[논문]가우스 괄호법을 이용한 줌 렌즈의 조출량에 대한 수치해석 계산법

조재흥; 이도경; 이상은; 류재명; 이해진; 강건모

doi:10.3807/hkh.2009.20.3.166

가우스 괄호법을 이용한 줌 렌즈의 조출량에 대한 수치해석 계산법
Numerical Calculation for Autofocus of Zoom Lenses by Using Gaussian Brackets 원문보기

한국광학회지 = Korean journal of optics and photonics, v.20 no.3, 2009년, pp.166 - 174

조재흥 (한남대학교 이과대학 광.전자물리학과) , 이도경 (한남대학교 이과대학 광.전자물리학과) , 이상은 (한남대학교 이과대학 광.전자물리학과) , 류재명 (삼성 디지털이미징(주) 개발팀 렌즈개발그룹) , 이해진 (삼성 디지털이미징(주) 개발팀 렌즈개발그룹) , 강건모 (삼성 디지털이미징(주) 개발팀 렌즈개발그룹)

초록
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유한 물점의 줌 렌즈에서 물체거리가 변할 때에 전체 줌 렌즈의 각 군을 모두 움직이지 않고 특정한 한 개의 렌즈군(조출군)을 이동시켜서 고정된 상면에 결상시킬 수 있다. 이 조출군의 이동량(조출량)을 가우스 괄호법과 근축광선 추적식의 행렬표기법을 이용하여 이론적으로 유도하고, 수치해석적으로 이 조출량을 구하였다. 이 방법은 물체의 거리에 관계없이 모든 종류의 유한물점 줌 렌즈의 조출량에 대한 초기설계에 대해서 유연하면서 통합적으로 적용할 수 있다. 이를 증명하기 위하여 줌 렌즈에서 가장 복잡한 $M_{5n}$ 형태의 5군 줌 렌즈에 적용하여 조출량을 빠르게 신출할 수 있음을 보였다.

Abstract ▼ AI-Helper

When the object distance of a zoom lens with finite object distances is varied, we can fix the image at a fixed image plane by moving only one zoom lens group (autofocus group) without moving all zoom lens groups for the autofocus. We theoretically formulated and numerically calculated the moving distances of the autofocus group by using Gaussian brackets and a paraxial ray tracing method. The solutions of this method can be consistently and flexibly used in the initial design for the moving distance of autofocus group within these zoom loci in all types of zoom lens. Finally, in order to verify the usefulness of this method, we show that the moving distance of an autofocus group can be rapidly and diversely obtained in one example of $M_{5n}$ zoom lens type.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

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문제 정의

본 논문에서는 가우스 괄호법으로 표현한 근축광선 추적식으로부터 줌 렌즈의 유한 물점의 경우에 있어서 물체 거리가 변화할 때 줌 렌즈계의 임의의 한 군(조출군이라고 함)을 조정(조정시 움직인 양을 조출량이라고 함)하여 초점이 상점이 맺히는 자동초점(auto focus)이 되게 하고자 한다. 그리고 이 N군 줌렌즈의 일반화된 줌 궤적식을 프로그램화하여 여러가지 형태의 줌 렌즈의 조출량을 수치해석적으로 쉽게 구해볼 수 있도록 하고자 한다. 이 방법은 근축광선 추적식을 가우스 괄호법에 적용시켰기 때문에 다양한 줌 형태와 조출군에 따른 구속조건의 공식을 매우 간편하고 알기 쉽게 단순화시켜줄 것이다.
본 논문에서는 가우스 괄호법으로 표현한 근축광선 추적식으로부터 줌 렌즈의 유한 물점의 경우에 있어서 물체 거리가 변화할 때 줌 렌즈계의 임의의 한 군(조출군이라고 함)을 조정(조정시 움직인 양을 조출량이라고 함)하여 초점이 상점이 맺히는 자동초점(auto focus)이 되게 하고자 한다. 그리고 이 N군 줌렌즈의 일반화된 줌 궤적식을 프로그램화하여 여러가지 형태의 줌 렌즈의 조출량을 수치해석적으로 쉽게 구해볼 수 있도록 하고자 한다.
본 논문에서는 가우스 괄호법을 이용하여 이미 구한 무한 물점 뿐만 아니라 무한물점을 포함한 유한물점에서의 일반화된 근축광선 줌 궤적식을 구하였다. 이때 1군에 의한 상거리를 물체거리로 보고 계산하였으며 1군에 의한 초점거리와 상거리가 같을 경우는 상면이 고정되지만 초점거리와 상거리가 다를 경우에는 상면이 고정되지 않아 상거리가 변하게 된다.
그러나 이것은 초기 설계에 이용이 가능한 궤적으로 공차를 고려한 줌 궤적 분석이나 마지막 전체 수차를 고려한 설계는 하지 않았다. 본 본문은 좋은 줌 렌즈를 설계하는 것이 목적이 아니라 무한물점을 포함한 모든 유한물점에 대한 모든 줌 렌즈 형태에 대해서 일관된 줌 궤적 공식, 물체거리 변화에 따른 조출량 공식, 그리고 이를 이용한 프로그램을 제시하고 이 방법의 유효성을 검증하는 것이다. 비록 본 논문에서는 5군의 한 가지형태만을 시도하였지만 모든 형태와 모든 보간법을 쉽게 적용할 수 있음을 확인하였다.

제안 방법

또한 물체의 거리에 관계없이 모든 종류의 유한물점 줌 렌즈의 조출량에 대한 초기설계에 대해서 유연하면서 통합적으로 적용할 수 있다. 그리고 이 방법의 효용성과 장점을 보여주기 위하여 줌 렌즈에서는 가장 복잡한 M_5n형태의 5군 줌 렌즈에 이 방법을 적용하고자 한다.
본 논문에서는 아직 현재 이용하는 줌 렌즈 종류 중에서 가장 복잡한 M_5n 형태의 5군 줌 렌즈에 대한 줌 궤적만을 해석해 놓았으나 이 계산방법을 도입하면 모든 N군까지의 궤적 해석이 가능하다. 그러나 이것은 초기 설계에 이용이 가능한 궤적으로 공차를 고려한 줌 궤적 분석이나 마지막 전체 수차를 고려한 설계는 하지 않았다.
이것을 보정하기위하여 임의의 한 군을 이동하여 상면이 고정되는 일반화된 식을 만들어 계산하였다. 이 계산방법을 프로그램화하여 줌 궤적을 빠르게 구하는 것이 가능해지도록 하였으며, 작성한 프로그램을 사용하여 기존에 특허로 발표된 5군 줌 렌즈 자료들에 대한 줌 궤적과 물체거리 변화에 따른 조출량을 구하였다.
이때 1군에 의한 상거리를 물체거리로 보고 계산하였으며 1군에 의한 초점거리와 상거리가 같을 경우는 상면이 고정되지만 초점거리와 상거리가 다를 경우에는 상면이 고정되지 않아 상거리가 변하게 된다. 이것을 보정하기위하여 임의의 한 군을 이동하여 상면이 고정되는 일반화된 식을 만들어 계산하였다. 이 계산방법을 프로그램화하여 줌 궤적을 빠르게 구하는 것이 가능해지도록 하였으며, 작성한 프로그램을 사용하여 기존에 특허로 발표된 5군 줌 렌즈 자료들에 대한 줌 궤적과 물체거리 변화에 따른 조출량을 구하였다.
본 논문에서는 가우스 괄호법을 이용하여 이미 구한 무한 물점 뿐만 아니라 무한물점을 포함한 유한물점에서의 일반화된 근축광선 줌 궤적식을 구하였다. 이때 1군에 의한 상거리를 물체거리로 보고 계산하였으며 1군에 의한 초점거리와 상거리가 같을 경우는 상면이 고정되지만 초점거리와 상거리가 다를 경우에는 상면이 고정되지 않아 상거리가 변하게 된다. 이것을 보정하기위하여 임의의 한 군을 이동하여 상면이 고정되는 일반화된 식을 만들어 계산하였다.
이전의 방식은 연립방정식을 풀어 해석적인 해를 구하였으나 계산이 매우 복잡하고 시간이 많이 걸리며 서로 다른 줌 렌즈마다의 프로그램을 달리 해야 하는 문제가 있었다. 이러한 문제점들을 해결하기 위해서 본 연구실에서는 반복적이고 체계적인 광선추적에 매우 편리한 가우스 괄호법을 이용하여 무한물점에 대한 N군 줌렌즈들에 대한 근축광선 줌 궤적을 수치해석적으로 구하였다.
이런 번거로움을 줄이고자 프로그램시 알고리즘이 간단하고 추적이 쉽도록 하기 위하여 근축광선 추적을 가우스 괄호법으로 표현할 수 있다. 이미 가우스 괄호법을 이용하여 앞서 설명한 무한물점의 경우^[7]와 유한물점의 모든 경우^[8]에 사용 할 수 있는 근축광선에서 N군 줌 렌즈의 일반화된 줌 렌즈 궤적식을 표현하였다.
이제까지는 단일 렌즈 단위로 광선 추적을 했는데 이 절에서는 줌 궤적을 계산하기 위해서 렌즈군 단위로 광선 추적을 한다.

이론/모형

실제로 작성한 프로그램에서는 이 오차값이 10^-8이하가 될 때까지 최적화가 진행시킨다. 그리고 식(8)에서 역행렬의 행렬식(determinant) 값이 0이 되는 경우를 피하기 위하여 포커-슈트라센법^[10,11]을 이용하여 역행렬을 구하였는데, 이 경우 역행렬을 구할 때 단위 행렬로 나누어 계산하기 때문에 계산이 간단해진다. 최종적으로 구해진 줌 궤적 값들에 초기값 z₁₀, ⋯, z_N0, K₀을 더해주면 각 군들이 움직인 궤적을 구할 수 있다.
결국 최종적으로 구해진 줌 궤적의 해들은 이 방정식들을 만족해야만 한다. 만약 미지수가 많게 되면 연립방정식을 풀 수 없기 때문에 보간법을 사용하여 변수를 줄이는데, 본 논문에서는 간단한 선형보간법과 실제 현장에서 많이 사용하는 곡선보간법인 Spline 보간법^[9]을 선택하였다. 이러한 보간법으로 초기설계에서 알고 있는 군의 이동점을 모두 지나는 방정식을 만들고, 이 방정식으로부터 알고 있는 군의 이동점들 사이의 중간값들을 구할 수 있다.

성능/효과

본 본문은 좋은 줌 렌즈를 설계하는 것이 목적이 아니라 무한물점을 포함한 모든 유한물점에 대한 모든 줌 렌즈 형태에 대해서 일관된 줌 궤적 공식, 물체거리 변화에 따른 조출량 공식, 그리고 이를 이용한 프로그램을 제시하고 이 방법의 유효성을 검증하는 것이다. 비록 본 논문에서는 5군의 한 가지형태만을 시도하였지만 모든 형태와 모든 보간법을 쉽게 적용할 수 있음을 확인하였다.
이 렌즈의 사양들을 본 논문에서 작성한 프로그램에 입력하여서 구한 5군의 궤적은 표 1에서 보듯이 4군 줌렌즈보다 4가지 더 많은 궤적이 가능하나 일부의 형태에서는 해가 존재하지 않는다. 그림 4는 5군 줌 렌즈계의 여러 가지 줌 상태에서 축상광선과 비축광선을 추적하여 구한 결상점들을 보여주는 결과로 5군 줌 상태의 ①, ②, ③, ④, ⑤의 5개 렌즈군들의 배치를 직접적으로 보여준다.
이때 inf(#(노랑색선))는 무한물점이고, 900 mm(#(아주 옅은 파랑색 선))는 물체거리가 900 mm, 1000 mm(#(어두운 보라색 선))는 물체거리가 1000 mm, 1200 mm(#(짙은 갈색선))는 물체거리가 1200 mm, 1500 mm(#(녹색선))는 물체거리가 1500 mm인 유한 물점에 대한 것이다. 이와 같이 본 논문에서 제시한 가우스 괄호법을 이용한 줌 궤적과 조출량에 대한 알고리즘에서는 원하는 군의 줌 궤적 또는 K를 보간법에 따라 서로 다른 줌 궤적을 아주 쉽게 구할 수 있으므로 더욱 간소화된 움직임을 보이는 줌 궤적을 바로 선택할 수 있다. 물론 줌렌즈의 유형에 따른 이용도 매우 쉽고 통합적으로 할 수 있다.
이렇게 비교를 할 경우 제작에 가장 알맞은 군의 이동형태를 선택할 수 있는 장점이 있다. 즉 본 논문의 방법 및 이를 구현한 프로그램을 사용할 경우 초기 설계시 사용자가 매우 쉽고 다양하게 일반적으로 줌 궤적 설계에 접근할 수 있고, 물체거리변화에 따른 렌즈 설계를 다시 해야 하는 번거로움을 덜어 준다.
5군 줌 렌즈의 경우 표 1에서 보듯이 많은 형태가 존재하고, 줌 궤적을 구하기 위해서는 2군, 3군, 4군 줌 렌즈계보다 더 많은 방정식을 연립하여 풀어야하는 문제가 생긴다. 특히 이 중에도 M_5n 형태와 같은 경우는 모든 군이 움직이는 경우로 직접 계산하여 풀어내기 매우 어렵지만 본 논문에서 제시한 가우스 괄호법을 이용한 이론식 및 이를 구현하는 알고리즘을 사용할 경우 매우 쉽게 구할 수 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	유한물점줌 렌즈 광학계는 어떤 광학계인가?	[1] 줌 렌즈계는 일반적으로 카메라나 켐코더에 사용되는 광학계로 무한대 거리에 있는 물점에 대하여 설계를 한 후 근거리 물점에 대해서는 광학계의 일부 또는 전체를 이동하여 초점조절을 하는 경우와 현미경을 비롯하여 복사기, FAX, 현상기에 사용되는 광학계로 유한 거리에 있는 물체를 상면에 축소 및 확대 결상시키는 역할을 하는 경우로 나눌 수 있다.[2,3] 이런 유한물점줌 렌즈 광학계는 물체의 위치에 따라 초점조절이 가능하고 일정한 배율로 관측하는 광학계이다. 이때 물체면이 변할 경우 렌즈군 사이 간격이동만으로 상면을 고정시킬 수 있다.
	유한물점줌 렌즈 광학계는 어떤 역할을 하는가?	줌 렌즈는 배율 또는 유효초점거리가 연속적으로 변해도 상면이 고정되는 광학계로 정의 된다.[1] 줌 렌즈계는 일반적으로 카메라나 켐코더에 사용되는 광학계로 무한대 거리에 있는 물점에 대하여 설계를 한 후 근거리 물점에 대해서는 광학계의 일부 또는 전체를 이동하여 초점조절을 하는 경우와 현미경을 비롯하여 복사기, FAX, 현상기에 사용되는 광학계로 유한 거리에 있는 물체를 상면에 축소 및 확대 결상시키는 역할을 하는 경우로 나눌 수 있다.[2,3] 이런 유한물점줌 렌즈 광학계는 물체의 위치에 따라 초점조절이 가능하고 일정한 배율로 관측하는 광학계이다.
	줌 렌즈는 무엇으로 정의되는가?	줌 렌즈는 배율 또는 유효초점거리가 연속적으로 변해도 상면이 고정되는 광학계로 정의 된다.[1] 줌 렌즈계는 일반적으로 카메라나 켐코더에 사용되는 광학계로 무한대 거리에 있는 물점에 대하여 설계를 한 후 근거리 물점에 대해서는 광학계의 일부 또는 전체를 이동하여 초점조절을 하는 경우와 현미경을 비롯하여 복사기, FAX, 현상기에 사용되는 광학계로 유한 거리에 있는 물체를 상면에 축소 및 확대 결상시키는 역할을 하는 경우로 나눌 수 있다.

참고문헌 (16)

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이도경, 유남준, 조재흥, 류재명, 이해진, 강건모, '가우스 괄호법을 이용한 유한 물점을 갖는 줌 렌즈에 대한일반적인 수치해석적 근축광선 줌 궤적 추적,' 한국광학회지 제 20권 3호 게재예정 (2009)

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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