[논문]인장 하중을 받는 무한 고체에 포함된 다수의 이방성 함유체 문제 해석을 위한 체적 적분방정식법

이정기

doi:10.7234/kscm.2010.23.4.007

인장 하중을 받는 무한 고체에 포함된 다수의 이방성 함유체 문제 해석을 위한 체적 적분방정식법
Volume Integral Equation Method for Multiple Anisotropic Inclusion Problems in an Infinite Solid under Uniaxial Tension 원문보기

복합재료 : 한국복합재료학회지 = Journal of the Korean Society for Composite Materials, v.23 no.4, 2010년, pp.7 - 13

초록
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체적 적분방정식법(Volume Integral Equation Method)이라는 새로운 수치해석 방법을 이용하여, 서로 상호작용을 하는 이방성 함유체를 포함하는 등방성 무한고체가 정적 인장하중을 받을 때 무한고체 내부에 발생하는 응력분포 해석을 매우 효과적으로 수행하였다. 즉, 등방성 기지에 다수의 이방성 함유체가 1) 정사각형 배열 형태 또는 2) 정육각형 배열 형태로 포함되어 있는 경우에 대하여, 다양한 함유체의 체적비에 대하여, 중앙에 위치한 이방성 함유체와 등방성 기지의 경계면에서의 인장응력 분포의 변화를 구체적으로 조사하였다. 또한, 단일의 이방성 함유체에 대한 체적 적분방정식법을 이용한 해와 해석해를 비교해 봄으로서, 체적 적분방정식법을 이용하여 구한 해의 정확도를 검증하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

A volume integral equation method (VIEM) is introduced for the solution of elastostatic problems in an unbounded isotropic elastic solids containing interacting multiple anisotropic inclusions subject to remote uniaxial tension. The method is applied to two-dimensional problems involving long parallel cylindrical inclusions. A detailed analysis of stress field at the interface between the matrix and the central inclusion is carried out for square and hexagonal packing of the inclusions. Effects of the number of anisotropic inclusions and various fiber volume fractions on the stress field at the interface between the matrix and the central inclusion are also investigated in detail. The accuracy of the method is validated by solving the single inclusion problem for which solutions are available in the literature.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문에서는 이방성 함유체의 배열이 복합재료의 응력에 미치는 영향에 대하여 조사하기 위하여, 체적 적분방정식법이라는 새로운 수치해석 방법을 적용하여, 등방성 무한기지에 다수의 직교 이방성 함유체가 포함된 무한 고체가 정적 무한하중을 받을 때 복합재료에 발생하는 응력분포에 관한 해석을 수행하였다.

가설 설정

Fig. 1에서, 기지(matrix)는 무한공간을 차지하는 균일한 등방성 재료로 이루어지고, 함유체들은 기지와 다른 등방성 또는 이방성 재료로 이루어진다고 가정한다. c⁽¹⁾_ijkl은 함유체의 탄성상수를 나타내고, c⁽²⁾_ijkl는 기지의 탄성상수를 나타낸다.
Fig. 2에 있는 다수의 직교 이방성 함유체가 등방성 기지에 포함되어 있는 무한고체가 무한 인장하중을 받는 경우를, 평면 변형률 문제로 가정하여, 고찰해 본다. 다수의 함유체의 상호작용을 조사하기 위하여, 함유체의 체적비(c)가 0.
다수의 직교 이방성 함유체가 정사각형 형태로 등방성 기지에 포함되어 있는 무한고체가 무한 인장하중을 받는 경우를, 평면 변형률 문제로 가정하여, 고찰해 본다.
다음에는, 다수의 직교 이방성 함유체가 정육각형 형태로 등방성 기지에 포함되어 있는 무한고체가 무한 인장하중을 받는 경우를, 평면 변형률 문제로 가정하여, 고찰해 본다.
c⁽¹⁾_ijkl은 함유체의 탄성상수를 나타내고, c⁽²⁾_ijkl는 기지의 탄성상수를 나타낸다. 함유체들과 기지 사이의 경계면은 변위와 표면력 벡터(traction vector)의 연속성을 보장하는 완전결합이라고 가정한다.

제안 방법

첫째로, 등방성 기지에 다수의 직교 이방성 함유체가 1) 정사각형 배열 형태, 2) 정육각형 배열 형태로 포함되어 있는 경우에 대하여 고찰해 보았다. 직교 이방성 함유체의 배열이 정사각형 또는 정육각형 형태인 각각의 경우에, 함유체의 체적비가 0.
본 논문에서는, 체적 적분방정식법(Volume Integral Equation Method)이라는 새로운 수치해석 방법을 이용하여, 서로 상호작용을 하는 이방성 함유체를 포함하는 등방성 무한고체가 정적 인장하중을 받을 때 무한고체 내부에 발생하는 응력분포 해석을 매우 효과적으로 수행하였다. 즉, 등방성 기지에 다수의, 비교적 간단한 형태의 이방성을 나타내는, 직교 이방성 함유체가 1) 정사각형 배열 형태 또는 2) 정육각형 배열 형태로 포함되어 있는 경우에 함유체의 체적비(c)가 0.20부터 0.50까지 0.05만큼씩 증가할 때, 중앙에 위치한 직교 이방성 함유체와 등방성 기지의 경계면에서의 인장응력 분포의 변화를 구체적으로 조사하였다.
Fig. 7에 나와 있는 체적 적분방정식법을 이용하여 구한 해를 Table 5에 구체적인 수치들로 정리함으로써, 다른 연구자들이 다른 다양한 방법들을 사용하여 구한 해들의 정확도를 검증할 때 벤치마킹(benchmark)할 수 있도록 하였다.
50까지 0.05만큼씩 증가할 때, 함유체의 개수를 a) 7개, b) 19개, c) 37개로 늘려가면서, 중앙에 위치한 함유체에서의 응력분포의 변화를 조사하였다. 직교 이방성 함유체와 등방성 기지의 물질 특성치는 Table 1에 나타나 있다.
50까지 0.05만큼씩 증가할 때, 함유체의 개수를 a) 9개, b) 25개, c) 49개로 늘려가면서, 중앙에 위치한 함유체에서의 응력분포의 변화를 조사하였다. 직교 이방성 함유체와 등방성 기지의 물질 특성치는 Table 1에 나타나 있으며, 직교 이방성 함유체의 c11이 등방성 기지의 c11보다 큰 경우를 고려해보았다.
그러나, 함유체의 체적비가 증가함에 따라서, 규준화된 인장응력 성분(σxx/σxx°)이 크게 변하는 것을 볼 수 있다. 그 이유는, 함유체의 체적비가 증가함에 따라서, 중앙에 위치한 함유체와 주변에 있는 함유체들 사이의 상호작용이 커지기 때문으로, Fig. 5에 나와 있는 체적 적분방정법을 이용하여 구한 해를 Table 4에 구체적인 수치들로 정리함으로써, 다른 연구자들이 다른 다양한 방법들을 사용하여 구한 해들의 정확도를 검증할 때 벤치마킹(benchmark)할 수 있도록 하였다.
2에 있는 다수의 직교 이방성 함유체가 등방성 기지에 포함되어 있는 무한고체가 무한 인장하중을 받는 경우를, 평면 변형률 문제로 가정하여, 고찰해 본다. 다수의 함유체의 상호작용을 조사하기 위하여, 함유체의 체적비(c)가 0.20부터 0.50까지 0.05 만큼씩 증가할 때, 함유체의 개수를 늘려가면서, 중앙에 위치한 함유체에서의 응력분포의 변화를 조사하였다. 이 경우는 체적 적분방정식법이 최적의 수치해석 방법임을 알 수 있다[8,17].
둘째로, 본 논문에서 체적 적분방정식법을 이용하여 구한 해를 그림과 표로 정리함으로써, 다른 연구자들이 다른 다양한 방법들을 사용하여 구한 해들의 정확도를 검증할 때 벤치마킹(benchmark)할 수 있도록 하였다.
본 논문에서는, 체적 적분방정식법(Volume Integral Equation Method)이라는 새로운 수치해석 방법을 이용하여, 서로 상호작용을 하는 이방성 함유체를 포함하는 등방성 무한고체가 정적 인장하중을 받을 때 무한고체 내부에 발생하는 응력분포 해석을 매우 효과적으로 수행하였다. 즉, 등방성 기지에 다수의, 비교적 간단한 형태의 이방성을 나타내는, 직교 이방성 함유체가 1) 정사각형 배열 형태 또는 2) 정육각형 배열 형태로 포함되어 있는 경우에 함유체의 체적비(c)가 0.
우선, 체적 적분방정식법을 이용한 해의 정확도를 검증하기 위하여, 단일의 직교 이방성 함유체가 등방성 기지에 포함되어 있는 경우에 직교 이방성 함유체 내부에서의 응력분포를 조사하였다. 다음에, 다수의 직교 이방성 함유체의 상호작용을 조사하기 위하여, 함유체의 체적비(c)가 0.
첫째로, 등방성 기지에 다수의 직교 이방성 함유체가 1) 정사각형 배열 형태, 2) 정육각형 배열 형태로 포함되어 있는 경우에 대하여 고찰해 보았다. 직교 이방성 함유체의 배열이 정사각형 또는 정육각형 형태인 각각의 경우에, 함유체의 체적비가 0.20부터 0.50까지 0.05만큼씩 증가할 때, 중앙에 위치한 직교 이방성 함유체와 등방성 기지의 경계면에서의 인장응력 분포의 변화를 조사하였다.

이론/모형

따라서, 임의의 형상을 갖는 단일의 함유체라 할지라도, 식 (1)의 해를 해석적으로 구한다는 것은 매우 어려운 문제가 된다. 그러므로, 함유체 내부를 표준의 유한요소들을 사용해서 요소 분할하여 함유체 내부에서의 u(x)를 수치해석 방법으로 결정하는 체적 적분방정식법이 Lee와 Mal[8,15]에 의하여 개발되었다. 일단, 함유체 내부에서의 u(x)가 결정되면, 함유체 내부에서의 변형률 및 응력을 계산할 수 있고, 또한 함유체 외부에서의 변위, 변형률 및 응력도 식 (1)의 적분 값을 구함으로써 별다른 어려움없이 계산할 수 있다.

성능/효과

왜냐하면, 1) 경계요소법과 달리, 모든 경계면에서의 연속 조건이 자동적으로 만족하고, 직교 이방성 재료에 대한 Green함수를 필요로 하지 않는다는 장점이 있으며, 함유체 내부를 유한요소를 사용하여 요소 분할하므로 임의 형상을 갖는 함유체를 해석할 때 도 전혀 어려움이 없게 되며, 2) 유한요소법과 달리, 무한공간을 이루고 있는 기지는 요소분할할 필요가 없이, 함유체 내부만을 요소분할하면 되기 때문이다. 특히, 3) 함유체의 체적비가 변화할 때, 기지를 요소분할할 필요가 없이 함유체의 위치만 변경하면 되므로, 체적 적분방정식법 모델을 매우 효율적으로 변경할 수 있게 된다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	복합재료는 어떤 재료로 이루어지는가?	복합재료의 구성물들은 일반적으로 등방성 재료로 이루어진다. 그러나, 기존의 금속재료에 비하여 비강성, 비강도 및 내열성, 내마모성 등이 뛰어나 항공분야에 사용되고 있는 금속기지 복합재료에서는 Ti 기지는 등방성 재료로 이루어지지만 SiC 섬유는 강한 이방성 재료로 이루어진다.
	복합재료에서의 파손 메카니즘을 예측하기 위해서 필요한 것은?	따라서, 복합재료에서의 파손 메카니즘을 정확히 예측하기 위해서는, 등방성 함유체 또는 이방성 함유체가 포함된 등방성 무한고체에서의 탄성 해석이 필요하다.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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