[논문]공정능력지수 Cpmk를 평가함에서의 바람직한 가설검정

조중재; 유혜경; 한정수

doi:10.5351/ckss.2010.17.3.459

공정능력지수 Cpmk를 평가함에서의 바람직한 가설검정
Test of Hypothesis in Assessing Process Capability Index Cpmk 원문보기

한국통계학회 논문집 = Communications of the Korean Statistical Society, v.17 no.3, 2010년, pp.459 - 471

조중재 (충북대학교 정보통계학과) , 유혜경 (충북대학교 정보통계학과) , 한정수 (충북대학교 정보통계학과)

초록
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일반적으로 고객들은 어떤 상품에 대한 품질수준이 높을수록 보다 높은 만족을 얻는 것으로 알려져 있다. 보통품질수준은 공정능력지수에 의해 측정된다. 공정능력이란 공정이 관리상태에 있을 때, 그 공정에서 생산, 제공되는 상품의 변동이 어느 정도인가를 나타내는 중요한 개념이다. 3세대 공정능력지수 $C_{pmk}$는 흔히 현장에서 사용되고 있는 지수$C_p$나$C_{pk}$보다 공정능력을 평가함에 보다 설명력이 있고 합리적인지수라고 할 수 있다. 공정능력에 대한 효율성 평가는 대부분 점추정과 구간추정을 통하여 행하여지고 있는 바, 가설검정을 통한 의사결정 또한 중요한 문제라고 할 수 있다. 본 논문에서는 공정능력여부를 결정하기위하여 공정능력지수 $C_{pmk}$에 대한 보다 유용한 가설검정방법에 대하여 연구하였다. 제안된 붓스트랩 가설검정방법은 공정분포가 정규분포에 따르던 그렇지 않던지 간에 매우 유용하며 보다 수월하게 활용할 수 있음을 밝혔다. 그리고 수치적인 모의실험을 통해 공정의 정규성 여부와 상관없이 제안된 가설검정방법의 타당성을 밝히고자 하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

Higher quality level is generally perceived by customers as improved performance by assigning a correspondingly higher satisfaction score. Usually, the quality level is measured by process capability indices. The index is used to determine whether a production process is capable of producing items within a specified tolerance. The third generation index $C_{pmk}$ is more powerful than two useful indices $C_p$ and $C_{pk}$. which have been widely used in six sigma industries to assess process performance. Most evaluations on process capability indices focus on point estimates, which may result in unreliable assessments of process performance. In this paper, we consider better testing procedure on assessing process capability index $C_{pmk}$ for practitioners to use in determining whether a given process is capable. It is easy to use the proposed method for assessing process capability index $C_{pmk}$. Whether a process is clearly normal or nonnormal, our bootstrap testing procedure could be applied effectively without the complexity of calculation. A numerical result based on our proposed method is illustrated.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 논문에서는 3세대 공정능력지수 C_pmk에 대한 통계적 추정문제와 관련된 연구결과들을 기초로 몇가지 공정 하에서 붓스트랩을 이용한 가설검정문제를 중심으로 연구하였는 바, 다음과 같은 유용한 연구 결과를 얻었다.
본 논문에서는 공정능력지수 C_pmk에 대한 통계적 추정문제와 극한분포이론을 기초로 통계적 가설 검정에 대해 연구하였다. 기존 연구 결과를 간략하게 살펴보고, 본 논문의 핵심적 내용인 붓스트랩 방법을 활용하여 여러 가지 공정분포 상황에 대한 유의확률과 유사한 개념의 ASL(achieved significance level)들을 계산함으로써 공정능력지수 C_pmk에 대한 통계적 가설 검정을 보다 효과적으로 할 수 있음을 연구 · 제시하였다.
우선, 공정능력지수 C_pmk에 대한 가설검정을 위한 기존 연구결과를 고찰해 본다.

제안 방법

각각의 확률분포에 대해 목표값 T = 51, 중앙값 M = 49 그리고 편의상 규격상한 USL = 59, 규격하한 LSL = 39로 설계하였다.
결론적으로 공정능력지수 C _pmk의 가설검정에 필요한 유의확률은 근사적인 값으로 다음의 ASLboot로 표현되는 값들을 다음과 같이 제안하여 4절 모의실험으로 구현, 분석하고자 한다.
본 논문에서는 여러 붓스트랩 방법 중 보다 효율적인 추정방법 중 하나인 STUD방법을 사용하여 모의실험을 수행하였으며, (1) 정규분포 N(µ, σ2 ), 그리고 (2) 카이제곱분포 χ2 (5)를 이용한 간단한 변환과 (3) t분포 t(5)을 이용한 간단한 변환을 하여 공정분포의 평균은 공통적으로 µ = 50이고, 분산 σ2은 몇가지 값의 경우에 대해 모의실험을 수행하여 유의확률과 유사한 의미를 갖는 ASLboot을 계산하였다.
우선, 공정능력지수 C_pmk에 대한 통계적 추정문제와 관련 극한분포이론을 소개하여 붓스트랩 방법의 일치성을 기초로, 보다 효율적인 신뢰구간을 제공해 주는 STUD 붓스트랩 방법을 연구배경으로 고려, 연구하였다.
자유도가 5인 카이제곱 분포 χ2 (5)와 자유도가 5인 t분포 t(5)에 대하여, 평균이 µ이고 분산이 σ2이되도록 각각 다음과 같은 선형변환을 통하여 모의실험을 수행하였다

데이터처리

을 검정하기 위해 표본크기를 달리하여 편의상 각각 c₀ = 1, 4/3인 경우에 대하여 붓스트랩 STUD방법에 의한 평균적인 ASL_boot값과 이 값들을 기초로 표준편차를 계산하였다.
즉, 각각의 경우에 공정능력지수 Cpmk에 대한 가설 H0 : Cpmk ≤ c0 vs. H1 : Cpmk > c0에 대한 붓스트랩 STUD방법의 검정 내용을 예시하기 위해 ASLboot값들의 평균값과 표준편차를 계산하였다(c0 = 1, 4/3).

이론/모형

본 논문에서는 공정능력지수 C_pmk에 대한 가설검정을 위한 관련된 모의실험을 수행하는데 있어서 붓스트랩 방법을 이용한다. 기존의 정규공정 하에서의 연구 결과와 달리 붓스트랩을 활용한 가설검정은 관심공정이 어떠한 형태의 분포를 따르더라도 보다 효과적이고 편리하게 응용할 수 있는 장점을 지니고 있다.
앞에 있는 2.2절에서 제시한 붓스트랩 알고리즘 하에서 유의확률을 근사적으로 계산하여 결정하게 되는 바, 이에 대한 이론적인 근거로는 Efron과 Tibshirani (1993)와 Cho 등 (2004)를 활용하여 연구하였다.

성능/효과

결론적으로 논문의 핵심적 내용이라 할 수 있는 STUD 붓스트랩 방법을 활용하여 유의확률과 유사한 개념의 ASL_boot(achieved significance level)을 제안하고, 몇가지 공정 하에서 모의실험을 통해 공정 능력지수 C_pmk에 대한 통계적 가설 검정을 보다 효과적으로 수행할 수 있음을 연구하였다. 이는 정규 공정을 가정하지 않는 경우에도 컴퓨터 모의실험을 통하여 공정능력지수 C_pmk에 대해 가설검정 문제를 제안된 검정방법을 통해 보다 수월하게 보다 효율적으로 수행 할 수 있다는 것을 입증하였다.
기존 연구 결과를 간략하게 살펴보고, 본 논문의 핵심적 내용인 붓스트랩 방법을 활용하여 여러 가지 공정분포 상황에 대한 유의확률과 유사한 개념의 ASL(achieved significance level)들을 계산함으로써 공정능력지수 Cpmk에 대한 통계적 가설 검정을 보다 효과적으로 할 수 있음을 연구 · 제시하였다.
또한 공정분포 N(50, 2.022 )로부터 크기 30의 표본을 임의추출하여, 가설 H0 : Cpmk ≤ 1 vs. H1 : Cpmk > 1에 대한 가설검정을 위해 STUD방법으로 ASLboot값을 계산하고 이를 N(= 1000)회 반복 수행한 결과 ASLboot값들의 평균은 0.0398(표준편차 0.1360)으로 유의수준 0.05에서 귀무가설을 기각하여 Cpmk가 1보다 크다고 결론을 내릴 수 있으며, 표본의 크기 n이 증가할수록 ASLboot이 작아 유의수준 0.01하에서도 귀무가설을 기각하여 보다 확실한 증거를 가지고 공정능력지수 Cpmk가 1보다 크다고 결론을 내릴 수 있는 지극히 자연스러운 결과임을 알 수 있다.
기존 연구 결과를 간략하게 살펴보고, 본 논문의 핵심적 내용인 붓스트랩 방법을 활용하여 여러 가지 공정분포 상황에 대한 유의확률과 유사한 개념의 ASL(achieved significance level)들을 계산함으로써 공정능력지수 C_pmk에 대한 통계적 가설 검정을 보다 효과적으로 할 수 있음을 연구 · 제시하였다. 또한 정규성을 가정하지 않는 경우에도 다양한 컴퓨터 모의실험을 통하여 공정능력지수 C_pmk에 대해 가설검정 문제를 연구하여, 논문에서 제안한 붓스트랩 검정방법이 보다 효율적임을 입증하였다.
물론, 정규분포 N(µ, σ2 )와 선형변환한 χ2 (5) 변환분포의 경우보다는 ASLboot값들의 평균이 상대적으로 큰 값을 갖는 특징이 있지만, 역시 표본의 크기가 증가하면 ASLboot값들의 평균이 상대적으로 큰 값을 갖는 특징이 있지만, 역시 표본의 크기가 증가하면 ASLboot값들의 평균값은 0으로 수렴함을 알 수가 있다.
5임을 뜻한다.이 결과는 원래의 공정분포로부터 계산된 공정능력지수가 C_pmk = 1이므로 붓스트랩 검정에 의한 당연한 결과로, 붓스트랩 모의실험 알고리즘의 정당성을 보여주는 유용한 방법이라 할 수 있다.
5임을 뜻한다. 이 결과는 원래의 공정으로 부터 계산된 공정능려지수가 Cpmk = 1이므로 붓스트랩 검정에 의한 당연한 결과로, 붓스트랩 모의실험 알고리즘의 유효함을 보여주는 유용한 방법이라 할 수 있다.
이는 매우 복잡하고 까다로운 계산을 하여야 하겠지만, 본 논문에서 제안한 붓스트랩 방법을 통하여 매우 편리하고 유용한 결과를 보여주고 있음을 알 수 있다.
에 대한 통계적 가설 검정을 보다 효과적으로 수행할 수 있음을 연구하였다. 이는 정규 공정을 가정하지 않는 경우에도 컴퓨터 모의실험을 통하여 공정능력지수 C_pmk에 대해 가설검정 문제를 제안된 검정방법을 통해 보다 수월하게 보다 효율적으로 수행 할 수 있다는 것을 입증하였다.
특히, 특정 공정하에서는 3.1절의 가설검정 내용과 같은 매우 복잡하고 까다로운 계산을 거쳐 가설 검정을 수행하여야 하지만, 논문에서 제안한 붓스트랩 방법을 통하여 보다 수월하게 검정을 할 수 있고 그리고 만족스러운 결과를 보여주고 있음을 알 수 있다.

후속연구

그리고 정리 1과 정리 2로부터 붓스트랩 일치성을 기초로 포괄적인 모의실험을 통하여 여러 가지 붓스트랩 방법의 AN, SB, PB, BCPB, STUD, HYB, ABC 신뢰구간의 효율성을 중심으로 공정능력지수 Cpmk에 대한 구간추정 연구를 수행하여 보다 유용한 결과를 얻었다 (Cho 등, 2004). 물론 정규근사방법의 신뢰구간을 포함하여 비교, 분석한 결과 SB방법과 STUD방법이 보다 효율적임을 입증하였고, 특히 STUD 방법을 본 논문에서의 가설검정 문제에 응용할 것이다.
위에서 제시한 이론적 근거(붓스트랩 일치성)로 2.2절에서의 붓스트랩 알고리즘에 의해 붓스트랩 표본을 독립적으로 B번 확률추출하여 다음을 계산함으로써 공정능력지수 C_pmk의 가설검정에 필요한 유의확률을 근사적으로 계산하게 될 것이다.
위의 절차에 의한 모의실험을 수행하여 붓스트랩 검정의 타당성을 연구하고자 하는 바, 우선 3.1절의 가설검정 방법보다 유용하게 활용할 수 있을 것이다. 다음의 표 1은 공정의 분포가 정규분포를 따른다는 가정 하에서 가설

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	붓스트랩 방법은 컴퓨터가 널리 사용됨에 따라 무엇에 효과적으로 활용할 수 있는가?	한편 붓스트랩 방법은 컴퓨터가 널리 사용되면서 통계량의 표본분포와 추정이나 가설검정 문제에 효과적으로 활용될 수 있는 바, Efron (1979) 등이 여러 통계학 분야에 전반적으로 사용하기 시작하였다. Diciccio와 Tibshirani (1987)는 붓스트랩 신뢰구간과 붓스트랩 근사를 그리고 Hall (1988)은 여러 가지 붓스트랩 신뢰구간들을 이론적으로 폭넓게 비교 ·연구하였다.
	6시그마 경영의 품질관리분야에서 널리 이용되고 있는 공정능력지수는 각 각 무엇인가?	단, USL은 규격상한이고 LSL은 규격하한이다. 또한, µ는 공정평균, σ는 공정 표준편차이고, T는 목표치이다.
	공정능력은 무엇을 뜻하는 것인가?	공정능력(Process Capability)이란 공정이 관리상태에 있을 때, 그 공정에서 생산되는 제품의 품질 변동이 어느 정도인가를 나타내는 중요한 개념이라고 할 수 있는 바, 많은 품질관리분야에서 공정능력 분석이 보다 적극적으로 활용되고 있다. 제조업분야든 서비스 산업분야이든 공정(Process)과 관련하여 측정된 자료로부터 품질변동이 작으면 그 공정의 공정능력은 좋다고 말하고, 품질변동이 크면 공정 능력이 나쁘다고 말한다.

참고문헌 (15)

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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