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문제 정의
- 본 연구에서는 GEV 분포의 왜곡도 계수를 고려한 도시위치공식을 유도하기 위해 GEV 분포의 순서통계량을 이용한 이론적 축소변량을 유도하였다. 다양한 표본크기및 형상 매개변수 범위에 따른 이론적 축소변량과 유전자 알고리즘을 이용하여 왜곡도 계수를 고려한 도시위치공식의 매개변수를 유도하였다.
- 본 연구에서는 Gumbel 분포와 함께 강우빈도해석에 주로 사용되고 있는 GEV 분포에 적합한 도시위치공식을 추정하고자 한다. GEV 분포에 적합한 도시위치공식은 GEV 분포의 순서통계량의 평균 개념을 이용하여 이론적 축소변량을 유도하였다.
가설 설정
- 왜곡도 계수의 경우 표본자료로부터 직접적으로 산정할 수 있는데 반해, 형상 매개변수는 표본자료로부터 직접적으로 도출해 내기엔 어려움이 따른다. 따라서 본 연구에서는 GEV 분포의 왜곡도 계수를 고려할 수 있는 도시위치공식을 유도하고자 하며, 이를 위해 Table 1과 같은 형태의 도시위치공식을 가정하였다. 왜곡도 계수의 영향을 알아보기 위해 도시위치공식의 분자 또는 분모에 왜곡도 계수를 배치하였고, 앞서 추정된 축소변량과 마찬가지로 -0.
제안 방법
- (6) and (9), Eqs. (12a) and (12b)를 함께 사용하여 GEV 분포의 이론적 축소변량을 추정하였으며, 이때 축소변량은 Gumbel 분포를 제외한 -0.3, -0.25, -0.2, -0.15, -0.1, -0.05, 0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.25, 0.3의 범위를 가지는 형상 매개변수와 2부터 100까지의 표본크기에 대해 추정되었다.
- 본 연구에서는 Eq. (16)과 같이 추정된 도시위치공식이 GEV 분포에 어느 정도 적합한지 알아보기 위해 기존에 연구되거나 사용되고 있는 도시위치공식과 비교하였다. 본 연구에서 비교하기 위해 사용된 기존의 도시위치공식은 Table 4와 같다.
- 본 연구에서는 Gumbel 분포와 함께 강우빈도해석에 주로 사용되고 있는 GEV 분포에 적합한 도시위치공식을 추정하고자 한다. GEV 분포에 적합한 도시위치공식은 GEV 분포의 순서통계량의 평균 개념을 이용하여 이론적 축소변량을 유도하였다. 다양한 표본크기와 형상 매개변수를 고려한 이론적 축소변량을 이용하여 도시위치공식을 유도하고자 하였으며, 이때 형상 매개변수의 영향성을 고려할 수 있도록 다양한 형태를 고려하였다.
- Gumbel 분포에 대해서는 기존에 사용되고 있는 Gringorten (1963)의 도시위치공식이 가장 적합하다고 알려진 바, 본 논문에서는 Gumbel 분포를 제외한 GEV-2, GEV-3 분포에 대한 경우만을 유도하였다. 우선 GEV 분포의 형상 매개변수의 범위가 0보다 작은 경우(k < 0), 축소변량(reduced variate) y2는 다음과 같다.
- RGA의 초기조건 중 모집단수는 1,000개, 전체 세대수 (generation)는 1,000개, 2,000개, 3,000개를 적용하여 적정한 세대수를 찾고자 하였다. 또한 교배확률은 0.
- 본 연구에서는 GEV 분포의 왜곡도 계수를 고려한 도시위치공식을 유도하기 위해 GEV 분포의 순서통계량을 이용한 이론적 축소변량을 유도하였다. 다양한 표본크기및 형상 매개변수 범위에 따른 이론적 축소변량과 유전자 알고리즘을 이용하여 왜곡도 계수를 고려한 도시위치공식의 매개변수를 유도하였다. 또한 GEV 분포에 적합한 도시위치공식을 비교하기 위해 금회 추정된 도시위치공식과 기존에 연구된 도시위치공식에 의해 계산되는 평균 제곱근오차, 상대평균제곱근오차, 상대편의를 비교한 결과, 다음과 같은 결론을 얻었다.
- GEV 분포에 적합한 도시위치공식은 GEV 분포의 순서통계량의 평균 개념을 이용하여 이론적 축소변량을 유도하였다. 다양한 표본크기와 형상 매개변수를 고려한 이론적 축소변량을 이용하여 도시위치공식을 유도하고자 하였으며, 이때 형상 매개변수의 영향성을 고려할 수 있도록 다양한 형태를 고려하였다. 또한 최적화 기법인 유전자 알고리즘(genetic algorithm)을 적용하여 도시위치공식의 매개변수를 추정하였다.
- 다양한 표본크기및 형상 매개변수 범위에 따른 이론적 축소변량과 유전자 알고리즘을 이용하여 왜곡도 계수를 고려한 도시위치공식의 매개변수를 유도하였다. 또한 GEV 분포에 적합한 도시위치공식을 비교하기 위해 금회 추정된 도시위치공식과 기존에 연구된 도시위치공식에 의해 계산되는 평균 제곱근오차, 상대평균제곱근오차, 상대편의를 비교한 결과, 다음과 같은 결론을 얻었다.
- RGA의 초기조건 중 모집단수는 1,000개, 전체 세대수 (generation)는 1,000개, 2,000개, 3,000개를 적용하여 적정한 세대수를 찾고자 하였다. 또한 교배확률은 0.8, 돌연변이 확률은 0.01로 설정하여 모의하였고, seed number의 초기값은 0.123으로 설정하고 seed number의 영향을 알아보기 위해 다른 seed number를 가지는 10번의 모의를 수행하였다.
- 다양한 표본크기와 형상 매개변수를 고려한 이론적 축소변량을 이용하여 도시위치공식을 유도하고자 하였으며, 이때 형상 매개변수의 영향성을 고려할 수 있도록 다양한 형태를 고려하였다. 또한 최적화 기법인 유전자 알고리즘(genetic algorithm)을 적용하여 도시위치공식의 매개변수를 추정하였다. 유도된 도시위치공식의 정확성을 알아보기 위해 이론적으로 유도된 GEV 분포의 축소변량과 다양한 도시위치공식에 의해 계산되는 축소변량 사이의 평균제곱근오차(root mean square error, RMSE), 상대평균제곱근오차(relative root mean square error, RRMSE), 상대편의(relative bias, RBIAS)를 비교하였다.
- 따라서 본 연구에서는 GEV 분포의 왜곡도 계수를 고려할 수 있는 도시위치공식을 유도하고자 하며, 이를 위해 Table 1과 같은 형태의 도시위치공식을 가정하였다. 왜곡도 계수의 영향을 알아보기 위해 도시위치공식의 분자 또는 분모에 왜곡도 계수를 배치하였고, 앞서 추정된 축소변량과 마찬가지로 -0.3～0.3 범위의 형상 매개변수에 대한 왜곡도 계수를 고려하여 도시위치공식의 매개변수를 추정하였다. 또한 유전자 알고리즘의 적용에서 가장 중요하다고 할 수 있는 목적함수는 Table 1에 나타난 목적함수의 형태에서 좌변과 우변의 평균제곱근오차(RMSE)로 설정하였다.
데이터처리
- GEV 분포에 적합한 도시위치공식을 알아보기 위해 기존의 도시위치공식과 본 연구에서 유도한 도시위치공식에 의해 계산된 축소변량과 앞서 유도된 이론적 축소변량 간의 평균제곱근오차(RMSE), 상대평균제곱근오차(RRMSE), 상대편의(RBIAS)를 산정하였다. 평균제곱근오차(RMSE) 는 확률오차(random error)를 나타낼 수 있고, 상대평균제곱근오차(RRMSE)는 계통오차(systematic error)와 확률오차(random error)를 함께 나타낼 수 있고, 상대편의 (RBIAS)는 계통오차(systematic error)를 나타낼 수 있다.
- 3 범위의 형상 매개변수에 대한 왜곡도 계수를 고려하여 도시위치공식의 매개변수를 추정하였다. 또한 유전자 알고리즘의 적용에서 가장 중요하다고 할 수 있는 목적함수는 Table 1에 나타난 목적함수의 형태에서 좌변과 우변의 평균제곱근오차(RMSE)로 설정하였다.
- 또한 최적화 기법인 유전자 알고리즘(genetic algorithm)을 적용하여 도시위치공식의 매개변수를 추정하였다. 유도된 도시위치공식의 정확성을 알아보기 위해 이론적으로 유도된 GEV 분포의 축소변량과 다양한 도시위치공식에 의해 계산되는 축소변량 사이의 평균제곱근오차(root mean square error, RMSE), 상대평균제곱근오차(relative root mean square error, RRMSE), 상대편의(relative bias, RBIAS)를 비교하였다.
이론/모형
- 금회 유도된 도시위치공식은 도시위치공식을 적용하여 산정되는 다른 빈도해석 과정 중의 기법에 대해 기초 연구로 적용될 수 있는데, 그 예로 적합도 검정 방법의 한 종류인 PPCC 검정을 들 수 있다. PPCC 검정의 검정통계 량은 확률분포형별로 적정하다고 알려져 있는 도시위치 공식을 적용하여 유도하게 된다. 이때 GEV 분포와 같이 형상 매개변수를 포함하고 있는 확률분포형의 경우 형상매개변수의 영향을 고려할 수 있는 도시위치공식을 적용하여 검정통계량을 유도한다면 확률분포형의 특성을 적합도 검정의 검정통계량에 나타낼 수 있다.
- 다양한 유전자 알고리즘 기법 중에서 본 연구에서는 real-coded genetic algorithm(RGA)을 적용하였다. RGA 는 유전자 알고리즘 장점이 기존에 사용되고 있던 이진법 (binary) 개념에서 제대로 활용되지 못하는 점을 고려하여 실수(real number) 개념을 표현할 수 있도록 개발된 것이다(Herrera et al.
- 본 연구에서는 GEV 분포에 적합한 도시위치공식의 매개변수을 추정하기 위해 최적화 알고리즘의 하나인 유전자 알고리즘(genetic algorithm)을 적용하였다. 유전자 알고리즘은 1975년에 Holland (1975)에 의해 개발된 기법으로 다윈(Darwin)의 적자생존 개념을 컴퓨터 기법화한 것이다.
- , 1998). 본 연구에서는 공용으로 사용할 수 있도록 공개된 RGA 코드를 적용하였다(Beyer and Deb, 2001; Deb and Beyer, 2001).
성능/효과
- (1) 이론적으로 유도된 축소변량과 유전자 알고리즘을 적용하여 GEV 분포의 형상 매개변수와 관련된 왜곡도 계수를 고려할 수 있는 도시위치공식을 유도하는 것이 가능한 것으로 나타났다.
- (2) 본 연구에서 왜곡도 계수를 고려한 도시위치공식의 다양한 형태를 가정하여 매개변수를 유도한 결과, 유도된 도시위치공식은 왜곡도 계수를 분모에 포함하고 있는 경우가 가장 타당한 것으로 나타났다.
- (3) 본 연구에서 제안한 도시위치공식은 GEV 분포의 형상 매개변수가 -0.25～0.10의 범위를 가질 때 이론적 축소변량과 가장 작은 오차를 보이는 것으로 나타났으며, 그 이상의 형상 매개변수를 포함하는 경우에는 Goel and De (1993)의 도시위치공식이 가장 작은 오차를 산정하는 것으로 나타났다.
- Tables 5～7의 결과를 종합하여 보면 형상 매개변수-0.25, -0.15의 범위에 대해서는 본 연구에서 유도된 도시 위치공식에 의한 오차가 가장 작고, 형상 매개변수 -0.05, 0.10의 범위에 대해서는 In-na and Nguyen (1989)의 도시 위치공식에 의한 오차가 가장 작은 것을 알 수 있다. 그러나 In-na and Nguyen (1989)의 도시위치공식은 제한된 범위 내에서만 계산이 가능하고, 내림차순 형태의 순서통계량을 계산하여 일반적인 적용에는 어려움이 따르므로 광범위한 적용은 어렵다고 판단된다.
- 15보다 큰 경우에는 type 2가 가장 작은 평균제곱근오차를 보이는 것으로 나타났다. 따라서 전체 평균제곱근오차는 type 3이 가장 작으나, 이는 가장 큰 왜곡도 계수에 대해 산정된 평균제곱근오차가 영향을 끼친 것으로 판단된다. 본 연구에서는 Table 3의 결과를 고려하여 type 2를 GEV 분포에 적합한 도시위치공식으로 선정하였고, type 2를 정리하여 나타내면 Eq.
- 그러나 In-na and Nguyen (1989)의 도시위치공식은 제한된 범위 내에서만 계산이 가능하고, 내림차순 형태의 순서통계량을 계산하여 일반적인 적용에는 어려움이 따르므로 광범위한 적용은 어렵다고 판단된다. 따라서 형상 매개변수 -0.25～0.10 범위에 대해서는 본 연구에서 유도한 도시 위치공식을 적용하고, 형상 매개변수 0.15 이상의 경우에는 Goel and De (1993)을 적용하는 것이 가장 작은 오차를 보일 것으로 판단된다.
- Table 2에 나타난 결과를 살펴보면 type 1의 평균제곱근오차가 가장 크고, type 3의 평균제곱근오차가 가장 작은 것을 알 수 있다. 또한 모의에 적용된 전체 세대수에 따라 매개변수 추정 결과나 전체 모의자료에 대한 평균제곱근오차에는 차이가 없는 것으로 나타났다.
- 전체 모의자료에 대한 평균제곱근오차는 type 3이 가장 작은 것으로 나타났으나, 형상 매개변수 -0.3의 경우에 해당하는 왜곡도 계수(γ = 13.4836)가 큰 값을 가짐에 따라 형상 매개변수 -0.3에 대한 평균제곱근오차가 전체 평균 제곱근오차에 영향을 끼칠 수 있다.
- 형상 매개변수 -0.15 (γ =2.5303)의 경우에서는 type 1, 2, 3 모두 비슷한 평균제곱근오차를 보였고, 형상 매개변수가 -0.15보다 큰 경우에는 type 2가 가장 작은 평균제곱근오차를 보이는 것으로 나타났다.
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