[논문]굽힌 동전의 확률

우덕관; 오창혁

굽힌 동전의 확률
Bent coin toss probability 원문보기

Journal of the Korean Data & Information Science Society = 한국데이터정보과학회지, v.21 no.1, 2010년, pp.147 - 153

초록
AI-Helper

동전을 이용하여 확률의 개념을 가르치는 일은 오랫동안 이루어져 왔으며, 통계 교과서에는 공정한 동전과 그렇지 않은 동전에 관한 많은 문제가 제시되고 있다. 그러나, 공정하지 않은 동전을 실제로 만나본 사람은 없는 것으로 알려져 있다. 본 연구에서는 확률 학습에 사용될 공정하지 않은 동전으로 가운데가 굽혀진 동전을 제시한다. 또한, 여러 가지 각도로 굽혀진 동전의 앞면이 나올 확률을 던지기 실험을 통하여 추정한다. 굽혀진 동전은 통계학 수업에서 공정하지 않은 동전을 다루는 경우에 실습용으로 사용될 수 있을 것이다.

Abstract ▼ AI-Helper

It is generally believed that teaching probability with the help of coin tossing has a long history. In textbooks about elementary probability or statistics, problems on unfair coins as well as fair ones are frequently given. However it is known that nobody has met an unfair coin with a fixed head probability which is different from 0.5 in flesh and blood. In this study a coin bent along with the middle line of the coin is suggested as an unfair one. By flipping bent coins with various angle, the ratios of head of the coins are obtained. The bent coins might be used as experimental tools for teaching of probability concept.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.

문제 정의

Gelman과 Nolan (2002)은 Kerrich (1946)의 던지는 방법에 문제가 있음을 지적하면서, 동전의 무게의 대칭성을 바꾸는 것은 동전의 공정성에 영향을 미치지 않는다고 하였다. 따라서, 본 연구에서는 동전의 무게의 대칭성을 바꾸는 대신, 동전의 가운데를 일정한 각도로 굽혀서 동전을 공정하기 않게 만드는 방법을 제시한다. 동전은 가운데를 굽혀 그림 3.
Gelman과 Nolan (2002)이 동전을 변형한 방법은 기본적으로 동전의 형태를 유지한 채 무게 중심을 바꾸는 시도였다. 본 연구에서는 동전을 굽히는 방법으로 앞면이 나올 확률이 1/2이 아닌 동전을 만드는 방법을 소개한다. 이 경우에 굽혀진 동전이 엄밀한 의미에서 동전이라고 할 수 있는지에 대한 논의는 별개로 한다.

가설 설정

공정한 동전 던지기에 대한 논의를 할 때 세 가지로 구분해서 살펴 볼 수 있다. 첫째는, 동전 던지기에서 던지는 행위 자체가 우연성을 가지고 있는가? 또한 주어진 동전이 던지기에서 우연성을 보존해 주는 매체인가? 그리고 던져진 후의 환경이 우연성을 보존해 주는가?

제안 방법

실험 결과. 각 중심각의 동전에 대하여 400번의 던지기를 시행하였다. 시행에 따른 앞면의 개수와 비율을 표 3.
공정하지 않은 동전을 만들기 위하여 동전의 가운데 부분을 굽히는 방법을 채택하였다. 굽히는 각도에 따른 앞면이 나올 확률을 컵던지기 실험을 통하여 경험적으로 확인하였다.
공정하지 않은 동전을 만들기 위하여 동전의 가운데 부분을 굽히는 방법을 채택하였다. 굽히는 각도에 따른 앞면이 나올 확률을 컵던지기 실험을 통하여 경험적으로 확인하였다. 이러한 동전은 공정하지 않은 동전 던지기 실험에 관한 통계학 수업에서 활용될 수 있을 것이다.
학생들은 동전의 특정한 면이 나오는 것에 대한 선호도가 전혀 없는 상황 하에서 던지도록 하였다. 던지는 자세는 바닥에 책상 다리를 하고 앉아서 동전을 가슴 높이 정도로 던지도록 하였다. 여기에서 ‘던지기’를 채택한 이유는 학생들이 던지기에 대하여 특별한 훈련을 받은 적이 없으며 어느 면이 더 많이 나와야 하는지에 대한 결과 예측이 없으므로 동전을 잡고 던지는 것이 던지는 행위에서의 우연성을 훼손하지 않는다고 믿었기 때문이다.
본 실험에서는 위의 다섯 가지 동전 던지기 방법 중 ‘던지기’를 채택하며, 동전을 던질 때는 평평하고 딱딱하고 매끈한 시멘트 바닥에 던진다.
던지기는 네 명의 학생이 번갈아 가면서 동전을 던졌다. 학생들은 동전의 특정한 면이 나오는 것에 대한 선호도가 전혀 없는 상황 하에서 던지도록 하였다. 던지는 자세는 바닥에 책상 다리를 하고 앉아서 동전을 가슴 높이 정도로 던지도록 하였다.

성능/효과

Gelman과 Nolan (2002)은 동전 자체 보다는 던지는 방법에 의해 앞면이 나올 확률이 결정된다는 것을 실험을 통해 발견하였다. 즉, 자신들의 통계학 강의 시간에 학생들로 하여금 동전의 한쪽 면 또는 양쪽 면에 껌을 붙이게 한 후 이를 던져 앞면이 나올 확률을 조사하게 한 결과 껌을 붙이는 것은 동전의 공정성을 바꾸지 않음을 발견하였다. Grunkemeier 외 (2009)는 이러한 사실을 인용하여 던지는 방법이 적당하다면, 물리적으로 편향된 동전을 만드는 것은 가능하지 않다 라고 주장하였다.

후속연구

즉, 앞면이 나올 확률이 1/2이 아닌 동전을 학생들이 접할 수 있게 될 것이다. 굽히는 각도에 따라 앞면이 나올 확률이 달라지는 물리적 원리는 추가로 연구되어야 할 과제라고 생각한다. 또한 굽혀진 동전을 튕기기, 던지기, 회전던지기, 바닥회전시키기의 방법으로 던져서 경험적 확률을 구해보는 실험도 의미가 있을 것이며 추후 연구 과제로 남겨둔다.
굽히는 각도에 따라 앞면이 나올 확률이 달라지는 물리적 원리는 추가로 연구되어야 할 과제라고 생각한다. 또한 굽혀진 동전을 튕기기, 던지기, 회전던지기, 바닥회전시키기의 방법으로 던져서 경험적 확률을 구해보는 실험도 의미가 있을 것이며 추후 연구 과제로 남겨둔다.
굽히는 각도에 따른 앞면이 나올 확률을 컵던지기 실험을 통하여 경험적으로 확인하였다. 이러한 동전은 공정하지 않은 동전 던지기 실험에 관한 통계학 수업에서 활용될 수 있을 것이다. 즉, 앞면이 나올 확률이 1/2이 아닌 동전을 학생들이 접할 수 있게 될 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	공정한 동전 던지기에 대한 논의는 어떻게 구분할 수 있는가?	공정한 동전 던지기에 대한 논의를 할 때 세 가지로 구분해서 살펴 볼 수 있다. 첫째는, 동전 던지기에서 던지는 행위 자체가 우연성을 가지고 있는가? 또한 주어진 동전이 던지기에서 우연성을 보존해 주는 매체인가? 그리고 던져진 후의 환경이 우연성을 보존해 주는가?
	본 논문에서 공정하지 않은 동전을 만들기 위하여 어떤 방법을 채택하였는가?	공정하지 않은 동전을 만들기 위하여 동전의 가운데 부분을 굽히는 방법을 채택하였다. 굽히는 각도에 따른 앞면이 나올 확률을 컵던지기 실험을 통하여 경험적으로 확인하였다.
	확률 실험에 사용되는 동전은 어떤 물체라고 할 수 있는가?	원판이라고 하는 것은 엄밀히 말하면 원기둥이며, 동전에 껌을 붙이는 것은 원기둥의 높이를 변형시키는 것이 된다. 따라서 확률 실험에 사용되는 동전은 원기둥 물체라고 할 수 있다. Mosteller (1987)는 동전을 원기둥으로 정의하고, 모서리가 나올 확률이 1/3이 되기 위해서는 동전이 얼마나 두꺼워야 하는지에 관한 문제를 제시하고 주어진 조건 하에서 해를 구하였다.

참고문헌 (22)

Abrahams, J. (1996). Generation of discrete distributions from biased coins. IEEE Transactions on Information Theory, 42, 1541-1546.

상세보기
Boppana, R. B. and Narayanan, B. O. (1996). The biased coin problem. SIAM Journal on Discrete Mathematics, 9, 29-36.

상세보기
Choi, H. (2004). The development of program for teaching on statistical inference at one population. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 15, 543-554.

원문보기 상세보기
Choi, H. (2006). A program for teaching type I and type II errors. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 17, 19-30.

원문보기 상세보기
Clark, M. P. A. and Westerberg, B. D. (2009). How random is the toss of a coin? Canadian Medical Association Journal, 181, E306-E308.

상세보기
Diaconis, P., Holmes, S. and Montgomery, R. (2007). Dynamical bias in the coin toss. SIAM Review, 49, 211-235.

상세보기
Dunn, P. K. (2005). We can still learn about probability by rolling dice and tossing coins. Teaching Statistics, 27, 37-41.

상세보기
Gargano, L. and Vaccaro, U. (1999). Efficient generation of fair dice with few biased coins. IEEE Transactions on Information Theory, 45, 1600-1606.

상세보기
Gelman, A. and Nolan, D. (2002). You can load a die, but you can't bias a coin. The American Statistician, 56, 308-311.

상세보기
Gossner, O. and Vieille, N. (2002). How to play with a biased coin? Games and Economic Behavior, 41, 206-226.

상세보기
Grunkemeier, G. L., Wu, Y. and Furnary, A. P. (2009). What is the value of a p value? The Annals of Thoracic Surgery, 87, 1337-1343.

상세보기
Itoh, T. (1996). Simulating fair dice with biased coins. Information and Computation, 126, 78-82.

상세보기
Kerrich, J. E. (1946). An experimental Introduction to the theory of probability, Belgisk import compagni, Copenhagen.
Kim, H. and Oh, K. (2003). Web learning guidance for elementary school students. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 12, 223-236.
Kuchenho, H. (2008). Coin tossing and spinning - useful classroom experiments for teaching statistics. In: Shalab and C. Heumann Editors, Recent Advances in Linear Models and Related Areas, Springer, Berlin, 417-426.
MacKenzie, D. (2002). Euro coin accused of unfair flipping. NewScientist, 04 January, 2002.
Mosteller, F. (1987). Fifty challenging problems in probability with solutions, Dover, New York.
Oh, C., Lee, S. and Lee, H. J. (2006). A web-based SAS system for lab statistics. Journal of the Korean Data & Information Science Society, 17, 395-400.

원문보기 상세보기
Smith, R. L. (1984). Properties of biased coin designs in sequential clinical trials. The Annals of Statistics, 12, 1018-1034.

상세보기
Stout, Q. F. and Warren, B. (1984). Tree algorithms for unbiased coin tossing with a biased coin. The Annals of Probability, 12, 212-222.

상세보기
Strza koa, J., Grabskia, J., Stefaskia, A., Perlikowskia, P. and Kapitaniak, T. (2008). Dynamics of coin tossing is predictable. Physics Reports, 469, 59-92.

상세보기
Uehara, R. (1995). Efficient simulations by a biased coin. Information Processing Letters, 56, 245-248.

상세보기

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

내보내기 구분	파일저장 인쇄 메일전송
구성항목	기본정보 상세정보 관리번호, 논문명, 저널/프로시딩명, 저자 , 발행년, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, 발행기관 관리번호, 논문명, 대등논문명, 저자 , 저널/프로시딩명, 발행기관, 발행년, 발행언어, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, ISBN, ISSN, 주제분야, 키워드, 초록(한글), 초록(영문), 저자(소속기관)
저장형식	Text(ASCII format) Excel format RefWorks Direct Export RIS format (for Reference Manager, ProCite, EndNote), Scholar's Aids, Mendeley
메일정보	받는사람 (필수) @ 보내는사람 (선택) @ 제목 내용 KISTI 검색결과 이메일 서비스
안내	총 건의 자료가 검색되었습니다. 다운받으실 자료의 인덱스를 입력하세요. (1-10,000) 검색결과의 순서대로 최대 10,000건 까지 다운로드가 가능합니다. 데이타가 많을 경우 속도가 느려질 수 있습니다.(최대 2~3분 소요) 다운로드 파일은 UTF-8 형태로 저장됩니다. 파일의 내용이 제대로 보이지 않을실 때는 웹브라우저 상단의 보기 -> 인코딩 -> 자동선택 여부를 확인하십시오. ~ Text(ASCII format) Excel format

연합인증