[논문]천수흐름 해석을 위한 2차원 유한요소모형의 개발

서일원; 송창근

doi:10.12652/ksce.2010.30.2b.199

천수흐름 해석을 위한 2차원 유한요소모형의 개발
Development of 2D Finite Element Model for the Analysis of Shallow Water Flow 원문보기

大韓土木學會論文集, Journal of the Korean Society of Civil Engineers, B. 수공학, 해안 및 항만공학, 환경 및 생태공학, v.30 no.2B, 2010년, pp.199 - 209

서일원 (서울대학교 건설환경공학부) , 송창근 (서울대학교 건설환경공학부)

초록
AI-Helper

본 연구에서는 지표수 흐름 해석을 위한 2차원 유한요소모형을 개발하였다. 개발된 수치모형에서는 2차원 흐름 해석을 위한 천수방정식을 Galerkin법과 Newton-Raphson법에 의해 이산화하였으며 지형에 따라 삼각망과 사각망을 혼용하여 사용할 수 있도록 하였다. 구성된 대수방정식의 해는 유한요소법을 푸는데 매우 효율적인 프론탈 기법에 의해 구하였다. 개발된 모형을 두 개의 만곡부를 가지는 실험실 사행수로에 적용하여 만곡부에서의 횡방향 유속 및 수심 분포를 분석한 결과 만곡부에서 편수위 현상을 잘 재현함을 알 수 있었다. 또한 내측의 유속이 외측에 비해 빠르게 나타났고 유속분포는 두 만곡부의 중심을 기준으로 대칭적이었으며, 모의결과와 수리실험에 의한 실측값이 매우 잘 일치하였다. 본 모형을 완경사, 급경사, 역경사, 급격한 하상변화가 있는 수로와 위어를 포함한 수로에 적용하여 12개의 점변화류 수면곡선을 모의한 결과 수리학적으로 적합한 수면형상이 도출되었다.

Abstract ▼ AI-Helper

A finite element model for analyzing surface water flow was developed. Shallow water equation was discretized and solved by Galerkin and Newton-Raphson method. Triangular or rectangular elements can be mixed together to construct meshes. The algebraic equation was solved by frontal method which is very efficient in finite element problem. The developed model was applied to rectangular meandering channel with two bends and transverse velocities and water depth distributions were examined. High velocity was located near the inner bank at the apexes of the bends and velocity distribution was symmetrical about the centerline at the midsection of two bend and super elevation also occurred. Simulation results showed very good agreement with measured data. Another numerical simulation was carried out in mild, steep, adverse and abrupt bottom change slope and channels with weir. 12 water surface profiles of gradually varied flow were correct in terms of hydraulic interpretation.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

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문제 정의

위 식에서 수심평균을 나타내는 tilde는 편의상 생략하였다. 본 연구에서는 다음과 같이 와점성계수를 텐서형태로 변형한 운동량보존방정식을 선택하여 수평 2차원 평면 내에서 4개의 방향성을 가지는 난류점성계수를 도입하고 다양한 흐름 조건에서 복잡한 유속구조를 보다 정확히 재현할 수 있도록 하였다.
본 연구에서는 천수흐름 해석을 위한 2차원 유한요소모형을 개발하였다. 텐서형태의 와점성계수를 포함한 운동량방정식과 질량보존방정식으로 구성된 천수방정식을 수치 모형화하기 위해서 Galerkin법을 적용하였으며 Newton-Raphson법에 의해 반복적으로 해를 구하는 방법을 취했다.
본 연구의 목적은 천수흐름 해석을 위한 2차원 유한요소 모형을 개발하고, 개발된 모형에 의한 수치모의 결과를 수리 실험자료와 비교하여 모형의 적용성을 검증하는 것이다. 본 논문에서는 Navier-Stokes 방정식으로부터 텐서형 난류점성 계수를 갖는 천수방정식을 유도하고, 유도된 지배방정식에 유한요소법을 적용하여 수치모형을 구성하였다.

가설 설정

마지막은 점성계수에 관한 것으로 와점성계수(νT)가 분자 점성계수(νM)에 비해 월등히 크므로 분자점성계수를 무시한다는 가정이다.

제안 방법

비정상 상태 모의 시 시간차분의 음해정도를 Crank-Nicolson, Galerkin, 완전음해 등 사용자가 입력할 수 있어 해의 정확성과 안정성을 확보할 수 있다. RMA-2 모형은 정상상태 유속장을 먼저 구해 초기 유속장으로 하고 이를 입력자료로 하여 이후의 비정상 흐름장을 계산하는 hot start만 가능하지만 본 연구에서 개발한 모형은 hot start와 cold start의 초기조건 선택이 가능하다. 또한 상류단 경계 노드열에 유량을 단면적으로 나눈 유속을 일률적으로 배분하는 유속경계조건을 사용하지 않고 포물선 등 사용자가 지정한 유속 분포을 입력할 수 있다.
본 논문에서는 Navier-Stokes 방정식으로부터 텐서형 난류점성 계수를 갖는 천수방정식을 유도하고, 유도된 지배방정식에 유한요소법을 적용하여 수치모형을 구성하였다. 개발된 수치 모형을 두 개의 만곡부를 가지는 사행수로에 적용하고 유속 구조 모의 결과를 실측자료와 비교하여 모형을 검증하였다. 나아가서 5개의 하상경사를 가지는 점변화류에 대한 12개의 수면 형상을 모의하여 다양한 하상조건 및 경계조건에 따른 모형의 적용성을 검증하였다.
개발된 수치 모형을 두 개의 만곡부를 가지는 사행수로에 적용하고 유속 구조 모의 결과를 실측자료와 비교하여 모형을 검증하였다. 나아가서 5개의 하상경사를 가지는 점변화류에 대한 12개의 수면 형상을 모의하여 다양한 하상조건 및 경계조건에 따른 모형의 적용성을 검증하였다.
다양한 하상경사에 따른 점변화류의 수면곡선을 모의하기 위하여 표 3과 같은 수치모의 조건을 설정하였다. 수로의 폭은 10 m로 하였으며, 80개의 직사각형 요소망과 105개의 노드를 갖는 격자망을 구성하였다.
본 연구의 목적은 천수흐름 해석을 위한 2차원 유한요소 모형을 개발하고, 개발된 모형에 의한 수치모의 결과를 수리 실험자료와 비교하여 모형의 적용성을 검증하는 것이다. 본 논문에서는 Navier-Stokes 방정식으로부터 텐서형 난류점성 계수를 갖는 천수방정식을 유도하고, 유도된 지배방정식에 유한요소법을 적용하여 수치모형을 구성하였다. 개발된 수치 모형을 두 개의 만곡부를 가지는 사행수로에 적용하고 유속 구조 모의 결과를 실측자료와 비교하여 모형을 검증하였다.
본 연구에서 개발한 수치모형을 그림 4와 같은 폭이 1 m, 중심각 150°, 사행도 1.52인 두 개의 만곡부를 가지는 직사각형 단면 사행수로에 적용하여 만곡부에서의 횡방향 유속 및 수심 분포를 분석하였으며, 서일원 등(2006)이 초당 50개의 유속 측정이 가능한 micro-ADV 장치를 이용하여 실측한 8개의 수리실험 케이스 중 4개의 케이스를 선정하여 모형의 검증을 실시하였다(표 1 참조).
본 연구에서는 다음과 같은 과정을 통하여 지배방정식을 수치 모형화하였다. 주요 미지수인 유속 및 수심 변수를 u 로 대표하면 다음과 같이 근사시킬 수 있다.
수치모의에 필요한 격자망은 그림 5와 같이 518개의 격자점과 448개의 요소를 가지는 사각망으로 제작하였으며, 표 1에 제시된 바와 같이 30 l/s와 60 l/s의 유량을 상류단 경계 조건으로 입력하고 각 유량에 대하여 두 개의 수심을 하류단 경계조건으로 입력하여 총 4개의 모의 조건을 구성하였다. 수심 수렴 정도(depth convergence criteria)가 0.1 mm 이하가 될 때를 정상상태로 간주하여 수치모의를 수행하였다. 조도계수의 경우 Chow(1973)에 제시된 페인트칠 된 매끄러운 철인 경우의 거칠기 정도인 0.
수치모의에 필요한 격자망은 그림 5와 같이 518개의 격자점과 448개의 요소를 가지는 사각망으로 제작하였으며, 표 1에 제시된 바와 같이 30 l/s와 60 l/s의 유량을 상류단 경계 조건으로 입력하고 각 유량에 대하여 두 개의 수심을 하류단 경계조건으로 입력하여 총 4개의 모의 조건을 구성하였다. 수심 수렴 정도(depth convergence criteria)가 0.
이 범위의 난류동점성계수 값을 적용한 경우 모의결과는 모두 거의 일치하였으므로 본 연구에서는 10−3 m2/s의 난류동점성계수값을 적용하였다.
BCW2의 경우에는 수로의 길이가 400 m 이므로 200개의 요소와 255개의 노드를 갖는 격자망을 별도로 제작하였다. 표 3에 제시된 유량과 수심을 경계조건으로 입력하여 수심 수렴 정도(depth convergence criteria)가 0.1 mm 이하가 될 때를 정상상태로 간주하여 수치모의를 실시하였다. 이와 같은 모의조건을 가지는 경우 수심은 횡방향으로는 일정하고 종방향으로만 변하기 때문에 1차원적 흐름특성을 나타낸다.

대상 데이터

수로의 폭은 10 m로 하였으며, 80개의 직사각형 요소망과 105개의 노드를 갖는 격자망을 구성하였다. BCW2의 경우에는 수로의 길이가 400 m 이므로 200개의 요소와 255개의 노드를 갖는 격자망을 별도로 제작하였다. 표 3에 제시된 유량과 수심을 경계조건으로 입력하여 수심 수렴 정도(depth convergence criteria)가 0.
다양한 하상경사에 따른 점변화류의 수면곡선을 모의하기 위하여 표 3과 같은 수치모의 조건을 설정하였다. 수로의 폭은 10 m로 하였으며, 80개의 직사각형 요소망과 105개의 노드를 갖는 격자망을 구성하였다. BCW2의 경우에는 수로의 길이가 400 m 이므로 200개의 요소와 255개의 노드를 갖는 격자망을 별도로 제작하였다.

데이터처리

개발된 수치모형을 검증하기 위하여 폭이 1 m, 중심각 150°, 사행도 1.52인 두 개의 만곡부를 가지는 직사각형 단면 사행수로에 적용하여 만곡부에서의 횡방향 유속 및 수심 분포를 분석하고 수리실험 결과와 비교하였다.

이론/모형

본 연구에서 개발한 수치 모형에서는 Gauss 구적법을 이용하여 수치적분을 수행하였으며 지형에 따라 삼각망과 사각망을 혼용하여 사용할 수 있도록 코드를 작성하였다. 대수방정식의 해는 프론탈 기법을 이용하여 구하였다(Smith, 1982; Irons, 1970)
수치적분은 Gauss 구적법을 이용하였으며 지형에 따라 삼각망과 사각망을 혼용하여 사용할 수 있도록 하였다. 대수방정식의 해는 프론탈 기법을 적용하여 구하였다.
식 (15)의 강성행렬은 이송항에 의한 비선형항을 포함하므로 Newton-Raphson법에 의해 Jacobian행렬을 구하면 선형화된 대수방정식을 얻을 수 있다. 본 연구에서 개발한 수치 모형에서는 Gauss 구적법을 이용하여 수치적분을 수행하였으며 지형에 따라 삼각망과 사각망을 혼용하여 사용할 수 있도록 코드를 작성하였다. 대수방정식의 해는 프론탈 기법을 이용하여 구하였다(Smith, 1982; Irons, 1970)
세 번째는 바닥 전단력에 해당 하는 #항에 관한 것으로 1차원 Saint-Venant 방정식의 하상마찰경사항에 Chezy식(Sf - u2 /(C2R ))과 Manning 계수와의 관계식(#)을 적용하고 2차원으로 확장하면 다음과 같은 식으로 표현된다.
텐서형태의 와점성계수를 포함한 운동량방정식과 질량보존방정식으로 구성된 천수방정식을 수치 모형화하기 위해서 Galerkin법을 적용하였으며 Newton-Raphson법에 의해 반복적으로 해를 구하는 방법을 취했다. 수치적분은 Gauss 구적법을 이용하였으며 지형에 따라 삼각망과 사각망을 혼용하여 사용할 수 있도록 하였다. 대수방정식의 해는 프론탈 기법을 적용하여 구하였다.
유체 운동의 순간적 변동을 묘사하는 식 (1a)과 같은 Navier-Stokes 방정식의 주요 변수인 유속, 밀도 및 압력을 평균과 변동량으로 분해하고 Reynolds 평균법칙을 적용하여 시간평균을 취하면 난류의 평균적 흐름에 대한 운동방정식인식 (1b)와 같은 Reynolds 방정식을 얻을 수 있다(Daily와 Harleman, 1966).
본 연구에서는 천수흐름 해석을 위한 2차원 유한요소모형을 개발하였다. 텐서형태의 와점성계수를 포함한 운동량방정식과 질량보존방정식으로 구성된 천수방정식을 수치 모형화하기 위해서 Galerkin법을 적용하였으며 Newton-Raphson법에 의해 반복적으로 해를 구하는 방법을 취했다. 수치적분은 Gauss 구적법을 이용하였으며 지형에 따라 삼각망과 사각망을 혼용하여 사용할 수 있도록 하였다.

성능/효과

하지만 RUN1-2의 경우 유속이 느려서 내외측 유속차가 거의 발생하지 않았다. 그림 10에서 볼 수 있듯이, RUN2-1과 RUN2-2의 경우에도 만곡부 내측과 외측의 유속차가 많이 발생하고 있으며, 제안된 수치모형은 이러한 유속분포를 잘 재현하는 것으로 밝혀졌다
난류동점성계수의 값을 정하기 위해 101-10−8 m2/s 범위의 값 중 32개를 적용해 본 결과 101-10−2 m2/s의 범위 값을 적용한 경우 만곡부에서의 유속이 적합하게 계산되지 않았으며 10−7-10−8 m2/s 범위의 값을 적용한 경우에는 흐름의 분리 현상이 과도하게 발생하였다.
완경사, 급경사, 역경사, 급격한 하상변화가 있는 수로와 위어를 포함한 수로에서 12개의 점변화류 수면곡선을 모의한 결과 M1, S1 및 A1 곡선은 상류방향을 따라서 수평점 근선에 접근하였고 M3, S3 및 A2 곡선은 수심이 감소하는 경향을 잘 재현하였다. M2 곡선과 S2 곡선은 각각 정상수심과 한계수심에 근접하는 수면형상곡선을 얻었다.
여기서 b는 수로의 폭이며 y는 수로의 좌안에서 우안으로 횡방향을 따라서 정의된 좌표계이다. 이 그림에서 RUN1-1의 경우, 만곡의 내측이 외측에 비해 모두 큰 유속을 가짐을 알 수 있고, 본 연구에서 개발한 모형에 의한 계산값과 수리실험에 의한 실측값이 매우 잘 일치함을 확인할 수 있다. 또한 첫 번째 만곡부인 S4에 비해 두 번째 만곡부인 S9에서 유속차가 더 크게 발생하였다.
첫 번째 만곡부(S4)와 두 번째 만곡부(S9)에서 수치모의된 횡방향 유속분포 결과를 실측자료와 비교한 결과 두 값이 매우잘 일치하였다. 조도계수에 의한 민감도를 분석한 결과 조도계수가 커질수록 유속이 감소하여 내외측 유속차가 줄어들었으며 이에 따라 수심도 커짐을 확인할 수 있었다.
수로 전체에 걸친 유속분포는 두 만곡부의 중심을 기준으로 대칭적이었으며 만곡부에서 미약한 편수위 현상이 발생하였다. 첫 번째 만곡부(S4)와 두 번째 만곡부(S9)에서 수치모의된 횡방향 유속분포 결과를 실측자료와 비교한 결과 두 값이 매우잘 일치하였다. 조도계수에 의한 민감도를 분석한 결과 조도계수가 커질수록 유속이 감소하여 내외측 유속차가 줄어들었으며 이에 따라 수심도 커짐을 확인할 수 있었다.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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