확률적 사고 수준의 의미를 밝히고 이를 고려하여 교육하는 관점에 대한 강조가 국내외 많은 연구자들에 의해 이루어져 왔다. 그러나 국내외 영재교육 연구에서는 확률 영역의 소재를 활용하는 경우가 매우 드물고, 영재아들이 확률적으로 어떤 수준에 있는지, 이를 어떻게 확인하고 교육에 반영할 것인지에 대한 연구도 거의 없다. 이 연구에서는 확률적 사고 수준의 의미를 살펴보고, 영재교육을 통해 확률적 사고수준과 수준의 상승을 관찰할 수 있는지, 영재교육 담당 교사 연수에 참여한 교사들이 이에 대해 어떻게 파악하는지 알아보았다. 연구 결과, 영재아들은 선행연구에서 제시한 확률적 사고 수준보다 높은 수준을 보였으며, 문제를 해결하면서 수준의 상승을 보였다. 교사들은 확률 과제와 학생들의 반응을 세부적으로 분석하여, 확률 과제를 이용한 영재교육의 의미와 가능성, 관찰평가 방안 등에 대한 인식을 획득하였다.
확률적 사고 수준의 의미를 밝히고 이를 고려하여 교육하는 관점에 대한 강조가 국내외 많은 연구자들에 의해 이루어져 왔다. 그러나 국내외 영재교육 연구에서는 확률 영역의 소재를 활용하는 경우가 매우 드물고, 영재아들이 확률적으로 어떤 수준에 있는지, 이를 어떻게 확인하고 교육에 반영할 것인지에 대한 연구도 거의 없다. 이 연구에서는 확률적 사고 수준의 의미를 살펴보고, 영재교육을 통해 확률적 사고수준과 수준의 상승을 관찰할 수 있는지, 영재교육 담당 교사 연수에 참여한 교사들이 이에 대해 어떻게 파악하는지 알아보았다. 연구 결과, 영재아들은 선행연구에서 제시한 확률적 사고 수준보다 높은 수준을 보였으며, 문제를 해결하면서 수준의 상승을 보였다. 교사들은 확률 과제와 학생들의 반응을 세부적으로 분석하여, 확률 과제를 이용한 영재교육의 의미와 가능성, 관찰평가 방안 등에 대한 인식을 획득하였다.
Several researches have been done on the meaning of probabilistic thinking level and its pedagogical implication. However, there is lack of trials of using topics in probability to educate mathematically gifted students. As a result, we don't have sound understanding on gifted students' probabilisti...
Several researches have been done on the meaning of probabilistic thinking level and its pedagogical implication. However, there is lack of trials of using topics in probability to educate mathematically gifted students. As a result, we don't have sound understanding on gifted students' probabilistic thinking level and how to facilitate it through educational program. This study examines the meaning of probabilistic thinking level, develops and applies tasks in probability for gifted education. Having the analysis of the student responses, this study tries to investigate how teachers who participate in an in-service teacher education program interpret the developed tasks and student responses. In conclusion, this study shows the possible approach of gifted education using probability tasks to facilitate gifted students' probabilistic thinking level and its potential in identification of giftedness through observation.
Several researches have been done on the meaning of probabilistic thinking level and its pedagogical implication. However, there is lack of trials of using topics in probability to educate mathematically gifted students. As a result, we don't have sound understanding on gifted students' probabilistic thinking level and how to facilitate it through educational program. This study examines the meaning of probabilistic thinking level, develops and applies tasks in probability for gifted education. Having the analysis of the student responses, this study tries to investigate how teachers who participate in an in-service teacher education program interpret the developed tasks and student responses. In conclusion, this study shows the possible approach of gifted education using probability tasks to facilitate gifted students' probabilistic thinking level and its potential in identification of giftedness through observation.
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문제 정의
이 연구에서는 확률 영역의 과제를 활용하여 영재아를 교육할 때 어떤 특성을 발견할 수 있는지, 특히, 비결정론적인 관점을 어떻게 발전시키는지, 확률적 사고 수준의 상승을 관찰할 수 있는지 살펴본다. 또한, 영재교육을 담당하는 교사들이 학생들의 활동 자료를 분석하여 확률적 사고 수준의 향상을 어떻게 파악하고 기술하는지 등을 살펴본다.
그러므로 선행 연구에서 제시한 평가틀을 보완한 영재아용 확률적 사고 수준 평가틀을 개발하여 적용하려는 시도가 필요하다. 무엇보다 영재아들이 기존 연구에서 제시한 가장 높은 수준의 사고를 하는지 확인하고, 만약 그 이상의 수준에 해당하는 사고 특성을 관찰하거나 그것을 위하여 노력한다면 어떻게 할 수 있는지 살펴보고자 한다. 특히 영재교육을 담당하는 교사들이 기존에 개발된 평가틀을 벗어나는 반응을 관찰할 때, 이를 영재성 판별과 관련지어 어떻게 해석할 수 있는지 그리고 어떤 점에 유의하는 것이 필요한지 알아보려고 한다.
영재교육 연수에 참여한 교사들이 영재교육을 위한 수업과 과제의 성격에 대해 어떤 생각을 가지고 있는지 조사하여 과 로 나타내었다.
영재아들의 초기 확률적 사고 수준도 매우 높은 것으로 나타났지만, <부록>의 2번 문항을 통하여 이전 문항을 해결한 과정을 반성적으로 분석하게 하고, 상호 비평하도록 함으로써, 더 수준이 높은 확률적 사고가 드러났다. 영재아들은 단지 수치적인 모델을 사용하는 것에 그치지 않고, 자신이 사용한 수치적인 모델이 적합한지 여부를 판단하기 위하여 전제 조건을 살펴보았다. 이 과정에서 확률론의 역사에 등장한 고전적 관점에 관련된 논란, 곧 등확률성을 가정할 수 있는가에 대한 논란이 재연되었다.
영재아들의 확률적 사고 수준과 문제 해결에 따른 수준의 향상을 관찰하기 위하여 에 제시한 과제를 개발하였다1).
그러나 나귀수 외 (2007)를 제외한 대부분의 연구가 기하와 대수 영역의 소재를 이용하여 교육한 것이며, 확률 영역의 소재를 활용한 사례는 매우 드물다. 이 연구에서는 확률 영역의 과제를 활용하여 영재아를 교육할 때 어떤 특성을 발견할 수 있는지, 특히, 비결정론적인 관점을 어떻게 발전시키는지, 확률적 사고 수준의 상승을 관찰할 수 있는지 살펴본다. 또한, 영재교육을 담당하는 교사들이 학생들의 활동 자료를 분석하여 확률적 사고 수준의 향상을 어떻게 파악하고 기술하는지 등을 살펴본다.
이 절에서는 확률적 사고 수준에 대한 선행 연구 결과를 살펴보고, 영재 아를 위한 확률적 사고 수준에 대하여 논의한다. 이어서 서울 지역의 한 대학부설 영재교육원 학생들 6명(이하 S1부터 S6까지로 표시)의 확률 과제 해결 양상, 특히, 확률적 사고의 수준이 어떻게 향상되는지 분석한 결과를 제시할 것이다.
무엇보다 영재아들이 기존 연구에서 제시한 가장 높은 수준의 사고를 하는지 확인하고, 만약 그 이상의 수준에 해당하는 사고 특성을 관찰하거나 그것을 위하여 노력한다면 어떻게 할 수 있는지 살펴보고자 한다. 특히 영재교육을 담당하는 교사들이 기존에 개발된 평가틀을 벗어나는 반응을 관찰할 때, 이를 영재성 판별과 관련지어 어떻게 해석할 수 있는지 그리고 어떤 점에 유의하는 것이 필요한지 알아보려고 한다.
제안 방법
서울시 소재 대학에서 실시한 영재교육 담당 교사연수에 참여한 교사 12명의 반응을 분석한다. 교사들은 2인씩 짝을 지어 의견을 주고받으면서 과제의 내용과 특징을 분석하였고, 학생들의 활동 모습을 녹화한 자료와 활동지를 분석하였다([그림 6] 참고).
특히, Jones 외(1997)가 제시한 표본공간, 사건의 확률에 대한 이해 수준을 중심으로 자료를 수집하고 분석 하였다. 연구자는 수업을 진행하면서 학생들이 가능한 한 자세하게 사고 과정을 기록하도록 하였으며, 모든 활동지를 수집하여 분석하였다. 영재성의 발현을 심층적으로 관찰하기 위하여 학생들의 문제 해결 활동은 녹화하여 분석하였다(Assouline, 1997; Birch, 1984; Hekimoglu, 2004).
영재아들의 확률적 사고 수준과 문제 해결에 따른 수준의 향상을 관찰하기 위하여 <부록>에 제시한 과제를 개발하였다1). 이 과제를 해결하는 과정에서 학생 들이 적절한 수치적 모델을 생성하고 적용하여 문제를 해결하는지, 수준의 상승에 해당하는 반응이 있는지 살펴보았다. 특히, Jones 외(1997)가 제시한 표본공간, 사건의 확률에 대한 이해 수준을 중심으로 자료를 수집하고 분석 하였다.
이어서 서울 지역의 한 대학부설 영재교육원 학생들 6명(이하 S1부터 S6까지로 표시)의 확률 과제 해결 양상, 특히, 확률적 사고의 수준이 어떻게 향상되는지 분석한 결과를 제시할 것이다. 이 연구에 참여한 학생들은 모두 중학교 3학년이었으며, 이 연구를 위하여 개발한 확률 과제에 대해 4시간 동안 탐구하였다. 영재아들의 확률적 사고 수준과 문제 해결에 따른 수준의 향상을 관찰하기 위하여 <부록>에 제시한 과제를 개발하였다1).
이 연구에서는 확률 영역의 과제를 개발하여 영재교육을 실시하고, 영재 아들의 반응과 영재교육 담당 교사들의 반응을 분석하였다. 이를 통하여 다음과 같은 논의점과 결론을 얻을 수 있다.
다섯째, Paek, Holland와 Suppes(1999), Rotigel과 Lupkowski-Shoplik(1999), 신희영, 고은성, 이경화(2007)에서 주장하는 바와 같이, 영재성은 단기간 또는 일회성 시험에 의하여 드러나기 어려우므로, 영재교육이 이루어지는 동안 학생들의 활동을 관찰하고 평가하여 잠재적인 능력을 파악하는 것이 중요하다. 이 연구에서는, 과제 세부 문항의 목표, 문장 표현의 적절성, 타당성 등을 포함한 기준에 따라 과제를 분석하고, 학생들의 반응을 구체적으로 확인하는 방식으로 영재교육 교사 연수를 진행하였다. 교사들이 학생들의 영재성을 정확하게 파악하고 잠재적인 능력을 개발하도록 이끌려면 영재교육을 위한 과제 분석과 개발, 수업 분석과 계획에 대한 후속 연구가 이루어질 필요가 있다.
이때 “가중치”, “균등한”, “주어진 길의 모양”, “경우의 수를 이용한 확률의 계산” 등 설명을 위하여 다양한 의미 있는 표현들을 사용하였다.
영재교육 연수에 참여한 교사들이 영재교육을 위한 수업과 과제의 성격에 대해 어떤 생각을 가지고 있는지 조사하여 <표 1>과 <표 2>로 나타내었다. 제시된 관점에 대하여 매우 적절하다고 생각하면 5점으로, 매우 부적절하다고 생각하면 1점으로 하는 5단계 척도를 따라 표현하게 하였다. <표 1>에 제시된 바와 같이, 수업 모델에 대해서는 교사의 역할보다 학생의 역할을 강조하는 관점을 지지하였다.
확률적 사고 수준에 대한 연구는 확률 개념 형성 또는 발달과 관련하여 이루어졌다. Piaget와 Inhelder(1975)는 우연과 필연의 구분, 비율 추론을 거쳐, 조합, 치환 등에 대하여 이해하면서 확률 개념을 발달시키며, 치환의 의미를 알고 적용하는 단계에서 높은 수준의 확률적 사고를 할 수 있게 된다고 주장하였다.
대상 데이터
이하에서는 앞서 제시한 학생들의 문제해결 활동과 확률적 사고의 수준에 대한 교사들의 해석을 살펴본다. 서울시 소재 대학에서 실시한 영재교육 담당 교사연수에 참여한 교사 12명의 반응을 분석한다. 교사들은 2인씩 짝을 지어 의견을 주고받으면서 과제의 내용과 특징을 분석하였고, 학생들의 활동 모습을 녹화한 자료와 활동지를 분석하였다([그림 6] 참고).
이 과제를 해결하는 과정에서 학생 들이 적절한 수치적 모델을 생성하고 적용하여 문제를 해결하는지, 수준의 상승에 해당하는 반응이 있는지 살펴보았다. 특히, Jones 외(1997)가 제시한 표본공간, 사건의 확률에 대한 이해 수준을 중심으로 자료를 수집하고 분석 하였다. 연구자는 수업을 진행하면서 학생들이 가능한 한 자세하게 사고 과정을 기록하도록 하였으며, 모든 활동지를 수집하여 분석하였다.
성능/효과
넷째, 영재교육 담당 교사 연수에 참여한 교사들은 이번 연구를 위하여 개발한 확률 영역의 과제가 어떤 목표를 추구하는지 파악하는데 어려움을 보였다. 교사들은 확률에 대한 여러 관점이 존재한다는 것이나, 여러 관점에서 서로 다른 기본 가정을 하고 있다는 것, 그 중에서도 확률에 대한 고전적 관점에서는 등확률성을 전제 조건으로 택하고 있다는 것을 명확하게 인식하지 못하였다.
셋째, 영재교육 담당 교사 연수에 참여한 교사들을 대상으로 한 설문조사에 의하면, 교사들은 영재교육에서 학생들의 참여와 토론을 강조해야 하고, 상위 수준의 과제나 고난도 복합 과제보다는 관점의 전환이나 다양한 추론, 다양한 표현 방식의 개발과 적용을 촉진하는 과제가 적절하다고 생각 하였다. 이는 최근 연구들에서 논의되고 있는 영재교육의 일반적인 교육원리(송상헌, 2000; Sheffield, 1999)에 해당하며, 교사들이 영재교육의 바람직한 방법으로 제시되는 이론적인 권고에 매우 긍정적인 관점을 가지고 있음을 시사한다.
영재아들의 초기 확률적 사고 수준도 매우 높은 것으로 나타났지만, 의 2번 문항을 통하여 이전 문항을 해결한 과정을 반성적으로 분석하게 하고, 상호 비평하도록 함으로써, 더 수준이 높은 확률적 사고가 드러났다.
최종적으로 12명 중 11명의 교사들은 과제가 열린 사고를 자극하고, 자신만의 추측과 정당화를 요구한다는 점에 주목하여 유용하다고 하였다. 이 특성 때문에 영재아들을 적극적인 참여와 토론으로 이끌 수 있다는 것에 대해서도 인식하였다([그림 9] 참고).
후속연구
이 연구에서는, 과제 세부 문항의 목표, 문장 표현의 적절성, 타당성 등을 포함한 기준에 따라 과제를 분석하고, 학생들의 반응을 구체적으로 확인하는 방식으로 영재교육 교사 연수를 진행하였다. 교사들이 학생들의 영재성을 정확하게 파악하고 잠재적인 능력을 개발하도록 이끌려면 영재교육을 위한 과제 분석과 개발, 수업 분석과 계획에 대한 후속 연구가 이루어질 필요가 있다.
이러한 점에서 영재아들의 확률적 사고 수준은 기존의 평가틀을 넘어서는 것으로 판단된다. 그러므로 영재아들의 확률적 사고 수준 평가틀을 개발하는 후속 연구가 필요하다.
이 절에서는 확률적 사고 수준에 대한 선행 연구 결과를 살펴보고, 영재 아를 위한 확률적 사고 수준에 대하여 논의한다. 이어서 서울 지역의 한 대학부설 영재교육원 학생들 6명(이하 S1부터 S6까지로 표시)의 확률 과제 해결 양상, 특히, 확률적 사고의 수준이 어떻게 향상되는지 분석한 결과를 제시할 것이다. 이 연구에 참여한 학생들은 모두 중학교 3학년이었으며, 이 연구를 위하여 개발한 확률 과제에 대해 4시간 동안 탐구하였다.
질의응답
핵심어
질문
논문에서 추출한 답변
확률 영역의 과제를 개발하여 영재교육을 시행하고, 영재 아들의 반응과 영재교육 담당 교사들의 반응을 분석한 결과는 어떠한가?
이를 통하여 다음과 같은 논의점과 결론을 얻을 수 있다. 첫째, Jones 외(1997)을 비롯한 확률적 사고 수준 관련 연구에서 제공하는 기준만으로는 영재아들의 확률적 사고 수준을 파악하기 어렵다. 가장 높은 수준에 해당하는 사고 특성으로 수치적 모델을 이용하여 확률을 구하는 것이 제시되는데, 이 연구에 참여한 영재아들은 단지 수치적 모델을 이용하여 연역적인 추론을 하는 것에 그치지 않았다. 영재아들은 고전적 관점에 의하여 확률을 구하는 과정에서 등확률성을 가정하는데, 문제 상황에 따라서 등확률성이 만족되지 않을 수 있음을 인식하였다. 이에 따라 주어진 문제 상황에 포함된 기본 가정을 해석하여 새로운 확률 값을 부여하는 모습을 보였다. 이는 van Hiele의 기하 학습 수준 이론에서 공리 체계를 이해하는 수준(김남희 외, 2006)과 유사하며, 기존의 확률적 사고 수준 관련 이론에서는 고려하지 않았던 것으로 보인다. 확률론의 역사에서 최후 단계로 기술되는 확률에 대한 공리적 관점에 따르면, 확률을 어떻게 구하고 어떤 의미를 가지는가보다, 확률의 공리를 만족하도록 확률 값을 할당할 수 있기만 하면 각각의 상황에서 확률에 의하여 문제를 해결할 수 있다(이경화, 1996). 앞서 논의한 영재아들의 반응은 확률에 대한 공리적 관점과 매우 유사하며, 단지 고전적 관점에 입각하여 확률 값을 구한 것과는 구분된다. 이러한 점에서 영재아들의 확률적 사고 수준은 기존의 평가틀을 넘어서는 것으로 판단된다. 그러므로 영재아들의 확률적 사고 수준 평가틀을 개발하는 후속 연구가 필요하다.
둘째, 영재아들에게 단지 문제를 해결하도록 하는 것이 아니라, 해결 과정을 반성적으로 분석하고 상호 비평하도록 한 것은 확률적 사고 수준을 향상시키는 데 매우 중요한 역할을 하였다. 영재아들의 초기 확률적 사고 수준도 매우 높은 것으로 나타났지만, <부록>의 2번 문항을 통하여 이전 문항을 해결한 과정을 반성적으로 분석하게 하고, 상호 비평하도록 함으로써, 더 수준이 높은 확률적 사고가 드러났다. 영재아들은 단지 수치적인 모델을 사용하는 것에 그치지 않고, 자신이 사용한 수치적인 모델이 적합한지 여부를 판단하기 위하여 전제 조건을 살펴보았다. 이 과정에서 확률론의 역사에 등장한 고전적 관점에 관련된 논란, 곧 등확률성을 가정할 수 있는가에 대한 논란이 재연되었다. 이는 영재아들이 새로운 전제 조건에 의하여 새로운 확률 값을 구하게 된 계기를 마련하였으며, 전제 조건이 다르면 확률 값이 다르다는 것, 곧 서로 다른 확률 체계 또는 확률 공간의 존재를 고려하게 하였다.
셋째, 영재교육 담당 교사 연수에 참여한 교사들을 대상으로 한 설문조사에 의하면, 교사들은 영재교육에서 학생들의 참여와 토론을 강조해야 하고, 상위 수준의 과제나 고난도 복합 과제보다는 관점의 전환이나 다양한 추론, 다양한 표현 방식의 개발과 적용을 촉진하는 과제가 적절하다고 생각 하였다. 이는 최근 연구들에서 논의되고 있는 영재교육의 일반적인 교육원리(송상헌, 2000; Sheffield, 1999)에 해당하며, 교사들이 영재교육의 바람직한 방법으로 제시되는 이론적인 권고에 매우 긍정적인 관점을 가지고 있음을 시사한다. 또한, 다양한 기관에서 이루어진 영재교육 담당 교사 연수의 성과이며, 향후 공교육에서 이루어질 영재교육의 지향점이 적절하게 정립된 것으로 볼 수 있다.
넷째, 영재교육 담당 교사 연수에 참여한 교사들은 이번 연구를 위하여 개발한 확률 영역의 과제가 어떤 목표를 추구하는지 파악하는데 어려움을 보였다. 교사들은 확률에 대한 여러 관점이 존재한다는 것이나, 여러 관점에서 서로 다른 기본 가정을 하고 있다는 것, 그 중에서도 확률에 대한 고전적 관점에서는 등확률성을 전제 조건으로 택하고 있다는 것을 명확하게 인식하지 못하였다. 그러므로 일부 학생들이 처음부터 하나의 확률 값에 만족하지 않고 다른 확률 값이 가능하다는 것에 주목하는 이유를 전혀 이해하지 못하였다. 더욱이 자전거를 타고 갈림길에 도착하여 서로 다른 길을 선택한다는 문제 상황과 공을 떨어뜨리는 문제 상황 사이의 수학적인 의미의 차이를 이해하지 못하였다. 이는 교사들이 영재교육에 대한 일반적인 관점은 적절하게 갖추고 있으나, 확률 영역의 과제에서 추구하는 확률적 사고의 특성에 대해서는 적절한 안목을 형성시키지 못하였음을 시사한다.
다섯째, Paek, Holland와 Suppes(1999), Rotigel과 Lupkowski-Shoplik(1999), 신희영, 고은성, 이경화(2007)에서 주장하는 바와 같이, 영재성은 단기간 또는 일회성 시험에 의하여 드러나기 어려우므로, 영재교육이 이루어지는 동안 학생들의 활동을 관찰하고 평가하여 잠재적인 능력을 파악하는 것이 중요하다. 이 연구에서는, 과제 세부 문항의 목표, 문장 표현의 적절성, 타당성 등을 포함한 기준에 따라 과제를 분석하고, 학생들의 반응을 구체적으로 확인하는 방식으로 영재교육 교사 연수를 진행하였다. 교사들이 학생들의 영재성을 정확하게 파악하고 잠재적인 능력을 개발하도록 이끌려면 영재교육을 위한 과제 분석과 개발, 수업 분석과 계획에 대한 후속 연구가 이루어질 필요가 있다.
Piaget와 Inhelder(1975)는 높은 수준의 확률적 사고를 어떤 단계에서 할 수 있다고 주장하였는가?
확률적 사고 수준에 대한 연구는 확률 개념 형성 또는 발달과 관련하여 이루어졌다. Piaget와 Inhelder(1975)는 우연과 필연의 구분, 비율 추론을 거쳐, 조합, 치환 등에 대하여 이해하면서 확률 개념을 발달시키며, 치환의 의미를 알고 적용하는 단계에서 높은 수준의 확률적 사고를 할 수 있게 된다고 주장하였다. 이는 조합 추론에 기초한 확률 교육의 배경이 되었으며, 높은 수준의 확률적 사고는 높은 수준의 조합 추론 능력과 밀접하게 관련된다.
확률적 사고 수준에 대한 연구는 무엇과 관련하여 이루어졌는가?
확률적 사고 수준에 대한 연구는 확률 개념 형성 또는 발달과 관련하여 이루어졌다. Piaget와 Inhelder(1975)는 우연과 필연의 구분, 비율 추론을 거쳐, 조합, 치환 등에 대하여 이해하면서 확률 개념을 발달시키며, 치환의 의미를 알고 적용하는 단계에서 높은 수준의 확률적 사고를 할 수 있게 된다고 주장하였다.
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