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문제 정의
- 미국과 일본 교과서의 경우를 간단히 살펴보자. CPMP에서 개발한 미국 고등학교 교과서(Coxford 외, 2003b)에서는 최댓값을 “An absolute maximum is a value M for which f(x) ≤ M for all values of x”와 같이 엄밀하게 정의하고 있다(p369).
- 본 연구에서는 2007년 개정 교과서 ‘수학Ⅱ’ 11종과 ‘미적분과 통계 기본’ 13종을 분석하여, 함수의 증감과 극대 · 극소를 다루는 방법에 있어서 이들 교과서의 문제점을 구체적으로 파악하고 개선 방안을 제시하려고 한다.
- 하지만, 미적분과 통계 기본 영역에서는 평균값의 정리를 사용하지 않으므로 함수의 증가와 감소를 증명할 수는 없다. 우선 미국과 일본 교과서의 사례를 간단히 살펴보자.
- 위 논의에서 수학적인 부분을 보다 명확하게 하기 위하여, 열린구간에서 정의된 함수의 정의역의 한 점 a에서 다음 명제들을 생각하여 보자.
- 이 연구에서 필자들은 2007년 개정 고등학교 교과서를 모두 분석하여 함수의 증가와 감소, 극대·극소 및 최대 · 최소와 관련된 정의 및 서술 내용의 문제점을 파악하고 그에 대한 개선안을 제시하였다.
- 이 연구에서는 당시 교과서에서 극대 · 극소를 정의하는 방식의 문제점을 살펴보고, 특히 최대 · 최소와 연관하여 어떤 오류를 범하고 있는지 분석하고 있다.
- 대부분 교과서의 정의를 따르자면 상수함수는 극댓값과 극솟값을 가지지 않게 되고, 따라서 <그림 5>에서 보는 함수 f(x)13)도 극댓값과 극솟값을 가지지 않는다. 이러한 결과가 각 교과서에서 어떤 모순을 초래하게 되는지 함수의 최대․ 최소와 관련지어 살펴보자.
가설 설정
- 정리 1: 함수 f(x)가 열린 구간에서 미분가능하고 f′(x) > 0이면 그 구간에서 증가함수이다.
- 정리 2: 함수 f(x)가 모든 점에서 증가상태이면이 함수는 증가함수이다.
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