[논문]동적시스템의 상태변수 추정기법 (II) - 이산칼만필티의 이해와 적용 -

황익호

동적시스템의 상태변수 추정기법 (II) - 이산칼만필티의 이해와 적용 - 원문보기

황익호 (국방과학연구소 유도조종부)

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문제 정의

우선 이산칼만필터 문제를 다시 살펴보자.
많은 동적 시스템은 Gauss-Mai虫ov 모델로 모델링 할 수 있으며, 이 동적시스템의 상태변수 추정문제는 측정치에 대한상태변수의 조건부확률을 순차적 으로 갱신하여 나아가는 과정이라 할 수 있음을 설명하였다. 전보에서 기술하였듯이 이러 한 추정문제는다음과 같은 이산칼만필터 문제로 귀결되므로, 본 고에서 는 정 규분포(normal probability distribution, or Gaussian probability distribution)를 가지는 확률변수들의 성 질을 이용하여 이산칼만필터(discrete Kalman filter) 문제의 해를 구하고 그 특성을 간단히 살펴 보도록 하겠다.

제안 방법

다음 장에서는 이와 같은 성질을 이용하여 (1.1)의 Gauss- Maikov 모델을 통하여 결정되는 상태변수 벡터의 통계적 특성이 어떻게 전이되는지를 살펴보기로 하자.
본 장에서는 정규분포를 가지는 확률변수의 몇 가지 특징을 알아보고 다음 장에서 는 이를 이용하여 이산칼만필터 의 해를 구하고자 한다. 다음은 정 규확률변수 또는 정 규확률프로세스의 대표적인 성질 들이다.
지 난 호에 이 어서 본 고에서 는 기본적인 정 규확률프로세스의 성질을 이용하여 이산 칼만필터를 유도하고, 간단한 예제를 통하여 칼만필터의 추정치의 의미를 살펴보았다. 이산 칼만 필터는 Gauss-Ma±ov 프로세스로 주어지는 선형확률 시스템 상태변수의 분포를 알려주는 통계적 추정기이며, 그 추정치 는 최 소오차공분산 또는 최대 사후확률의 관점에서 최적 값을 제공한다.

성능/효과

이상의 결과를 종합하면 & = 1의 시간이 종료된 후 상태 변수의 사후확률밀도함수도 역시 정규확률분포를 가지는 것을 알 수 있으며, 이는 * = 0 에서 상태변수가 정규분포를 가지는 상태로 출발한 것과 동일한 상황임을 의미한다. 따라서 k = 2, k = 3 , .
정규분포를 가지는 이산확률프로세스인 경우는 위의 식에서 〒 와 户 가 시간에 대하여 변화하는 경우로 생각하면 된다. 이와 같은 특성은 어떤 확률프로세스가 정규분포라는 것을 알 경우, 전체 확률밀도함수의 변화를 추적 할 필요 없이 단지 그 평균과 분산만을 추적하더 라도 그 확률 프로세스의 모든 정보를 손실 없이 유지하기에 충분하다는 사실을 알려준다.
전술하였듯이 칼만필터의 상태변수 추정치와 공분산은 매 순간 실제 시스템의 상태변수가 존재할 수 있는 분포의 평균과 분산을 의미하므로, 만약 칼만필터 추정치 주변에서 2배의 표준편차 구간을 그린다면 대략 95%의 확률로 실제 상태변수가 그 구간안에 존재할 것이라 판단할 수 있다. 다시 말하면,칼만필터의 줄력을#라할때, 실제 상태변수는95%의확률로 0咖±2、何및 &堆 — 靠 의 구간에 있다고 주즉할 수 있다.
첫째, 칼만필터로 구해지는 것은 상태변수의 추정치와 오차 공분산 뿐만 아니라, 상태 변수의 확률밀도함수 전체 이다. 그 이유는 Gauss-Maikov 모델과 칼만필터를 통하여 구해지는 상태변수의 확률분포는 모두 정규분포이며, 정규분포는 그 평균과 분산만으로 전체 확률밀도함수가 표현될 수 있기 때문이 다.

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