[논문]인장 하중을 받는 무한 고체에 포함된 다수의 등방성 함유체 문제 해석을 위한 체적 적분방정식법

이정기

doi:10.3795/ksme-a.2010.34.7.881

인장 하중을 받는 무한 고체에 포함된 다수의 등방성 함유체 문제 해석을 위한 체적 적분방정식법
Volume Integral Equation Method for Multiple Isotropic Inclusion Problems in an Infinite Solid Under Uniaxial Tension 원문보기

大韓機械學會論文集. Transactions of the Korean Society of Mechanical Engineers. A. A, v.34 no.7=no.298, 2010년, pp.881 - 889

초록
AI-Helper

체적 적분방정식법(Volume Integral Equation Method)이라는 새로운 수치해석 방법을 이용하여, 서로 상호작용을 하는 등방성 함유체를 포함하는 등방성 무한고체가 정적 인장하중을 받을 때 무한고체 내부에 발생하는 응력분포 해석을 매우 효과적으로 수행하였다. 즉, 등방성 기지에 다수의 등방성 함유체가 1) 정사각형 배열 형태 또는 2) 정육각형 배열 형태로 포함되어 있는 경우에, 다양한 함유체의 체적비에 대하여, 중앙에 위치한 등방성 함유체와 등방성 기지의 경계면에서의 인장응력 분포의 변화를 구체적으로 조사하였다. 또한, 체적 적분방정식법을 이용한 해를 해석해 또는 유한요소법을 이용한 해와 비교해 봄으로서, 체적 적분방정식법을 이용하여 구한 해의 정확도를 검증하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

A volume integral equation method (VIEM) is introduced for solving the elastostatic problems related to an unbounded isotropic elastic solid; this solid is subjected to remote uniaxial tension, and it contains multiple interacting isotropic inclusions. The method is applied to two-dimensional problems involving long parallel cylindrical inclusions. A detailed analysis of the stress field at the interface between the matrix and the central inclusion is carried out; square and hexagonal packing of the inclusions are considered. The effects of the number of isotropic inclusions and different fiber volume fractions on the stress field at the interface between the matrix and the central inclusion are also investigated in detail. The accuracy and efficiency of the method are clarified by comparing the results obtained by analytical and finite element methods. The VIEM is shown to be very accurate and effective for investigating the local stresses in composites containing isotropic fibers.

주제어

AI 본문요약
AI-Helper

* AI 자동 식별 결과로 적합하지 않은 문장이 있을 수 있으니, 이용에 유의하시기 바랍니다.

문제 정의

본 논문에서는 등방성 함유체의 배열이 복합재료의 응력에 미치는 영향에 대하여 조사하기 위하여, 체적 적분방정식법이라는 새로운 수치해석방법을 적용하여, 등방성 무한기지에 다수의 등방성 함유체가 포함된 무한고체가 정적 무한하중을 받을 때 복합재료에 발생하는 응력분포에 관한 해석을 수행하였다.

가설 설정

Fig. 1에서, 기지(matrix)는 무한공간을 차지하는 균일한 등방성 재료로 이루어지고, 함유체들은 기지와 다른 등방성 재료로 이루어진다고 가정한다. c⁽¹⁾_ijkl은 함유체의 탄성상수를 나타내고, c⁽²⁾_ijkl는 기지의 탄성상수를 나타낸다.
Fig. 2에 있는 다수의 등방성 함유체가 등방성 기지에 포함되어 있는 무한고체가 무한 인장하중을 받는 경우를, 평면 변형률 문제로 가정하여, 고찰해 본다. 다수의 함유체의 상호작용을 조사하기 위하여, 함유체의 체적비(c)가 0.
다수의 등방성 함유체가 정사각형 형태로 등방성 기지에 포함되어 있는 무한고체가 무한 인장하중을 받는 경우를, 평면 변형률 문제로 가정하여, 고찰해 본다.
다음에는, 다수의 등방성 함유체가 정육각형형태로 등방성 기지에 포함되어 있는 무한고체가무한 인장하중을 받는 경우를, 평면 변형률 문제로 가정하여, 고찰해 본다.

제안 방법

첫째로, 등방성 기지에 다수의 등방성 함유체가 1) 정사각형 배열 형태, 2) 정육각형 배열 형태로 포함되어 있는 경우에 대하여 고찰해 보았다. 등방성 함유체의 배열이 정사각형 또는 정육각형 형태인 각각의 경우에, 함유체의 체적비가 0.
본 논문에서는, 체적 적분방정식법(Volume Integral Equation Method)이라는 새로운 수치해석 방법을 이용하여, 서로 상호작용을 하는 등방성 함유체를 포함하는 등방성 무한고체가 정적 인장하중을 받을 때 무한고체 내부에 발생하는 응력분포해석을 매우 효과적으로 수행하였다. 즉, 등방성기지에 다수의 등방성 함유체가 1) 정사각형 배열형태 또는 2) 정육각형 배열 형태로 포함되어 있는 경우에 대하여, 함유체의 체적비(c)가 0.20부터 0.50까지 0.05만큼씩 증가할 때, 중앙에 위치한 등방성 함유체와 등방성 기지의 경계면에서의 인장응력분포의 변화를 구체적으로 조사하였다.
50까지 0.05만큼씩 증가할 때, 함유체의 개수를 a) 7개, b) 19개, c) 37개로 늘려가면서, 중앙에 위치한 함유체에서의 응력분포의 변화를 조사하였다. 등방성 함유체와등방성 기지의 물질 특성치는 Table 1에 나타나 있다.
50까지 0.05만큼씩 증가할 때, 함유체의 개수를 a) 9개, b) 25개, c) 49개로 늘려가면서, 중앙에 위치한 함유체에서의 응력분포의 변화를 조사하였다. 등방성 함유체와 등방성 기지의 물질 특성치는 Table 1에 나타나 있으며, 등방성 함유체의 Lamé 상수가 등방성 기지의 Lamé 상수보다 큰 경우를 고려해 보있다.
끝으로, 본 논문에서 체적 적분방정법을 이용하여 구한 해를 그림과 표로 정리함으로써, 다른연구자들이 다른 다양한 방법들을 사용하여 구한해들의 정확도를 검증할 때 벤치마킹(benchmark)할 수 있도록 하였다.
끝으로, 본 논문에서 체적 적분방정법을 이용하여 구한 해를 그림과 표로 정리함으로써, 다른연구자들이 다른 다양한 방법들을 사용하여 구한해들의 정확도를 검증할 때 벤치마킹(benchmark)할 수 있도록 하였다.
2에 있는 다수의 등방성 함유체가 등방성 기지에 포함되어 있는 무한고체가 무한 인장하중을 받는 경우를, 평면 변형률 문제로 가정하여, 고찰해 본다. 다수의 함유체의 상호작용을 조사하기 위하여, 함유체의 체적비(c)가 0.20부터 0.50까지 0.05만큼씩 증가할 때, 함유체의 개수를 늘려가면서, 중앙에 위치한 함유체에서의 응력분포의 변화를 조사하였다. 이 경우는 체적 적분방정식법이 최적의 수치해석 방법임을 알 수 있다.
^(18~20) 체적 적분방정식법의 해와 해석해가서로 잘 일치함을 알 수 있다. 다음으로, Fig. 4는다수의 함유체의 상호작용을 조사하기 위하여,체적 적분방정식법에 사용된 대표적인 분할된 모델⁽¹⁷⁾의 예를 나타내며, 각각의 함유체 내부를 각각 256개의 표준의 81절점 사각형 및 .1 절점 삼각형 유한요소를 사용하여 분할하였다.Fig.
첫째로, 등방성 기지에 다수의 등방성 함유체가 1) 정사각형 배열 형태, 2) 정육각형 배열 형태로 포함되어 있는 경우에 대하여 고찰해 보았다. 등방성 함유체의 배열이 정사각형 또는 정육각형 형태인 각각의 경우에, 함유체의 체적비가 0.20부터 0.50까지 0.05만큼씩 증가할 때, 중앙에 위치한 등방성 함유체와 등방성 기지의 경계면에서의 인장응력 분포의 변화를 조사하였다.
중앙의 함유체와 기지의 경계면에서의 정확한 응력분포를 구하기 위하여, 매우 세밀한(refined) 유한요소들을 사용하여 요소 분할하였다. 또한, 무한공간을 충분히 고려하기 위하여, 한 변의 길이가 함유체 지름의 약 22.5배가 되는정사각형이 무한 공간의 경계가 되도록 하였다.
또한, 체적 적분방정식법을 이용한 해를 해석해 또는 유한요소법을 이용한 해와 비교해 봄으로서, 체적 적분방정식법을 이용하여 구한 해의정확도를 검증하였다.
본 논문에서는, 체적 적분방정식법(Volume Integral Equation Method)이라는 새로운 수치해석 방법을 이용하여, 서로 상호작용을 하는 등방성 함유체를 포함하는 등방성 무한고체가 정적 인장하중을 받을 때 무한고체 내부에 발생하는 응력분포해석을 매우 효과적으로 수행하였다. 즉, 등방성기지에 다수의 등방성 함유체가 1) 정사각형 배열형태 또는 2) 정육각형 배열 형태로 포함되어 있는 경우에 대하여, 함유체의 체적비(c)가 0.
우선, 체적 적분방정식법을 이용한 해의 정확도를 검증하기 위하여, 단일의 등방성 함유체가 등방성기지에 포함되어 있는 경우에 함유체 내부에서의 응력분포를 조사하였다. 다음에, 다수의 함유체의 상호작용을 조사하기 위하여, 함유체의 체적비(c)가 0.
Table 3에서 단일의 함유체에 대한 체적 적분방정식법을 이용한 해와 해석해가 서로 잘 일치함을 알 수 있었다. 이번에는, 다수의 함유체에 대한 체적 적분방정식법을 이용한 해를 검증하기 위하여, 함유체의 체적비(c)가 0.35이고, 9개의 등방성 함유체의 배열이 정사각형 형태일 때, 체적적분방정식법을 이용한 해와 ADINA⁽²¹⁾라는 상업용 유한요소법 코드를 이용한 해를 비교해 보기로 한다.
8에 사용된 4개의 절점을 갖는 사각형 요소의 개수는 121,600이고, 절점의 개수는 129,786이다. 중앙의 함유체와 기지의 경계면에서의 정확한 응력분포를 구하기 위하여, 매우 세밀한(refined) 유한요소들을 사용하여 요소 분할하였다. 또한, 무한공간을 충분히 고려하기 위하여, 한 변의 길이가 함유체 지름의 약 22.

성능/효과

^(7,15) 왜냐하면, 1) 경계요소법과 달리, 모든 경계면에서의 연속 조건이 자동적으로 만족하고, 함유체 내부를 유한요소를 사용하여 요소 분할하므로 임의 형상을 갖는 함유체를 해석할 때 도전혀 어려움이 없게 되며, 2) 유한요소법과 달리, 무한공간을 이루고 있는 기지는 요소분할할 필요가 없이, 함유체 내부만을 요소분할하면 되기 때문이다. 특히, 3) 함유체의 체적비가 변화할 때, 기지를 요소분할할 필요가 없이 함유체의 위치만 변경하면 되므로, 체적 적분방정식법 모델링을 매우 효율적으로 수행할 수 있게 된다.
Fig. 4의 체적 적분방정식법 모델과 Fig. 8에 있는 유한요소법 모델을 비교해보면, 체적 적분방정식법에 사용되는 모델이 매우 효율적임을 확인할 수 있다. 그 이유로는 1) 무한 공간을 이루고있는 기지를 요소 분할할 필요가 없기 때문에 많은 개수의 유한요소를 절약할 수 있고, 2) 특히, 함유체의 체적비(c)가 바뀌어도, 함유체의 위치만 변경하면 되기 때문이다.
둘째로, 체적 적분방정식법을 이용한 해의 정확도를 검증하기 위하여, 체적 적분방정식법을이용한 해와 ADINA⁽²¹⁾라는 상업용 유한요소법코드를 이용한 해를 비교해 보았으며, 서로 다른방법을 이용한 해들이 서로 잘 일치하는 것을 확인하였다. 또한, 체적 적분방정식법을 이용하는것이 유한요소법을 이용하는 것보다 매우 효율적이라는 것을 확인하였다.
라는 상업용 유한요소법코드를 이용한 해를 비교해 보았으며, 서로 다른방법을 이용한 해들이 서로 잘 일치하는 것을 확인하였다. 또한, 체적 적분방정식법을 이용하는것이 유한요소법을 이용하는 것보다 매우 효율적이라는 것을 확인하였다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	무한 고체에서의 탄성해석에 관한연구는 누구에 의해 연구되었는가?	인장하중을 받을 때, 단일 또는 다수의 함유체를 포함하는 무한 고체에서의 탄성해석에 관한연구는 Eshelby,(1) Hashin,(2) Achenbach와 Zhu,(3) Christensen,(4) Nimmer 외,(5) 그리고 많은 연구자들(6~12)에 의하여 연구되었다.
	복합재료에서의 파손 메카니즘을 정확히 예측하기 위해서 등방성 함유체 또는 이방성 함유체가 포함된 등방성 무한고체에서의 탄성해석이 필요한 이유는?	복합재료를 이루는 재료들은 일반적으로 등방성 재료이나, 항공분야에 사용되고 있는 금속기지 복합재료에서는 Ti 기지는 등방성 재료로 이루어지지만, SiC섬유는 이방성 재료로 이루어지는 경우도 있다.
	본 논문에서 체적 적분방정식법이라는 새로운 수치해석 방법을 이용해 무엇을 효과적으로 수행했는가?	본 논문에서는, 체적 적분방정식법(Volume Integral Equation Method)이라는 새로운 수치해석 방법을 이용하여, 서로 상호작용을 하는 등방성 함유체를 포함하는 등방성 무한고체가 정적 인장하중을 받을 때 무한고체 내부에 발생하는 응력분포해석을 매우 효과적으로 수행하였다. 즉, 등방성기지에 다수의 등방성 함유체가 1) 정사각형 배열형태 또는 2) 정육각형 배열 형태로 포함되어 있는 경우에 대하여, 함유체의 체적비(c)가 0.

참고문헌 (21)

Eshelby, J. D., 1957, "The Determination of theElastic Field of an Ellipsoidal Inclusion, andRelated Problems," Proceedings of the RoyalSociety of London, Series A, A241, pp. 376-396.
Hashin, Z., 1972, Theory of Fiber ReinforcedMaterials, NASA CR-1974.
Achenbach, J. D. and Zhu, H., 1990, "Effect ofInterphases on Micro and MacromechanicalBehavior of Hexagonal-Array Fiber Composites,"Transactions of ASME, Journal of AppliedMechanics, Vol. 57, pp. 956-963.

상세보기
Christensen, R. M., 1991, Mechanics of CompositeMaterials, Krieger Pub. Co., Florida.
Nimmer, R. P., Bankert, R. J., Russel, E. S.,Smith, G. A. and Wright, P.K., 1991, "MicromechanicalModeling of Fiber/Matrix InterfaceEffects in Transversely Loaded SiC/Ti-6-4 MetalMatrix Composites," Journal of CompositesTechnology & Research, Vol. 13, pp. 3-13.

상세보기
Zahl, D. B. and Schmauder, S., 1994,"Transverse Strength of Continuous Fiber MetalMatrix Composites," Computational MaterialsScience, Vol. 3, pp. 293-299.

상세보기
Lee, J. K. and Mal, A. K., 1997 (Mar.), “AVolume Integral Equation Technique for MultipleInclusion and Crack Interaction Problems,”Transactions of the ASME, Journal of AppliedMechanics, Vol. 64, pp. 23-31.

상세보기
Lee, J. and Mal, A., 1998, "Characterization ofMatrix Damage in Metal Matrix Compositesunder Transverse Loads," ComputationalMechanics, Vol. 21, pp. 339-346.

상세보기
Naboulsi, S., 2003, "Modeling TransverselyLoaded Metal-Matrix Composites," Journal ofComposite Materials, Vol. 37, pp. 55-72.

상세보기
Aghdam, M. M. and Falahatgar, S. R., 2004,"Micromechanical Modeling of Interface Damageof Metal Matrix Composites Subjected toTransverse Loading," Composite Structures, Vol.66, pp. 415-420.

상세보기
Lee, J. K., Han, H. D. and Mal, A., 2006,“Effects of Anisotropic Fiber Packing onStresses in Composites,” Computer Methods inApplied Mechanics and Engineering, Vol. 195,No. 33-36, pp. 4544-4556.

상세보기
Ju, J. W. and Ko, Y. F., 2008,"Micromechanical Elastoplastic Damage Modelingfor Progressive Interfacial Arc Debonding forFiber Reinforced Composites," InternationalJournal of Damage Mechanics, Vol. 17, pp.307-356.

상세보기
Mal, A. K. and Knopoff, L., 1967, “ElasticWave Velocities in Two Component Systems,”Journal of the Institute of Mathematics and itsApplications, Vol. 3, pp. 376-387.

상세보기
Lee, J. K. and Mal, A. K., 1995, “A VolumeIntegral Equation Technique for MultipleScattering Problems in Elastodynamics,” AppliedMathematics and Computation, Vol. 67, pp.135-159.

상세보기
Buryachenko, V. A., 2007, Micromechanics ofHeterogeneous Materials, Springer, New York.
Banerjee, P. K., 1993, The Boundary ElementMethods in Engineering, McGraw-Hill, England.
PATRAN User's Manual, 1998, Version 7.0,MSC/PATRAN.
Hwu, C. and Yen, W. J., 1993 (Sep.), “Onthe Anisotropic Elastic Inclusions in PlaneElastostatics,” Transactions of ASME, Journal ofApplied Mechanics, Vol. 60, pp. 626-632.

상세보기
Lee, J. K., Choi, S. J. and Mal, A., 2001,"Stress Analysis of an Unbounded Elastic Solidwith Orthotropic Inclusions and Voids Using aNew Integral Equation Technique," InternationalJournal of Solids And Structures, Vol. 38 (16),pp. 2789-2802.

상세보기
Mal, A. K. and Singh, S. J., 1991, Deformationof Elastic Solids, Prentice Hall, New Jersey.
ADINA User's Manual, 2008, Version 8.5,ADINA R & D, Inc..

저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

내보내기 구분	파일저장 인쇄 메일전송
구성항목	기본정보 상세정보 관리번호, 논문명, 저널/프로시딩명, 저자 , 발행년, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, 발행기관 관리번호, 논문명, 대등논문명, 저자 , 저널/프로시딩명, 발행기관, 발행년, 발행언어, 권, 호, 시작페이지, 끝페이지, ISBN, ISSN, 주제분야, 키워드, 초록(한글), 초록(영문), 저자(소속기관)
저장형식	Text(ASCII format) Excel format RefWorks Direct Export RIS format (for Reference Manager, ProCite, EndNote), Scholar's Aids, Mendeley
메일정보	받는사람 (필수) @ 보내는사람 (선택) @ 제목 내용 KISTI 검색결과 이메일 서비스
안내	총 건의 자료가 검색되었습니다. 다운받으실 자료의 인덱스를 입력하세요. (1-10,000) 검색결과의 순서대로 최대 10,000건 까지 다운로드가 가능합니다. 데이타가 많을 경우 속도가 느려질 수 있습니다.(최대 2~3분 소요) 다운로드 파일은 UTF-8 형태로 저장됩니다. 파일의 내용이 제대로 보이지 않을실 때는 웹브라우저 상단의 보기 -> 인코딩 -> 자동선택 여부를 확인하십시오. ~ Text(ASCII format) Excel format

연합인증