소법의 한 종류로 인식되어져야 할 것이다. 또한 앞으로 기존 유한요소법이 적용되어졌던 모든 분야에 적용될 수 있을 것으로 생각된다.
차후에는 이미 p-체눈 세분화에 대해 연구가 진행되어 있는 절점의 구성정보를 hp-체눈 세분화에 알맞게 변화시켜 해석결과에 따른 자동적이며 지속적으로 절점 및 요소정보의 생성을 구현하는 것이 연구의 중요한 부분이 될 것이다. 또한, hp-체눈 세분화의 요소체결상태에 대해서도 오차를 안정적으로 평가할 수 있는 기법에 대한 연구가 수반되어져 해석 심화과정이 한꺼번에 처리될 수 있는 방안이 연구되어야 할 것으로 생각된다.
이런 일반적인 요소의 구성상태란 형상함수의 차수를 요소별로 자유롭게 사용하고, 요소의 경계와 경계가 1대 1로 접하는 것이 아니라, 1대 2이상의 접합이 가능한 경우를 의미한다. 본 논문의 내용은 다음에 이루어질 hp-유한요소해석 및 그러한 해석방법의 오차평가 그리고 평가된 오차를 이용하여 요소분할 및 부등차수사용을 가능하게 하는 통합적 hp-적응적 유한요소법의 기초될 것으로 생각된다.
특히, 본 연구는 탄성파괴역학과 탄소성파괴역학 등 극단적인 응력분포가 나타나는 경우와 자유도의 소모가 많은 동적해석 문제 등에 매우 유효할 것으로 생각된다. 앞선 예제에서 hp-체눈 세분화의 수렴 기울기가 가장 급하게 나타나는 것을 볼 수 있는데, 이러한 기울기는 오차평가를 수반하여 요소를 분할하고 형상함수의 차수를 높여서 해석을 심화시켜도 지속적으로 유지될 수 있을 것이다.
차후에는 이미 p-체눈 세분화에 대해 연구가 진행되어 있는 절점의 구성정보를 hp-체눈 세분화에 알맞게 변화시켜 해석결과에 따른 자동적이며 지속적으로 절점 및 요소정보의 생성을 구현하는 것이 연구의 중요한 부분이 될 것이다. 또한, hp-체눈 세분화의 요소체결상태에 대해서도 오차를 안정적으로 평가할 수 있는 기법에 대한 연구가 수반되어져 해석 심화과정이 한꺼번에 처리될 수 있는 방안이 연구되어야 할 것으로 생각된다.
요소의 구성방식이 정규적이지 않기 때문에 생소하게 보일지는 모르나, 응력특이 문제를 해석해야 할 경우 수렴속도를 지속적으로 유지할 수 있다는 사실은 다른 방법이 갖지 못한 장점이라 할 수 있다. 특히, 본 연구는 탄성파괴역학과 탄소성파괴역학 등 극단적인 응력분포가 나타나는 경우와 자유도의 소모가 많은 동적해석 문제 등에 매우 유효할 것으로 생각된다. 앞선 예제에서 hp-체눈 세분화의 수렴 기울기가 가장 급하게 나타나는 것을 볼 수 있는데, 이러한 기울기는 오차평가를 수반하여 요소를 분할하고 형상함수의 차수를 높여서 해석을 심화시켜도 지속적으로 유지될 수 있을 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	일반적인 요소의 구성상태는 무엇을 의미하나?	본 논문에서는 더 일반적인 요소의 구성 상태를 소개하고자 한다. 이런 일반적인 요소의 구성상태란 형상함수의 차수를 요소별로 자유롭게 사용하고, 요소의 경계와 경계가 1대 1로 접하는 것이 아니라, 1대 2이상의 접합이 가능한 경우를 의미한다. 본 논문의 내용은 다음에 이루어질 hp-유한요소해석 및 그러한 해석방법의 오차평가 그리고 평가된 오차를 이용하여 요소분할 및 부등차수사용을 가능하게 하는 통합적 hp-적응적 유한요소법의 기초될 것으로 생각된다.
	해석영역에서 각 요소별로 다른 차수의 형상함수를 사용하는 적응적 p-체눈 세분화는 어떤 장점을 얻을 수 있나?	따라서 해석영역에서 각 요소별로 다른 차수의 형상함수를 사용하는 적응적 p-체눈 세분화가 제안되었다(Basu 등, 1978; Dunuvant 등, 1983; Bertoti 등, 1998; 우광성 등, 2006; 2007). 이 p-체눈 세분화는 오차평가를 통해 응력집중부위에 고차의 형상함수를 부여하고 그 외 구역에는 저차의 형상함수를 부여함으로 계산의 효율을 극대화시키며 동시에 수렴성 또한 높이는 장점을 얻을 수 있었다. 본 논문에서는 더 일반적인 요소의 구성 상태를 소개하고자 한다.
	르장드르 계통의 형상함수를 사용할 때 어떤 이점이 있는가?	르장드르 계통의 형상함수를 사용할 때에 몇 가지 이점이 있는데, 계층적(hierarchical) 속성으로 인해 해석영역이 비교적 단순할 경우 이산화(discretization)가 간단하며 자유도 증가를 통한 심화해석의 용이, 급격한 응력의 증가를 추가적인 요소분할 없이 잘 나타낼 수 있는 성질 등이 이에 해당한다. 그러나 계층적 형상함수의 홀수(odd)차수가 보여주는 비대칭 속성(1차원 형상함수의 경우 y축에 대한 비대칭)으로 인해 요소접합부(2차원에서는 변, 3차원에서는 모서리와 면)에서 해의 연속성을 고려해야하는 등 사용하기 까다로운 점들이 발생될 수 있다.

참고문헌 (16)

우광성, 조준형, 박미영 (2006) 2차원 균열판의 p-적응적 유한요소해석을 위한 정규 크리깅 보간법의 적용, 한국전산구조공학회 논문집, 19(4), pp.429-440.

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우광성, 조준형, 이승준 (2007) 휨을 받는 L-형 평판의 적응적 세분화를 위한 선택적 p-분배, 한국전산구조공학회 논문집, 20(5), pp.533-541.

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Dunavant, D.A., Szabo, B.A. (1983), A Posteriori Error Indicators for the p-Version of The Finite Element Method, Numer. Meth. Eng., 19, pp.1851-1870.

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Ainsworth, M., Senior, B. (1997) Aspects of an Adaptive hp-Finite Element Method: Adaptive Strategy, Conforming Approximation and Efficient Solvers, Comput. Meth.. Appl. Mech. Engrg., pp.65 -87.
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Demkowicz, L., Oden, J.T, Rachowicz, W., Hardy, O. (1989) Toward a Universal hp- Adaptive Finite Element Strategy Part I : Constrainted Approximation and Data structure, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 77, pp.79-112.

상세보기
Demkowicz, L., Oden, J.T, Rachowicz, W., Hardy, O. (1989) Toward a Universal hp-Adaptive Finite Element Strategy Part II : A Posteriori Error Estimation, Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 77, pp.113-180.

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Zienkiewicz, O.C., Zhu, J.Z. (1987) A Simple Error Estimator and Adaptive procedure for Practical Engineering Analysis, Int. J. Numer. Meth. Engrg., 24, pp.337-357.

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Zienkiewicz, O.C., Zhu, J.Z. (1992) The Superconvergent Patch Recovery and a Posteriori Error Estimate Part II : Error Estimates and Adaptivity, Int. J. Numer. Meth. Engrg., 33, pp.1365-1382.

상세보기
Mazen Tabbara, Ted Blacker, Ted Belytschko (1994) Finite Element Derivative Recovery by Moving Least Square Interpolants Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 117, pp.211-223.

상세보기
Ted Blacker, Ted Belytschko (1994) Superconvergent Patch Recovery with Equilibrium and Conjoint Interpolant Enhancements Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 37, pp.517-536.

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