[논문]인장 불안정이 제거된 SPH을 이용한 고체의 동적 탄소성해석

이경수; 신상섭; 박대효

doi:10.12652/ksce.2011.31.2a.071

인장 불안정이 제거된 SPH을 이용한 고체의 동적 탄소성해석
Elasto-Plastic Dynamic Analysis of Solids by Using SPH without Tensile Instability 원문보기

大韓土木學會論文集, Journal of the Korean Society of Civil Engineers. A. 구조공학, 원자력공학, 콘크리트공학, v.31 no.2A, 2011년, pp.71 - 77

이경수 (인하대학교 건축공학과) , 신상섭 (한양대학교 건설환경공학과) , 박대효 (한양대학교 건설환경공학과)

초록
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본 논문은 고체의 동적 탄소성해석을 수행하기 위해 인장불안정이 제거된 SPH기법을 사용하였다. 인장불안정은 SPH 입자들이 인장력에 의해 서로 떨어져나가는 해석적 오류현상이며, 재료적 특성에 따라 해석결과에 큰 영향을 미치게 된다. 이와 같은 인장불안정을 제어하기 위한 방법으로 본 연구에서는 가상응력의 개념을 적용하였다. 본 연구에서 제시한 SPH에 의해 해석예제를 수행하여 해석법의 효율성을 검증하였으며, 해석예제로 원형 링의 충돌문제와, 절단, 균열과 같은 재료적 파괴문제를 수행하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

In this paper elasto-plastic dynamic behavior of solid is analyzed by using smoothed particle hydrodynamics (SPH) without tensile instability which caused by a clustering of SPH particles. In solid body computations, the instability may corrupt physical behavior by numerical fragmentation which, in some cases of elastic or brittle solids, is so severe that the dynamics of the system is completely wrong. The instability removed by using an artificial stress which introduces negligible errors in long-wavelength modes. Applications to several test problems show that the artificial stress works effectively. These problems include the collision of rubber cylinders, fracture and crack of plate.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

인장불안정을 제거하기 위해서 적용한 가상응력의 개념은 다른 방법과 달리 본래의 SPH 기본이론을 따르고, 그 유도 과정 및 추가수식이 간단하며, SPH의 적용이 비교적 활발한 유체역학해석용 SPH코드로부터 쉽게 변환 가능한 알고리즘이다. 고체의 동적 탄소성해석예제의 검증을 통하여, 불안정성을 제거하기 위한 본 연구의 SPH 알고리즘의 정확성을 검증하였다.

가설 설정

따라서 보간 함수인핵 함수는 입자간 거리의 함수로 나타내며, 식 (21)에서 f_ab의 지수상수 n는 입자간 분포특성에 따라 결정되는데. 본 연구에서는 n=4(Monaghan, 2000)로 가정하여 해석을 수행 하였다. 또한 Monaghan(2000)의 연구에서와 같이 해석예제에 따라 식 (23)의 α값을 변경하여 해석을 수행하였다.
인장불안정에 대한 특성을 평가하기 위해서 이전연구(Swegle, 1992; Monaghan, 2000; Gray 등, 2001; Belytschko and Xiao, 2002; Vidal 등, 2007)에서 다루었던 원형링의 충돌문제를 수행하였고, 본 연구의 해석결과를 AUTODYN(Century Dynamics)의 결과와 비교하였다. 원형링의 외부지름은 4 cm이고, 내부지름은 3 cm 이며, 초기에 0.1 cm의 이격거리를 둔 탄성체이며, 기준밀도, 체적탄성율 초기충돌 속도는 각각 1.522e+003 kg/m³, 4.0e+011 Pa, 100 m/s로 가정하였고, 가상점성계수와, 가상응력계수는 각각 1.0과 0.02로 설정하였다.

제안 방법

따라서 고체역학에 무요소법인 SPH를 적용하기 위해서는 SPH의 인장불안정이 제거 되어야 한다. 본 연구에서는 Monaghan(2000)의 가상응력개념을 도입하여 인장불안정을 제거하였고, Morris 등(1997)의 quintic spline핵 함수를 사용하여 고체영역을 근사하였으며, 절단, 파괴 예제를 수행하여 상용프로그램인 AUTODYN(Century Dynamics)의 결과와 비교함으로써 본 해석법의 정확성 및 유효성을 검증하였다.
본 예제에서는 항복응력 1.4 GPa로 가정한 길이 3.2 cm, 높이 1.2 cm의 스틸 판의 양단 인장력에 의한 소성 네킹 절단해석을 수행하였다. 가상점성계수는 1.
본 연구에서는 고체의 동적 탄소성해석을 수행하기 위해 무요소법의 한 종류인 SPH를 이용하였다. 이를 위해 고체의 운동방정식을 SPH의 입자운동방정식에 적용시켰으며, SPH를 이용하여 고체를 해석할 때 인장력에 의해 입자들이 서로 분리되는 인장불안정을 제거하기 위해 Monaghan(2000)의 가상응력을 도입하였고, 충돌해석에 자주 사용되는 AUTODYN(Century Dynamics)에 의한 해석결과와 비교하였다.
인장불안정에 대한 특성을 평가하기 위해서 이전연구(Swegle, 1992; Monaghan, 2000; Gray 등, 2001; Belytschko and Xiao, 2002; Vidal 등, 2007)에서 다루었던 원형링의 충돌문제를 수행하였고, 본 연구의 해석결과를 AUTODYN(Century Dynamics)의 결과와 비교하였다. 원형링의 외부지름은 4 cm이고, 내부지름은 3 cm 이며, 초기에 0.
참고문헌의 재료모델(탄성계수 E=117GPa, 포아송비 ν=0.35, 항복응력 σ=0.4 GPa, 경화계수 Ep=0.1 GPa,밀도 ρ=8930 kg/m3)을 적용하였다.
이를 위해 SPH의 인장 불안정을 제거하기 위해 Monaghan(2000), Gray 등(2001)이 제안한 추가적인 가상응력개념을 도입하였고, Morris 등(1997)이 제안한 quintic spline 핵 함수를 사용하여 영역을 근사 하였으며, 등방경화 재료모델을 적용하여 재료 소성화를 고려하였다. 해석예제를 수행하여 이전연구 및 유한요소의 결과와 비교하였고, 절단, 파괴 예제를 수행하여 본 해석법의 정확성 및 유효성을 검증하였다.

데이터처리

2 cm의 스틸 판의 양단 인장력에 의한 소성 네킹 절단해석을 수행하였다. 가상점성계수는 1.0으로 고정한 상태에서 가상응력계수를 조절하여 가상응력계수에 따른 해석 결과를 비교하였다. 그림 4는 인장불안정의 고려여부에 따른 해석결과를 나타낸 것이고, 그림 5는 AUTODYN에 의한 FEM과 SPH해석결과를 나타낸 것이다.

이론/모형

고체의 재료적 특성을 고려하기 위해 Von-mises항복조건을 고려하였으며, 등방경화(isotropic hardening)에 의한 항복 조건식은 편차응력 Sij과 항복응력 σy에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
따라서 본 연구에서는 식 (13)으로 고체의 재료적 특성을 고려하였으며, 이러한 고체의 재료적 특성이 반영된 연속체 방정식을 SPH 근사식으로 표현하였다.
≤0인 입자 a, b의 짝함수이다. 본 논문에서는 핵 함수 W를 quintic spline kernel(Morris 등, 1997)을 사용하였다.
본 연구에서는 고체의 동적 충돌, 파괴, 균열 등의 현상을 해석하기 위한 해석법으로 SPH를 이용하였다. 이를 위해 SPH의 인장 불안정을 제거하기 위해 Monaghan(2000), Gray 등(2001)이 제안한 추가적인 가상응력개념을 도입하였고, Morris 등(1997)이 제안한 quintic spline 핵 함수를 사용하여 영역을 근사 하였으며, 등방경화 재료모델을 적용하여 재료 소성화를 고려하였다.
본 연구에서는 고체의 동적 탄소성해석을 수행하기 위해 무요소법의 한 종류인 SPH를 이용하였다. 이를 위해 고체의 운동방정식을 SPH의 입자운동방정식에 적용시켰으며, SPH를 이용하여 고체를 해석할 때 인장력에 의해 입자들이 서로 분리되는 인장불안정을 제거하기 위해 Monaghan(2000)의 가상응력을 도입하였고, 충돌해석에 자주 사용되는 AUTODYN(Century Dynamics)에 의한 해석결과와 비교하였다.
본 연구에서는 평균속도 #를 사용하는 XSPH와 더불어, 인장불안정을 제어하기 위해 수치적으로 가상 응력(Monagha, 2000; Gray 등, 2001)을 도입하였다. SPH 기본 운동방정식인 식 (14)에 가상응력성분을 추가하면 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다.
본 연구에서는 고체의 동적 충돌, 파괴, 균열 등의 현상을 해석하기 위한 해석법으로 SPH를 이용하였다. 이를 위해 SPH의 인장 불안정을 제거하기 위해 Monaghan(2000), Gray 등(2001)이 제안한 추가적인 가상응력개념을 도입하였고, Morris 등(1997)이 제안한 quintic spline 핵 함수를 사용하여 영역을 근사 하였으며, 등방경화 재료모델을 적용하여 재료 소성화를 고려하였다. 해석예제를 수행하여 이전연구 및 유한요소의 결과와 비교하였고, 절단, 파괴 예제를 수행하여 본 해석법의 정확성 및 유효성을 검증하였다.

성능/효과

가상응력개념을 적용한 본 연구의 SPH를 이용하여 수치해석을 수행하였을 때, 탄성, 탄소성문제에서 인장불안정 현상을 제어할 수 있었으며, 상용소프트웨어인 AUTODYN의 FEM과 유사한 해석결과를 얻을 수 있었다. 또한 FEM으로 해석하기 어려운 네킹, 충돌 문제에서는 재료적 파괴 및 대변형을 동시에 고려하여 성공적인 해석결과를 얻을 수 있었다.
가상응력개념을 적용한 본 연구의 SPH를 이용하여 수치해석을 수행하였을 때, 탄성, 탄소성문제에서 인장불안정 현상을 제어할 수 있었으며, 상용소프트웨어인 AUTODYN의 FEM과 유사한 해석결과를 얻을 수 있었다. 또한 FEM으로 해석하기 어려운 네킹, 충돌 문제에서는 재료적 파괴 및 대변형을 동시에 고려하여 성공적인 해석결과를 얻을 수 있었다.

후속연구

따라서 본 연구의 SPH를 이용하면 FEM으로 해석하기 어려운 대변형에 의한 파괴, 절단, 균열 등의 문제를 보다 더 효과적이고 정확하게 해석할 수 있을 것이며, FSI해석과같은 복잡한 문제에 그 적용분야 및 활용성이 지속적으로 증가할 것이다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	SPH에서 인장불안정을 없애기 위해서 이전에 제시된 다양한 방법들은 무엇입니까?	이전 연구자들에 의해 SPH에서 인장 불안정을 없애기 위해 다양한 방법이 제시되었는데, 크게 무요소법의 개념에서 SPH를 새롭게 유도하여 핵 함수(kernel function)에 대한 보정식(correction function)을 추가하여(Dilts, 1999; Chen, 1999; Bonet and Kulasegaram, 2000; Vidal 등, 2007) 정확성 및 일관성을 확보하는 방법과, 핵 함수의 보정도함수(corrected derivatives)를 추가하는 방법(Belytschko and Xiao, 2002) 원래의 SPH 수식을 유지하면서 가상의 응력절점이나(Dyka 등, 1997; Libersky and Randle, 1998; Randle and Libersky, 2000) 추가적인 응력을 도입하는 방법(Monaghan, 2000; Gray 등, 2001), 적응적 밀도핵 함수를 적용하는 방법(Sigalotti and Lopez, 2006, 2008)으로 구분할 수 있다.
	SPH의 장점은 무엇입니까?	요소를 사용하지 않으면서, 물리적 의미(질량, 속도)를 가진 입자만으로 전체 영역의 거동을 표현할 수 있기 때문에, SPH는 수치해석적인 입장에서 기본적으로 적응적(adaptive)인 해석법이고, 동적해석법이다. 또한 SPH는 요소의 찌그러짐이나 재분활과 같은 소모적인 해석절차가 생략되고, 비교적 간단한 명시적 수치적분을 통해 시간에 따른 동적거동을 묘사할 수 있는 장점이 있다. 비록 초기의 SPH가 정확성, 일관성(consistency), 경계조건, 인장불안정과 같은 수치해석적 단점이 있었지만, 최근의 무요소법의 발전과 더불어 SPH는 이러한 단점들이 극복되고 있는 상황이다.
	무요소법의 개발은 무엇의 단점을 극복하기 위함입니까?	무요소법은 요소를 사용하는 유한요소법의 단점을 극복하기 위해 개발된 새로운 해석법으로 다양한 종류의 무요소법이 제안되었으며(Belytschko 등, 1994; Liu 등, 1995; Dilts, 1999; Atluri 등, 2000), 이러한 무요소법은 SPH와 같은 입자법(particle method)에 기초하고 있다. 따라서 SPH는 무요소법의 한 종류로 분류될 수 있는데, 천체물리학분야에서 제안된 SPH(Gingold and Monaghan, 1977; Lucy, 1977)는 경계조건이 간단한 유체역학이나 천체물리학에서 주로 적용되어 왔으며, 절점 혹은 입자만으로 유체, 고체영역을 표현한다.

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