[논문]MCMC 방법을 이용한 ARMA-GARCH 모형에서의 예측 방법 연구

채화연; 최보승; 김기환; 박유성

doi:10.5351/kjas.2011.24.2.293

MCMC 방법을 이용한 ARMA-GARCH 모형에서의 예측 방법 연구
A Study for Forecasting Methods of ARMA-GARCH Model Using MCMC Approach 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.24 no.2, 2011년, pp.293 - 305

채화연 (한국씨티은행) , 최보승 (대구대학교 전산통계학과) , 김기환 (고려대학교 정보통계학과) , 박유성 (고려대학교 통계학과)

초록
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변동성은 최근 경제가 급변하면서 옵션의 가격 결정과 자산의 위험관리에서 그 중요성이 더 커지고 있다. 이러한 변동성은 분산을 지칭하며, 위험(risk)을 측정하는 수단이 되므로 정확한 추정과 예측이 매우 필요하다. 본 논문에서는 변동성에 대한 모형으로 오차항이 ARMA(p, q)-GARCH(r, s) 모형을 따르는 회귀모형을 설정하고, 이 모형의 모수에 대해 베이지안 추정법을 제시하였다. 또한 평균과 분산(변동성)에 대한 예측값을 구하고 이에 대한 베이지안 구간추정을 하였다. 이를 500개의 모의실험 자료를 통해 최우추정법과 비교하였다. 뿐만 아니라, 베이지안 방법을 이용하여 Frequentist의 관점에서는 구하기 어려운 GARCH 모형에서의 일종의 단위근이 존재할 확률을 구하였다.

Abstract ▼ AI-Helper

The volatility is one of most important parameters in the areas of pricing of financial derivatives an measuring risks arising from a sudden change of economic circumstance. We propose a Bayesian approach to estimate the volatility varying with time under a linear model with ARMA(p, q)-GARCH(r, s) errors. This Bayesian estimate of the volatility is compared with the ML estimate. We also present the probability of existence of the unit root in the GARCH model.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

Albert와 Chib (1993)이 제안한 베이지안 예측방법에 의한 예측에 대하여 알아보자. Albert와 Chib (1993)은 n + 1 시점의 y의 예측값을 모수의 함수 h(δ)로 간주하고 추정하였다.
GARCH 계수 β에 대한 표본 추출과정을 알아보자.
GARCH 모형 (2.6)으로부터 α와 β의 표본추출 방법에 들어가기 앞서 간단하게 사전 표본 오차 ω0의 생성방법에 대하여 알아보자.
김우환 (2011)은 우리나라 KOSPI 주가지수의 변동을 예측하기 위하여 GARCH-ARJI(auto regressive jump intensity) 모형을 이용하였다. GARCH-ARJI 모형을 이용하여 시계열 자료가 가지는 일 상정인 변동과 더불어 시간 가변성에 의하여 발생하는 추가적인 변동을 설명하고자 하였다. 홍선영 등 (2009)는 비대칭 변동성을 설명하기 위하여 I-TGARCH(Integreated-Treshold GARCH) 모형을 이용하였으며 이를 KOSPI 주가자료에 적용하였다.
본 연구에서는 변동성 예측을 위한 모형으로서 오차항이 ARMA-GARCH 모형을 따르는 회귀모형을 설정하고, 이 모형의 모수에 대해 베이지안 측면에서의 추정방법으로 Nakutsuma (2000)이 제안한 방법을 이용하였고 평균과 분산(변동성)의 예측을 위하여 Albert와 Chib (1993)이 제안한 방법을 이용 하였다. 그리고 HPD 신용구간을 이용하여 예측값에 대한 이들의 신뢰구간을 구하고자 하였다. 또한, GARCH 모형에서 일종의 단위근이 존재하여 IGARCH 모형이 될 사후확률을 구하였다.
은 k번째 MCMC 확률표본을 의미한다. 본 논문에서는 베이즈 추정과 최우추정에 대한 평균제곱오차제곱근(root mean squared error; RMSE)을 구하기 위해 모형 (3.1)을 따르는 자료를 각각 500개 생성하였다. 베이즈 추정에서는 MCMC 방법을 이용하여 총 33,000개의 확률표본을 추출하였다.
이제 ARMA-GARCH 모형에서 GARCH 부분의 모수인 α들의 추출방법에 대하여 살펴보자.
, _n}를 함께 갱신한다. 이제 각 단계에서 표본을 추출하는 과정에 대하여 자세히 살펴보자.

가설 설정

고전적 회귀모형에서는 오차항은 동일한 분산을 가지고 오차항들 간에는 독립임을 가정한다. 그러나 시계열 자료에 대한 회귀모형을 구축하고자 할 때 시계열 자료가 가지는 자기상관성에 의하여 고전적 회귀 모형의 이용은 모수의 추론에서 여러가지 문제를 발생시킨다.
이고, y0 = 0, 모든 t < 0에 대해 yt = 0, 모든 t ≤ 0에 대해 xt = 0이라 가정한다.
조건부 분산 Σ =daig{σ21, . . . , σ2 n}는 고정된 알려진 값이라고 가정하였고 각 MCMC 과정에서 추출된 표본을 이용하여 조건부 분산 {σ21, . . . , σ2 n}과 오차항의 추정치 {ˆ1, . . . , n}를 함께 갱신한다.

제안 방법

이 가운데 초기 3,000개의 확률표본은 계열의 안정성을 위해 사용하지 않았다(burn-in sample). 또한 MCMC 표본추출에서 표본들이 가지는 강한 자기 상관성(serial correlation)을 제거하기 위해 30,000개의 표본 가운데 매 3번째 값만을 선택하여 최종 10,000개의 확률표본을 분석에 이용하였다.
그리고 HPD 신용구간을 이용하여 예측값에 대한 이들의 신뢰구간을 구하고자 하였다. 또한, GARCH 모형에서 일종의 단위근이 존재하여 IGARCH 모형이 될 사후확률을 구하였다. 전개될 내용을 간략하게 요약하면, 2절에서 ARMA-GARCH 모형에 대해 소개와 베이지안 방법을 이용한 ARMAGARCH 모형에의 적용 과정을 전개한다.
이러한 변동성은 분산을 지칭하며, 위험(risk)을 측정하는 수단이 되므로 정확한 추정과 예측이 필요하다. 본 논문에서는 변동성에 대한 모형으로 오차항이 ARMA(p, q)-GARCH(r, s) 모형을 따르는 회귀 모형을 설정하였다. 이 모형은 ARMA 모형 뿐 아니라 GARCH 모형을 따르는 오차항에 대한 추론이 가능한 완전(full)모형이라 할 수 있다.
1)을 ARMA 모형과 GARCH 모형 두 부분으로 나누고 Chib과 Greenberg (1994)가 제안한 방법을 조정하여 우도함수를 간단한 형태로 만들었다. 이를 사전분포와 결합하여 각 모수에 조건부 분포를 만든 후 이에 대한 제안분포를 구하고, 깁스 표본추출(Gibbs sampler) (Gelfand와 Smith, 1990)을 통해 표본을 추출하였다. 깁스 표본추출을 이용하여 각 모수에 대한 조건부분포로부터 표본을 추출하는 과정은 다음과 같다.

데이터처리

각 예측값에 대한 예측 정확도를 비교하기 위하여 5시점의 예측값에 대한 RMSE를 계산하였고 예측값의 구간추정으로 베이지안 방법에 대해서는 500개의 표본으로부터 95% HPD 신용구간을 계산하였고 ML 추정에서는 수렴한 163개의 표본으로부터 95% 신뢰구간을 계산한 후 각 구간들이 실제값을 포함하는지에 대한 확률인 포함확률(coverage probablilty; CP)를 계산하였다. 표 3.
500개 각 자료를 가지고 모수에 대한 추정한 결과, 베이즈 추정은 모두 수렴(converge)하였으나, 최우추정은 전체 자료의 약 1/3정도인 163개 표본만이 수렴하였다. 베이즈 추정과 최우추정의 성능을 비교하기 위해서 모의실험 자료의 추정값에 대한 RMSE를 구하였다. 결과는 표 3.

이론/모형

θ∗의 선택을 위하여 Chib과 Greenberg (1994)가 제안한 방법에 GARCH 모형이 가지는 이분산성을 고려하여 다음과 같은 가중 비선형 최소제곱추정을 선택하였다.
ARMA 모형의 θ와 비슷하게 적절한 제안분포로부터 표본을 추출한 후 Metropolis-Hastings 알고리즘을 이용하여 표본을 추출할 수 있다.
1)을 따르는 자료를 각각 500개 생성하였다. 베이즈 추정에서는 MCMC 방법을 이용하여 총 33,000개의 확률표본을 추출하였다. 이 가운데 초기 3,000개의 확률표본은 계열의 안정성을 위해 사용하지 않았다(burn-in sample).
1) 모형에 대하여 베이지안 방법에 의한 모수 추정 방법에 대하여 알아본다. 본 연구에서는 Chib과 Greenberg (1994)가 제안한 방법을 Nakutsuma (2000)이 보완하여 적용한 방법을 이용하였다. Nakutsuma (2000)가 제안한 방법에 따른 베이지안 절차는 다음과 같다.
본 연구에서는 변동성 예측을 위한 모형으로서 오차항이 ARMA-GARCH 모형을 따르는 회귀모형을 설정하고, 이 모형의 모수에 대해 베이지안 측면에서의 추정방법으로 Nakutsuma (2000)이 제안한 방법을 이용하였고 평균과 분산(변동성)의 예측을 위하여 Albert와 Chib (1993)이 제안한 방법을 이용 하였다. 그리고 HPD 신용구간을 이용하여 예측값에 대한 이들의 신뢰구간을 구하고자 하였다.
언급한 바와 같이 θ에 대한 조건부 사후분포함수는 일반적으로 알려진 함수의 형태가 아니기에 Met ropolis-Hastings 알고리즘 (Metropolis 등, 1953; Hastings, 1970)을 이용하여 표본추출 과정을 완성한다.
이 모형은 ARMA 모형 뿐 아니라 GARCH 모형을 따르는 오차항에 대한 추론이 가능한 완전(full)모형이라 할 수 있다. 이 모형의 베이즈 추정을 위한 깁스 표본추출과 MetropolisHasting 알고리즘을 이용한 MCMC 방법을 전개하였다. 베이즈 추정과 최우추정의 RMSE를 비교한 결과, 큰 차이는 보이지 않았지만 자료의 1/3에서만 추정값이 수렴하였던 최우추정과 다르게 베이즈 추정에서는 모든 자료에 대한 추정이 가능 하였다.
GARCH-ARJI 모형을 이용하여 시계열 자료가 가지는 일 상정인 변동과 더불어 시간 가변성에 의하여 발생하는 추가적인 변동을 설명하고자 하였다. 홍선영 등 (2009)는 비대칭 변동성을 설명하기 위하여 I-TGARCH(Integreated-Treshold GARCH) 모형을 이용하였으며 이를 KOSPI 주가자료에 적용하였다. 이와는 조금 다른 관점에서 박만식 등 (2008)은 개별 시계열 자료들의 변동성간에 발생할 수 있는 유사성 및 상서성을 측정하기 위하여 GARCH 모형을 이용하였다.

성능/효과

500개 각 자료를 가지고 모수에 대한 추정한 결과, 베이즈 추정은 모두 수렴(converge)하였으나, 최우추정은 전체 자료의 약 1/3정도인 163개 표본만이 수렴하였다. 베이즈 추정과 최우추정의 성능을 비교하기 위해서 모의실험 자료의 추정값에 대한 RMSE를 구하였다.
또한, 베이즈 추정을 사용하여 오차와 조건부 이분산에 대한 초기 표본오차(pre-sample error) 값을 처리할 수 있었고, GARCH 모형에서 단위근이 존재하여 IGARCH 모형이 될 사후확률도 구할 수 있었다. 구간추정면에서 베이즈 추정은 최대우도추정법으로 구할 수 없었던 분산(변동성)에 대한 예측의 신뢰구간을 구할 수 있었으며, 평균에 대한 신뢰구간에서도 최우추정보다 베이즈 추정의 HPD 신용구간이 실제값을 포함할 확률(Coverage Probability)이 더 좋았고, 예측 시점이 길어지더라도 안정적인 확률을 가짐을 보였다.
또한 예측의 95% 신뢰구간에서 예측 시점이 길어짐에 따라 베이즈 추정의 HPD구간은 90∼95%의 CP를 유지하지만 ML 추정에 기초한 신뢰구간에서는 점차줄어듬을 볼 수 있다. 다음으로 GARCH 모형에서 IGARCH 모형이 될 사후확률 (3.2)를 계산한 결과 0.0768623의 확률을 얻었다. 즉 약 7.
또한 예측의 95% 신뢰구간에서 예측 시점이 길어짐에 따라 베이즈 추정의 HPD구간은 90∼95%의 CP를 유지하지만 ML 추정에 기초한 신뢰구간에서는 점차줄어듬을 볼 수 있다.
베이즈 추정과 최우추정의 RMSE를 비교한 결과, 큰 차이는 보이지 않았지만 자료의 1/3에서만 추정값이 수렴하였던 최우추정과 다르게 베이즈 추정에서는 모든 자료에 대한 추정이 가능 하였다. 또한, 베이즈 추정을 사용하여 오차와 조건부 이분산에 대한 초기 표본오차(pre-sample error) 값을 처리할 수 있었고, GARCH 모형에서 단위근이 존재하여 IGARCH 모형이 될 사후확률도 구할 수 있었다. 구간추정면에서 베이즈 추정은 최대우도추정법으로 구할 수 없었던 분산(변동성)에 대한 예측의 신뢰구간을 구할 수 있었으며, 평균에 대한 신뢰구간에서도 최우추정보다 베이즈 추정의 HPD 신용구간이 실제값을 포함할 확률(Coverage Probability)이 더 좋았고, 예측 시점이 길어지더라도 안정적인 확률을 가짐을 보였다.
이 모형의 베이즈 추정을 위한 깁스 표본추출과 MetropolisHasting 알고리즘을 이용한 MCMC 방법을 전개하였다. 베이즈 추정과 최우추정의 RMSE를 비교한 결과, 큰 차이는 보이지 않았지만 자료의 1/3에서만 추정값이 수렴하였던 최우추정과 다르게 베이즈 추정에서는 모든 자료에 대한 추정이 가능 하였다. 또한, 베이즈 추정을 사용하여 오차와 조건부 이분산에 대한 초기 표본오차(pre-sample error) 값을 처리할 수 있었고, GARCH 모형에서 단위근이 존재하여 IGARCH 모형이 될 사후확률도 구할 수 있었다.
1과 같다. 추정 방법에 따른 RMSE의 큰 차이는 보이지 않지만, 최우추정은 전체 자료의 약 1/3정도(163개)만 믿을 만한 추정값을 제공하였고 베이즈 추정은 전체 자료에서 믿을 만한 추정값을 제공하였다는 점에서 큰 의미를 가진다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	파생상품 가격결정 이론인 Black-Scholes 모형에서는 변동성을 어떻게 가정하는가?	금융시계열 자료를 이용하여 분석을 수행할 때는 미래시점의 값에 대한 예측과 더불어 변동성(volatility)의 추정 및 예측 또한 중요한 관심사항이라 할 수 있다. 파생상품 가격결정 이론인 Black-Scholes 모형에서 일반적으로 변동성은 상수라 가정한다. 그러나 실제 Black-Scholes 모형이 적용되는 금융시계열 자료에서 변동성은 측정 시점의 사회, 경제적인 상황에 따라 끊임없이 변동하기 때문에 변동성이 상수라는 가정은 적절하지 않다고 볼 수 있다.
	시계열 자료에 대한 예측 모형으로 가장 대표적인 방법은 무엇인가?	그러나 시계열 자료에 대한 회귀모형을 구축하고자 할 때 시계열 자료가 가지는 자기상관성에 의하여 고전적 회귀 모형의 이용은 모수의 추론에서 여러가지 문제를 발생시킨다. 시계열 자료에 대한 예측 모형으로 가장 대표적인 방법은 ARMA(autoregressive and moving average) 방법이다. 이는 현 시점에서의 시계열 값은 자기상관성에 기반한 과거 값과 오차항의 가중평균에 의하여 구성되었다고 보고 이들에 기초하여 모형을 구축하고 분석을 수행하는 방법이다.
	ARMA 방법은 무엇인가?	시계열 자료에 대한 예측 모형으로 가장 대표적인 방법은 ARMA(autoregressive and moving average) 방법이다. 이는 현 시점에서의 시계열 값은 자기상관성에 기반한 과거 값과 오차항의 가중평균에 의하여 구성되었다고 보고 이들에 기초하여 모형을 구축하고 분석을 수행하는 방법이다. 금융시계열 자료를 이용하여 분석을 수행할 때는 미래시점의 값에 대한 예측과 더불어 변동성(volatility)의 추정 및 예측 또한 중요한 관심사항이라 할 수 있다.

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표제어: PCR

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용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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