이 연구는 초등학교 저학년 수학부진아들의 수세기 능력을 조사하고, 이를 토대로 수학부진아 지도를 위한 시사점을 도출하고자 하였다. 이를 위해 초등학교 2학년 수학부진아 4명을 실험군으로 하고, 4학년 수학부진아 4명과 2학년 일반 학생 2명을 비교군으로 하여, 일대일 면담을 실시하였다. 학생들의 수세기 능력은 정확성, 속도, 효율성의 세 가지 관점에서 분석되었으며, 연구 결과는 다음과 같다. 첫째, 저학년 수학부진아들의 수세기 능력은 매우 낮았으며, 사소한 실수나 체계적인 오류, 더딘 수행, 비효율적인 전략 구사 등의 문제점을 드러냈다. 둘째, 학년 상승과 더불어 수세기의 속도는 어느 정도 개선되지만, 수세기의 정확성이나 효율성은 크게 개선되지 않았다. 셋째, 수세기 능력과 연산 과제 수행 능력 간의 명확한 상관관계는 도출하지 못했지만 개연성이 있음은 확인하였다. 이상의 연구 결과를 통해, 저학년 수학부진아들에게 수세기 활동을 좀 더 강조해서 지도해야할 필요성이 있음을 이끌어 내었다.
이 연구는 초등학교 저학년 수학부진아들의 수세기 능력을 조사하고, 이를 토대로 수학부진아 지도를 위한 시사점을 도출하고자 하였다. 이를 위해 초등학교 2학년 수학부진아 4명을 실험군으로 하고, 4학년 수학부진아 4명과 2학년 일반 학생 2명을 비교군으로 하여, 일대일 면담을 실시하였다. 학생들의 수세기 능력은 정확성, 속도, 효율성의 세 가지 관점에서 분석되었으며, 연구 결과는 다음과 같다. 첫째, 저학년 수학부진아들의 수세기 능력은 매우 낮았으며, 사소한 실수나 체계적인 오류, 더딘 수행, 비효율적인 전략 구사 등의 문제점을 드러냈다. 둘째, 학년 상승과 더불어 수세기의 속도는 어느 정도 개선되지만, 수세기의 정확성이나 효율성은 크게 개선되지 않았다. 셋째, 수세기 능력과 연산 과제 수행 능력 간의 명확한 상관관계는 도출하지 못했지만 개연성이 있음은 확인하였다. 이상의 연구 결과를 통해, 저학년 수학부진아들에게 수세기 활동을 좀 더 강조해서 지도해야할 필요성이 있음을 이끌어 내었다.
This study has planned to understand the counting ability of mathematical low achievers(MLAs) in low grades of elementary school. For this, four MLAs of second graders were chosen as a experimental group and four MLAs of fourth graders and two mid-achievers of second grades were chosen as a comparis...
This study has planned to understand the counting ability of mathematical low achievers(MLAs) in low grades of elementary school. For this, four MLAs of second graders were chosen as a experimental group and four MLAs of fourth graders and two mid-achievers of second grades were chosen as a comparison group. Every students were individually interviewed and their data were analyzed with three respects: accuracy, speed, efficiency. The results are the following three. First, the experimental group is still not used to counting. They counted slowly, made many mistakes and errors, and used inefficient strategies during counting. Second, It is hard to expect natural improvement of their counting performance as growing up. Finally, the explicit correlation between counting ability and arithmetic ability is not drown in this study, but the possibility still remains. These results tell us that we need to stress counting activity to MLAs when they are low graders.
This study has planned to understand the counting ability of mathematical low achievers(MLAs) in low grades of elementary school. For this, four MLAs of second graders were chosen as a experimental group and four MLAs of fourth graders and two mid-achievers of second grades were chosen as a comparison group. Every students were individually interviewed and their data were analyzed with three respects: accuracy, speed, efficiency. The results are the following three. First, the experimental group is still not used to counting. They counted slowly, made many mistakes and errors, and used inefficient strategies during counting. Second, It is hard to expect natural improvement of their counting performance as growing up. Finally, the explicit correlation between counting ability and arithmetic ability is not drown in this study, but the possibility still remains. These results tell us that we need to stress counting activity to MLAs when they are low graders.
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문제 정의
간단한 덧셈과 뺄셈 과제는 학생들의 수세기 능력과 연산 사이의 상관관계를 알아보기 위해 수행되었다. 학생들에게 제시된 문제는 덧셈 2문제(48+5, 89+9)와 뺄셈 2문제(42-7, 76-9)로, 카드에 적힌 문제를 하나씩 보여주면서 머리로만 계산하게 하였다.
따라서 이 장에서는 수세기를 ‘말로 세기’, ‘구체물 세기’, ‘그림 자료 세기’의 세 가지 유형으로 구분하여 살펴보고자 한다.
이 조사를 통해 알고자 했던 점은 수세기 능력이 유치원 교육을 제대로 받지 못한 저학년 수학부진아들에게 어느 정도 형성되어 있는가 하는 것이며, 부진아라 할지라도 수세기와 같은 초보적인 능력은 학년 상승과 더불어 향상될 수 있는가 하는 것이다. 또한 수세기 능력이 간단한 연산 능력에 어떻게 영향을 미치는가 하는 것이다.
구체적인 연구 문제는 다음과 같이 세 가지다. 첫째, 초등학교 저학년 수학부진아들의 수세기 능력은 어느 정도인가? 둘째, 수학부진 아의 수세기 능력은 학년 상승에 따라 개선될 여지가 있는가? 셋째, 수세기 능력과 간단한 수 연산 능력 간의 상관관계가 존재하는가? 이 연구는 이를 위해 인천의 한 초등학교에서 수학 부진아로 판정받은 2학년 학생과 4학년 학생 각각 4명, 그리고 2학년 일반 학생 2명을 선발하여, 연구자와 일대일 면담을 실시하였다.
이 연구는 수세기가 초등학교 저학년 수와 연산 학습에 기초가 되는 기능임을 가정하고, 초등학교 저학년 학생 가운데 수학부진아로 판정 받은 학생들의 수세기 능력을 조사하고자 한다. 구체적인 연구 문제는 다음과 같이 세 가지다.
수학 부진아 문제는 어제 오늘의 문제는 아니지만, 의외로 수학 부진아 지도에 도움이 될 만한 실제적인 연구는 많지 않다. 이 연구는 수학 부진아 지도를 위한 토대를 쌓는다는 생각으로, 초등수학교육에서 가장 기초가 되는 개념 가운데 하나인 수세기를 선택하여, 수학 부진아들의 수세기 능력을 검사하고 그 결과를 정리하였다. 이 조사를 통해 알고자 했던 점은 수세기 능력이 유치원 교육을 제대로 받지 못한 저학년 수학부진아들에게 어느 정도 형성되어 있는가 하는 것이며, 부진아라 할지라도 수세기와 같은 초보적인 능력은 학년 상승과 더불어 향상될 수 있는가 하는 것이다.
가설 설정
구체적인 연구 문제는 다음과 같이 세 가지다. 첫째, 초등학교 저학년 수학부진아들의 수세기 능력은 어느 정도인가? 둘째, 수학부진 아의 수세기 능력은 학년 상승에 따라 개선될 여지가 있는가? 셋째, 수세기 능력과 간단한 수 연산 능력 간의 상관관계가 존재하는가? 이 연구는 이를 위해 인천의 한 초등학교에서 수학 부진아로 판정받은 2학년 학생과 4학년 학생 각각 4명, 그리고 2학년 일반 학생 2명을 선발하여, 연구자와 일대일 면담을 실시하였다.
제안 방법
둘째, 저학년 수학부진아들의 수세기 능력 중 일부는 학년상승과 더불어 자연스럽게 개선될 가능성이 낮다. 4학년 부진학생들은 거꾸로 세기를 정확하게 구사하지 못했으며, 구체물을 세고, 그림 자료를 세는 데 비효율적 전략을 구사하였다. 그러나 거의 모든 영역에서 과제를 완수하는데 요구되는 시간은 학년 상승과 더불어 줄어드는 것으로 나타났다.
구체물 세기는 정확성과 속도뿐만 아니라 효율적인 전략을 구사하는지의 여부도 함께 분석하였다. 조사결과, 2학년 부진아들은 이 세 가지 측면에서 모두 일반 아동보다 뒤졌다.
이 연구에서는 수세기 능력을 '주어진 수나 사물을 효율적인 전략을 선택하여(효율성), 정확하고(정확성), 빠르게 세는(속도) 정도'로 규정하였다. 그리고 학생들의 수세기 실행을 이 세 가지 관점에서 분석하였다. 먼저 효율성과 관련하여서는 구체물이나 시각자료를 셀 때 묶기를 이용하는지의 여부를 관찰하였다.
마지막으로 속도와 관련하여서는 관찰자가 ‘시작’이라는 외침에서부터 학생이 실행을 완료하는 시점까지의 경과시간을 0.01초 단위의 초시계를 이용하여 측정하였다.
그리고 학생들의 수세기 실행을 이 세 가지 관점에서 분석하였다. 먼저 효율성과 관련하여서는 구체물이나 시각자료를 셀 때 묶기를 이용하는지의 여부를 관찰하였다. 묶기 가운데도 5씩 혹은 10씩 묶기를 3씩 혹은 4씩 묶기보다 상위 전략으로 해석하였다.
구체적인 연구 문제는 다음과 같이 세 가지다. 첫째, 초등학교 저학년 수학부진아들의 수세기 능력은 어느 정도인가? 둘째, 수학부진 아의 수세기 능력은 학년 상승에 따라 개선될 여지가 있는가? 셋째, 수세기 능력과 간단한 수 연산 능력 간의 상관관계가 존재하는가? 이 연구는 이를 위해 인천의 한 초등학교에서 수학 부진아로 판정받은 2학년 학생과 4학년 학생 각각 4명, 그리고 2학년 일반 학생 2명을 선발하여, 연구자와 일대일 면담을 실시하였다.
이 연구에서는 수세기 능력을 '주어진 수나 사물을 효율적인 전략을 선택하여(효율성), 정확하고(정확성), 빠르게 세는(속도) 정도'로 규정하였다.
묶기 가운데도 5씩 혹은 10씩 묶기를 3씩 혹은 4씩 묶기보다 상위 전략으로 해석하였다. 정확성과 관련하여서는 수의 계열을 중복해서 말하거나, 빠뜨리거나, 순서를 잘못 말하는 지의 여부를 관찰하였다. 마지막으로 속도와 관련하여서는 관찰자가 ‘시작’이라는 외침에서부터 학생이 실행을 완료하는 시점까지의 경과시간을 0.
01초 단위의 초시계를 이용하여 측정하였다. 측정결과는 측정오차를 감안하여 소수 첫째자리에서 반올림한 수치를 기록하였다.
학생 면담은 2009년 6월 4일과 5일 이틀간 방과 후 시간에 실시되었다. 면담에 참여한 학생은 인천시 A 초등학교에서 자체 실시한 진단평가에서 부진아로 판정받아 방과 후 보충수업을 받는 학생 가운데, 지도교사의 추천을 받은 학생들로 구성되었다.
간단한 덧셈과 뺄셈 과제는 학생들의 수세기 능력과 연산 사이의 상관관계를 알아보기 위해 수행되었다. 학생들에게 제시된 문제는 덧셈 2문제(48+5, 89+9)와 뺄셈 2문제(42-7, 76-9)로, 카드에 적힌 문제를 하나씩 보여주면서 머리로만 계산하게 하였다. 조사결과, 모든 수준에서 뺄셈이 덧셈 보다 난도가 높은 과제임이 드러났다.
학생들은 불규칙 배열에 대해서는 모두 낱개 세기를 적용하여 실패한 반면, 규칙 배열에 대해서는 모든 수준에서, 절반의 학생들이 낱개 세기와 10씩 묶어 세기를 선택하였다. 이를 통해 규칙 배열 과제가 학생으로 하여금 묶어 세기를 하도록 유도함을 알 수 있다.
대상 데이터
학생 면담은 2009년 6월 4일과 5일 이틀간 방과 후 시간에 실시되었다. 면담에 참여한 학생은 인천시 A 초등학교에서 자체 실시한 진단평가에서 부진아로 판정받아 방과 후 보충수업을 받는 학생 가운데, 지도교사의 추천을 받은 학생들로 구성되었다. 실험집단은 2학년 수학부진아 4명으로 선정하였으며, 비교 집단은 2학년 중위권 2명과 4학년 수학부진아 4명으로, 총 10명의 학생을 개별 면담하였다.
면담에 참여한 학생은 인천시 A 초등학교에서 자체 실시한 진단평가에서 부진아로 판정받아 방과 후 보충수업을 받는 학생 가운데, 지도교사의 추천을 받은 학생들로 구성되었다. 실험집단은 2학년 수학부진아 4명으로 선정하였으며, 비교 집단은 2학년 중위권 2명과 4학년 수학부진아 4명으로, 총 10명의 학생을 개별 면담하였다. 저학년 부진아 대표집단으로 2학년을 선택한 이유는 연구대상학교가 1학년 1학기에 수학 부진아를 선발하지 않기 때문이다.
조사 내용은 크게 수세기와 간단한 덧·뺄셈으로 구성되었다.
성능/효과
그러나 학년이 상승함에 따라 거꾸로 세기의 속도가 개선되는 것으로 나타났다. 2학년 부진 그룹이 평균 3분 28초를 사용한데 비해 4학년 부진 그룹은 평균 2분 13초를 사용하였는데, 이를 긍정적으로 보면 부분 구간에서 유창성이 향상된 것으로 해석할 수 있으며, 부정적으로 보면 정확성을 획득하지 못한 채 속도만 증가함으로써 잘못된 절차를 고착화할 가능성이 높아지고 있는 것으로 해석할 수 있다. 이상의 내용을 정리하면, 저학년 부진 아동의 거꾸로 세기 능력은 정확성이나 속도 두 가지 측면에서 모두 매우 낮으며, 학년 상승에 따른 정확성의 향상을 기대하기 어려울 것으로 예상된다.
말로 세기, 구체물세기, 그림자료 세기에서 일반 아동보다 수행 능력이 떨어졌으며, 사소한 실수나 체계적인 오류, 더딘 수행, 비효율적인 전략 구사 등의 문제점을 드러냈다. 둘째, 저학년 수학부진아들의 수세기 능력 중 일부는 학년상승과 더불어 자연스럽게 개선될 가능성이 낮다. 4학년 부진학생들은 거꾸로 세기를 정확하게 구사하지 못했으며, 구체물을 세고, 그림 자료를 세는 데 비효율적 전략을 구사하였다.
이것은 학생들이 제시된 뺄셈 과제를 수행하는 데 있어 거꾸로 세기를 이용하지 않았다는 것을 뜻한다. 따라서 이 연구에서 의도한 뺄셈 과제 수행 능력과 거꾸로 세기 능력 간의 상관관계는 도출할 수 없었다. 다만 뺄셈 과제를 정확하고 빠르게 답한 A3, A4, C1의 거꾸로 세기 능력이 비교적 우수한 점을 감안하면, 이 두 과제 간의 상관관계가 존재할 가능성을 배제하기 어렵다.
연구 과정에서 드러났듯이, 부진아들은 학년이 상승함에 따라 자신감 정도가 심하게 떨어지므로, 저학년에서 조속한 조치가 취해져야 한다. 또한 수세기 가운데 거꾸로 세기는 일반 아동들도 유창하게 하지 못하는 난도가 높은 과제임을 드러났다. 이를 통해 수세기가 암기력 이외에도 규칙을 발견하고, 일정하게 적용하는 등의 수학적 능력이 요구되는 수준 높은 과제로, 초등교육과정에서 보다 강조되어 지도되어야 한다는 점도 시사 받았다.
첫째, 저학년 수학부진아들의 수세기 능력은 거의 모든 영역에서 일반 아동에 비해 떨어지는 것으로 조사되었다. 말로 세기, 구체물세기, 그림자료 세기에서 일반 아동보다 수행 능력이 떨어졌으며, 사소한 실수나 체계적인 오류, 더딘 수행, 비효율적인 전략 구사 등의 문제점을 드러냈다. 둘째, 저학년 수학부진아들의 수세기 능력 중 일부는 학년상승과 더불어 자연스럽게 개선될 가능성이 낮다.
몇십일 오류에서 가장 전형적으로 나타나는 오류는 ‘81,70,79,78, ···’와 같이 81 다음의 수로 70을 말하는 것이며, ‘81, 79, 78, ···’식으로 80을 건너뛰어 말하는 학생도 있었다.
구체물 세기 과제에서는 대부분의 아동들이 묶어 세기 전략을 사용하였는데, 이를 통해 고정되어 있는 그림 과제보다는 움직일 수 있는 구체물 과제가 묶어 세기 전략의 사용을 더 촉진한다는 것을 알 수 있다. 모든 그룹이 그림자료 세기 과제를 능숙하게 처리하지 못했으나, 속도면에서는 2학년 부진아동이 여전히 뒤처지는 것으로 나타났다.
학생들의 활동은 주어진 과제를 얼마나 정확하고(정확성) 빠르게 셀 수있는가(속도)의 관점에서 분석되었다. 분석 결과, 실험 대상자인 2학년 부진 그룹은 정확성과 속도의 측면 모두에서 2학년 일반 그룹 보다 뒤지는 것으로 나타났으나, 그 정도가 심각한 것은 아니었다. 또한 4학년 부진 그룹의 수행으로 미루어 보건데, 말로 세기 능력은 학년 상승과 더불어 향상될 여지가 있다.
뿐만 아니라 제시된 수만큼 세는 과제의 경우, 아동들이 ‘37요?’ 혹은 ‘35요?’ 와 같은 식으로 후반부에 문제를 되묻는 현상을 보였다. 이것으로 후자의 과제에 대해 아동들이 기억부담을 느낀다는 것이 확인되었으며, 난도 측면에서 전자의 과제보다 높은 것으로 나타났다.
2학년 부진 그룹이 평균 3분 28초를 사용한데 비해 4학년 부진 그룹은 평균 2분 13초를 사용하였는데, 이를 긍정적으로 보면 부분 구간에서 유창성이 향상된 것으로 해석할 수 있으며, 부정적으로 보면 정확성을 획득하지 못한 채 속도만 증가함으로써 잘못된 절차를 고착화할 가능성이 높아지고 있는 것으로 해석할 수 있다. 이상의 내용을 정리하면, 저학년 부진 아동의 거꾸로 세기 능력은 정확성이나 속도 두 가지 측면에서 모두 매우 낮으며, 학년 상승에 따른 정확성의 향상을 기대하기 어려울 것으로 예상된다.
또한 4학년 부진아 중 1명은 여전히 낱개 세기에 의존하는 모습을 보였다. 이상의 내용을 정리하면, 저학년 수학 부진아의 구체물 세기 능력은 매우 취약하며, 학년이 상승해도 5나 10으로 묶는 효율적인 전략을 스스로 개발할 여지가 많지 않음을 알 수 있다.
이 연구 결과에서도 그와 유사한 결과가 나왔다. 정확성 측면에서는 두 과제에 대해 별다른 차이가 없었으나, 제시된 수가 37로 모두 세기 과제에 제시된 수 66보다 작았음에도 불구하고, 과제수행 시간이 전반적으로 더 길게 나왔다. 뿐만 아니라 제시된 수만큼 세는 과제의 경우, 아동들이 ‘37요?’ 혹은 ‘35요?’ 와 같은 식으로 후반부에 문제를 되묻는 현상을 보였다.
구체물 세기는 정확성과 속도뿐만 아니라 효율적인 전략을 구사하는지의 여부도 함께 분석하였다. 조사결과, 2학년 부진아들은 이 세 가지 측면에서 모두 일반 아동보다 뒤졌다. 먼저 정확성의 관점에서 보면, 66개를 세는 ‘모두 세기’ 과제에서 4명 중 2명이 정답과 상당히 거리가 먼 70과 44를 답으로 제시하였다.
학생들에게 제시된 문제는 덧셈 2문제(48+5, 89+9)와 뺄셈 2문제(42-7, 76-9)로, 카드에 적힌 문제를 하나씩 보여주면서 머리로만 계산하게 하였다. 조사결과, 모든 수준에서 뺄셈이 덧셈 보다 난도가 높은 과제임이 드러났다. 덧셈은 2학년 부진 학생 1명을 제외한 나머지 학생들이 정답을 제시한 반면, 뺄셈은 각 그룹에서 절반의 학생만이 정답을 제시하였다(<표 III-8>).
연구 초기에 설정한 이 세 가지 연구 문제에 따라 연구 결과를 정리하면 다음과 같다. 첫째, 저학년 수학부진아들의 수세기 능력은 거의 모든 영역에서 일반 아동에 비해 떨어지는 것으로 조사되었다. 말로 세기, 구체물세기, 그림자료 세기에서 일반 아동보다 수행 능력이 떨어졌으며, 사소한 실수나 체계적인 오류, 더딘 수행, 비효율적인 전략 구사 등의 문제점을 드러냈다.
후속연구
또한 집중력이 없는 부진아를 대상으로 실시하다 보니, 한 학생에게 충분한 수의 과제와 문항을 제시하지 못하였다. 따라서 이 연구의 결과를 저학년 부진아 전체로 일반화하는 것은 무리이며, 차후 충분한 수의 연구대상자와 연구 인력이 확보된 상태에서 연구가 수행되길 희망한다. 또한 부진아들의 학년상승에 따른 변화를 알아보기 위해서는 동일인을 대상으로 장기간 수행되는 종적 연구가 바람직할 것이다.
따라서 이 연구의 결과를 저학년 부진아 전체로 일반화하는 것은 무리이며, 차후 충분한 수의 연구대상자와 연구 인력이 확보된 상태에서 연구가 수행되길 희망한다. 또한 부진아들의 학년상승에 따른 변화를 알아보기 위해서는 동일인을 대상으로 장기간 수행되는 종적 연구가 바람직할 것이다.
그러나 거의 모든 영역에서 과제를 완수하는데 요구되는 시간은 학년 상승과 더불어 줄어드는 것으로 나타났다. 마지막으로, 이 연구에서는 저학년 부진아들의 수세기 능력과 연산 과제 수행 능력 간의 명확한 상관관계는 도출하지 못했다. 그러나 이 연구에 참여한 아동이 거꾸로 세기 보다는 앞으로 세기 과제를, 뺄셈과제 보다는 덧셈과제를 훨씬 쉽게 수행하였다는 점은 주목해야할 사항이다.
이상의 내용을 종합해 보면, 저학년 수학 부진아들에게 수세기를 좀 더 강조해서 지도해야 할 필요가 있음을 알 수 있다. 이 연구에 참여한 대부분의 수학부진아들이 편모, 편부, 혹은 조부모 가정에서 보호자의 관심을 제대로 받지 못하고 성장하고 있음을 감안한다면, 저학년 부진아 지도에서는 그것이 비록 유치원 교육과정이라 해도, 초등교육과정에 기초가 되는 내용이라면 엄선해서 지도할 필요가 있다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
수세기는 어떤 기술을 요구하는가?
수세기는 적어도 두 개의 독립적인 기술을 요구한다. 첫째, “하나, 둘, 셋, …” 등과 같이 수세기 용어의 표준 목록을 순서대로 말할 수 있어야 한다. 둘째, 이 계열을 세고자 하는 사물과 일대일 대응하는 방식으로 연결할 수 있어야 한다. 수세기의 능력의 발달은 전적으로 경험과 안내에 의존한다.
수세기 속도가 보장되지 않으면 어떤 문제가 생기는가?
수를 능숙하게 센다는 것은 정확하고 빠르게 센다는 것을 의미한다. 정확성과 속도 가운데 먼저 도달해야할 것은 정확성이지만, 속도가 보장되지 않으면 수 개념 형성에 문제를 초래하여, 차후 큰 수를 대상으로 하는 계산이나 개념학습이 지체되는 원인이 되기도 한다. 따라서 부진아 지도에 앞서 부진아들의 수세기 속도를 점검할 필요가 있다.
아동이 3~5세가 되면 말로 세기를 하는데 이것을 '기계적 세기'라고 하는 이유는?
말로 세기란 “하나, 둘, 셋, …” 등과 같이 수의 이름을 순서대로 나열하는 것을 말한다. 아동들은 3~5세가 되면 이미 말로 세기를 할 수 있는데, 이것은 알파벳을 익히는 것과 같이 그저 수의 이름을 계열적으로 암기하는 것과 같기 때문에 기계적 세기(rote counting)라고도 한다. 말로 세기를 능숙하게 한다는 것은 수의 이름을 빠지거나 중복됨 없이 순서대로 정확하게 말할 수 있음을 의미하지만, 이 능력을 통해 일대일 대응이나 수개념 형성을 평가하지는 못한다.
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