[논문]상관성과 단순선형회귀분석

박선일; 오태호

상관성과 단순선형회귀분석
Correlation and Simple Linear Regression 원문보기

Journal of veterinary clinics = 한국임상수의학회지, v.27 no.4 = no.75, 2010년, pp.427 - 434

박선일 (강원대학교 수의과대학 및 동물의학종합연구소) , 오태호 (경북대학교 수의과대학)

Abstract ▼ AI-Helper

Correlation is a technique used to measure the strength or the degree of closeness of the linear association between two quantitative variables. Common misuses of this technique are highlighted. Linear regression is a technique used to identify a relationship between two continuous variables in mathematical equations, which could be used for comparison or estimation purposes. Specifically, regression analysis can provide answers for questions such as how much does one variable change for a given change in the other, how accurately can the value of one variable be predicted from the knowledge of the other. Regression does not give any indication of how good the association is while correlation provides a measure of how well a least-squares regression line fits the given set of data. The better the correlation, the closer the data points are to the regression line. In this tutorial article, the process of obtaining a linear regression relationship for a given set of bivariate data was described. The least square method to obtain the line which minimizes the total error between the data points and the regression line was employed and illustrated. The coefficient of determination, the ratio of the explained variation of the values of the independent variable to total variation, was described. Finally, the process of calculating confidence and prediction interval was reviewed and demonstrated.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

본 예에서는 연령과 BUN 농도의 관계에 대한 회귀식을 설명하였으며, 관심이 있는 독자는 BUN과 크레아티닌 농도의 관계에 대한 회귀식을 적합해보기 바란다.
전자는 이를테면 Table 1의 자료에서 독립변수 즉 환자의 연령 x가 x0일 때 종속변수인 평균 크레아티닌 농도(µ0)에 대한 점추정치(point estimate, ŷ0)를 알고자 하는 것이다.
회귀식의 용도는 측정하지 않은 미래의 관찰치에 대한 예측(prediction)에 있으며 예측은 종속변수의 평균값에 대한 추정과 종속변수의 개별 관찰치에 대한 추정 등 두가지 목적으로 수행된다. 전자는 이를테면 Table 1의 자료에서 독립변수 즉 환자의 연령 x가 x₀일 때 종속변수인 평균 크레아티닌 농도(µ₀)에 대한 점추정치(point estimate, ŷ₀)를 알고자 하는 것이다.

가설 설정

두 변수 간 선형 상관관계 여부는 상관계수 r=0이라는 귀무가설을 검정한다. Table 1의 자료를 분석하면 모집단 상관계수가 0이라는 귀무가설을 기각하고 BUN 농도와 연령은 선형관계가 있다는 결론을 얻는다(p < 0.
둘째, 상관분석의 경우 두 변수가 정규분포를 따르는 반면, 회귀분석에서는 종속변수가 정규분포이고 종속변수의 변동이 독립변수의 모든 값에 대하여 동일해야 한다. 셋째, 두 분석 모두 두 변수 간 선형관계를 가정한다. 흔히 이러한 가정의 충족여부는 일차적으로 산점도를 이용하여 평가하며, 스크리링 과정을 거친 후 보다 정밀한 분석은 적합된 값 (y축)과 잔차 (x축)에 대한 잔차분석(residual analysis)으로 수행된다.
상관분석과 회귀분석을 사용하기 위해서는 몇가지 가정을 전제로 한다. 첫째, 관찰 자료가 독립성을 만족해야 한다. 둘째, 상관분석의 경우 두 변수가 정규분포를 따르는 반면, 회귀분석에서는 종속변수가 정규분포이고 종속변수의 변동이 독립변수의 모든 값에 대하여 동일해야 한다.

데이터처리

두 연속변수(continuous variable) 간의 관계를 평가하는 목적으로 상관분석(correlation)과 회귀분석(regression)을 사용한다(1,5). 일반적으로 두 변수의 관계는 방향(direction)과 강도(strength)로 설명되는데 방향은 양(positive) 혹은 음(negative)의 관계이고, 크기는 연관성(association)의 크기를 나타낸다.

이론/모형

Pearson 상관계수는 모수적 기법이고 이에 상응하는 비모수기법으로는 Spearman’s 순위(rank) 상관계수(rho, ρ)를 사용한다(3).

성능/효과

극단적인 예로 개별 집단에서는 음의 상관관계가 전체 자료에서는 양의 상관관계를 보이는 경우도 있다(Fig 5). 넷째, 상관계수가 높다는 결과를 두 측정치 간의 일치도(agreement)가 높다고 해석하는 것은 잘못된 것이다. 일치도 분석이 연구의 목적이라면 다른 분석기법을 사용하는 것이 바람직하다(4).
이 경우 환자의 질병경과는 두 변수의 상관관계에 영향을 미치기 때문에 분석시 질병경과를 보정하여 상관계수를 계산할 필요가 있다. 둘째, r = 0은 두 변수 간 상관관계가 없다는 것을 의미하는 것이 아니다. 두 변수 간 선형관계는 없지만 비선형관계가 존재할 수 있다(Fig 3).
첫째, 분산의 동질성(constant variance)은 독립변수 x의 특정한 값 x_i에 상응하는 종속변수의 값은 x_i에 무관하게 동일한 분산 σ²을 갖는다는 것을 의미한다. 둘째, 독립성(independence)은 종속변수 y의 값은 모든 다른 y값과 통계적으로 상호 독립이다. 이는 특정한 x값에 상응하는 y값들은 다른 x값에 상응하는 y값과 관련이 없다는 것으로 이를테면 시간(time)대별로 반복하여 측정한 자료는 독립성 가정에 위배된다.
첫째, 관찰 자료가 독립성을 만족해야 한다. 둘째, 상관분석의 경우 두 변수가 정규분포를 따르는 반면, 회귀분석에서는 종속변수가 정규분포이고 종속변수의 변동이 독립변수의 모든 값에 대하여 동일해야 한다. 셋째, 두 분석 모두 두 변수 간 선형관계를 가정한다.
두 변수 간 선형관계는 없지만 비선형관계가 존재할 수 있다(Fig 3). 셋째, 두 변수 간의 관계를 하부집단(subgroup)으로 구분할 수 있는 경우 하부집단별 상관계수에 비하여 전체 자료의 상관계수가 과장되어 나타날 수 있다(Fig 4). Table 1의 자료에서 BUN 농도와 연령간의 관계에서 전체 자료의 상관계수는 0.
요약하면 x0= 44일 때 이 환자에서 기대할 수 있는 (미래의) BUN 농도(µ0)의 점추정치는 24.2 mg/dl이고, 이러한 점추정치가 13.5 − 43.4 mg/dl 범위에 해당하는 것을 95% 신뢰한다고 해석한다.
요약하면 x0= 44일 때 평균 BUN 농도(µ0)의 점추정치는 24.2 mg/dl이고, 평균값이 20.8에서 28.1 mg/dl이라는 것을 95% 신뢰한다고 해석한다.
첫째, 분산의 동질성(constant variance)은 독립변수 x의 특정한 값 xi에 상응하는 종속변수의 값은 xi에 무관하게 동일한 분산 σ2을 갖는다는 것을 의미한다.

후속연구

이를테면 특정 질병으로 진단받은 개에서 혈청 blood urea nitrogen (BUN)과 크레아티닌(creatinine) 농도 간의 관련성을 평가하는 연구에서 연구자가 혈청 BUN 농도 수준을 크레아티닌 농도로 예측할 수 있는지에 관심을 두는 경우다. 또한 크레아티닌 농도와 사구체 여과율(glomerular filtration rate) 간의 관계, 개의 연령과 홍역 백신 역가간의 관계, 약물 투여 후 시간경과에 따른 대사율의 관계 등은 이러한 분석을 필요로 한다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	예측을 수행하는 두 가지 목적은 무엇인가?	회귀식의 용도는 측정하지 않은 미래의 관찰치에 대한 예측(prediction)에 있으며 예측은 종속변수의 평균값에 대한 추정과 종속변수의 개별 관찰치에 대한 추정 등 두가지 목적으로 수행된다. 전자는 이를테면 Table 1의 자료에서 독립변수 즉 환자의 연령 x가 x0일 때 종속변수인 평균 크레아티닌 농도(µ0)에 대한 점추정치(point estimate, )를 알고자 하는 것이다.
	상관계수 값의 범위는 무엇이며, 상관계수 값에 따른 선형관계의 해석은 어떠한가?	즉 산점도에서 관찰치들이 직선 상에 위치하면 두 변수 간의 선형관계가 강하다는 것을 의미한다. 상관계수는 −1과 1 사이의 값을 갖고 1에 근사할수록 양(positive)의 선형관계가 매우 강하고, -1에 근사할수록 음(negative)의 선형관계가 매우 강하며, 0에 근사하면 선형관계가 없다고 해석한다(Fig. 2).
	산점도에서 x축과 y축은 각각 무엇이라고 하는가?	두 변수 간의 연관성을 분석하는 전통적인 방법은 한 변수에 대한 측정값을 x축으로 하고 이에 대응하는 다른 변수의 측정값을 y축으로 설정하여 모든 자료를 산점도(scatter diagram, scatter plot)로 표현하는 것이다. 여기에서 x축을 독립변수(independent variable), 설명변수(explanatory), 예측변수(predictor)라고 하며, y축은 종속변수(dependent), 반응변수(response), 결과변수(outcome)라고 한다. 예를 들어 질병 ‘a’로 진단받은 개의 혈청 BUN과 크레아티닌 농도를 측정한 자료(Table 1)에 대하여 산점도를 그려보면 두 변수는 대략적으로 양의 관계가 있는 것으로 판단된다(Fig 1).

참고문헌 (7)

Bewick V, Cheek L, Ball J. Statistical review 7: correlation and regression. Crit Care 2003; 7: 451-459

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Bland M, Altman DG. Statistical methods for assessing agreement between two methods of clinical measurement. Lancet 1986; I: 307-310.
Daniel WW. Applied nonparametric statistics. 2nd ed. Thompson Information Publishing Group, Boston, 1990.
Fleiss JL. Statistical methods for rates and proportions. 2nd ed. pp. 212-236, Wiley & Sons, New York, NY, 1981.
Glantz SA, Slinker BK. Primer of applied regression and analysis of variance. McGraw-Hill, New York, 1990.
Zar JH. Biostatistical analysis. 4th ed. pp. 381-386, Prentice-Hall International, UK, 1999.
Zou KH, Tuncali K, Silverman SG. Correlation and simple linear regression. Radiology 2003; 227: 617-622.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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