[논문]보험위험 확률모형에서의 파산확률

박현숙; 최정규

doi:10.5351/kjas.2011.24.4.575

보험위험 확률모형에서의 파산확률
Ruin Probability on Insurance Risk Models 원문보기

응용통계연구 = The Korean journal of applied statistics, v.24 no.4, 2011년, pp.575 - 586

박현숙 (한림대학교 금융정보통계학과) , 최정규 (한림대학교 금융정보통계학과)

초록
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본 연구는 보험산업에서 관심을 갖는 파산확률의 근사적 추이를 살펴보기 위하여 크레임의 분포가 정규변동성 성질을 갖는 사례를 통하여 파산가능성의 추이를 살펴보고, 정확한 파산확률 유도에 결정적인 역할을 하는 계수를 추정하는 실증연구에 초점을 둔다. 추정된 결정계수와 보험위험 확률모형의 안전지수와의 연관성을 분석하여 파산확률의 추이를 진단하는 방법도 함께 진행된다.

Abstract ▼ AI-Helper

In this paper, we study an asymptotic behavior of the finite-time ruin probability of the compound Poisson model in the case that the initial surplus is large. To compare an exact ruin probability with an approximate one, we place the focus on the exact calculation for the ruin probability when the claim size distribution is regularly varying tailed (i.e. exponential claims and inverse Gaussian claims). We estimate an adjustment coefficient in these examples and show the relationship between the adjustment coefficient and the safety premium. The illustration study shows that as the safety premium increases so does the adjustment coefficient. Larger safety premium means lower "long-term risk", which only stands to reason since higher safety premium means a faster rate of safety premium income to offset claims.

주제어

AI 본문요약
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문제 정의

어느 시기에 파산가능성이 커질지를 관련된 지수를 통하여 조정이 가능하거나 예측이 가능하다는 것은 실질적인 자사의 자금 운영에 큰 도움이 될 것이기 때문이다. 국내외 보험회사의 자료 공개가 제한되어 있기 때문에, 본 연구에서는 실제 크레임의 자료를 통한 분석을 진행하지는 못하였으나, 모의실험을 통한 연구 방법과 결과가 실제 자료만 주어진다면 직접적으로 적용 가능한 방법임을 제시하고자 한다.
크레임의 꼬리 분포 모양에 따라 파산확률의 추이를 결정하는 계수의 값이 달라진다는 점을 알 수 있고, 결정계수가 파산확률의 추이에 영향을 미친다는 점도 직관할 수 있게 된다. 그렇다면 파산확률의 근사적 추이를 미리 진단할 수 있도록 정보를 주는 변수들이 무엇인지를 결론적으로 살펴보자. 먼저 안전지수와 계수 R과의 연관성이 파산확률에 어떤 영향을 미치는가를 살펴볼 필요가 있다.
보험회사 입장에서는 보험료 지급에 있어서 손실을 최소화하기 위해 자사 위험도의 추세를 설명하는 모형이 필요하고, 이러한 모형으로 부터 금융위기 및 자연재해 등의 영향으로 빚어질 위험(risk) 정도를 미리 예측 가능하도록 하는 점에 관심을 갖는다. 본 연구는 보험위험 확률과정을 레비확률과정으로 고려하여 레비가 갖는 샘플패스의 성질 규명을 기반으로 얻어진 이론결과를 토대로 한다. 보험산업에서 발생되는 빅크레임(big-claims) 사건이 실제 보험 자료에서 관측되어진다는 면에서 레비 확률과정을 고려하는 것은 현실적으로 타당하다고 본다.
2)로 부터 유도되는 것은 간단한 문제가 아니기 때문에 R의 값을 어떻게 찾아야 하는지에 대한 방법이 필요하다. 본 연구에서 해결하고자 하는 아이디어는 결정계수 R이 레비확률과정의 라플라스 변환 Ee^RXt상에 모든 t에 따라 동일한 R값으로 존재하게 되므로, 이를 이용하고자 하는 것이다. 다음의 레비확률과정의 라플라스 변환에서 살펴본다면, 직관적으로 알 수 있다.
본 연구에서는 자연재해나 금융위기에 의해 발생 가능한 빅크레임의 가정하에 보험회사의 초기자본금이 증가할수록 파산확률의 근사적 추이가 어떻게 변화되는지를 살펴보기 위한 실증연구에 초점을 둔다. 이를 위하여 크레임의 분포가 열지수 분포(subexponential distribution)의 성질을 갖는 가정하에 Park (2010)의 유한시간대에서 얻어진 근사적인 파산확률(approximate ruin probability)과 본 연구에서 고려하는 크레임의 분포가 정규변동성(regular variation) 성질을 갖는 경우에서 정확히 계산되는 파산확률(exact ruin probability)의 근사적 추이를 비교한다.
파산확률의 근사적 추이를 초기 자본금이 증가함에 따라 어떻게 변화되는지를 살펴보았다. 크레임의 꼬리 분포 모양에 따라 파산확률의 추이를 결정하는 계수의 값이 달라진다는 점을 알 수 있고, 결정계수가 파산확률의 추이에 영향을 미친다는 점도 직관할 수 있게 된다.

가설 설정

반면에 파산이 일어날 직전 보험회사의 잉여자금(surplus)은 언더슈트가 설명하여 준다. 레비확률과정의 샘플패스에서 업워드 점프(upward jump)의 크기가 갖는 분포의 특성은 레비메져가 정규변동성 분포족에 포함된다는 가정으로 표현된다.

제안 방법

1. 레비확률과정의 적률생성함수가 유한하다는 조건에서 유도된 정확히 계산된 파산확률 제안.
2. 크레임의 분포가 정규변동성 분포족에 속하는 경우, 초기자산이 증가함에 따른 근사적 파산확률과 정확한 파산확률과의 추이(behavior) 비교를 위한 모의실험.
3. 정확히 계산된 파산확률은 크레임 확률변수의 적률생성함수의 인덱스에 직접적인 영향을 받게 되는데, 모의실험을 통하여 그 정도를 확인, 그리고 인덱스와 제안된 보험위험 확률과정의 안전지수(safety premium)와의 연관성(relationship) 분석.
1)의 근사적 확률값을 비교하기 위하여 몬테칼로 시뮬레션 방법을 이용한다. 가장 기본적인 모의실험 방법은 레비확률과정의 샘플패스를 이산적인 값으로 난수발생하여 샘플패스의 값이 초기 자본 u값을 넘게 되는 확률을 계산하여, 이를 파산확률의 추정값으로 제안하는 것이다. 몬테칼로 시뮬레이션을 10,000번 정도 시행하여 그 파산확률의 평균값을 계산한 추정량을 파산확률로 사용한다.
레비확률과정의 드리프트(drift)가 −∞으로의 경우에서 크레임의 분포가 정규변동성 분포족에 속할 때에 파산확률(finite-time ruin probability)의 추이를 실증분석하는 방법을 고려한다.
보험위험 확률모형(insurance risk model)을 다음의 서플러스 확률과정(surplus processes)으로 제안한다.
본 연구에서는 자연재해나 금융위기에 의해 발생 가능한 빅크레임의 가정하에 보험회사의 초기자본금이 증가할수록 파산확률의 근사적 추이가 어떻게 변화되는지를 살펴보기 위한 실증연구에 초점을 둔다. 이를 위하여 크레임의 분포가 열지수 분포(subexponential distribution)의 성질을 갖는 가정하에 Park (2010)의 유한시간대에서 얻어진 근사적인 파산확률(approximate ruin probability)과 본 연구에서 고려하는 크레임의 분포가 정규변동성(regular variation) 성질을 갖는 경우에서 정확히 계산되는 파산확률(exact ruin probability)의 근사적 추이를 비교한다. Bingham 등 (1987)에서 알려져 있듯이, 열지수 분포족은 정규변동성 성질을 갖는 분포족을 포함하므로 꼬리가 긴 크레임 분포로써 지수분포와 역정규 분포를 이용한 모의실험을 통하여 파산확률의 근사적 추이를 살펴본다.
레비확률과정의 드리프트(drift)가 −∞으로의 경우에서 크레임의 분포가 정규변동성 분포족에 속할 때에 파산확률(finite-time ruin probability)의 추이를 실증분석하는 방법을 고려한다. 크레임의 분포가 지수분포와 역정규분포일 경우, 다음의 두 결과에 대한 파산확률의 근사적 추이를 제안한 방법에 의하여 비교한다. 정리 3.

이론/모형

결정된 R의 값을 이용하여 얻어진 식 (3.2)의 정확한 파산확률값과 식 (3.1)의 근사적 확률값을 비교하기 위하여 몬테칼로 시뮬레션 방법을 이용한다. 가장 기본적인 모의실험 방법은 레비확률과정의 샘플패스를 이산적인 값으로 난수발생하여 샘플패스의 값이 초기 자본 u값을 넘게 되는 확률을 계산하여, 이를 파산확률의 추정값으로 제안하는 것이다.
2)가 만족되는 분포들은 α₁차 모멘트 (moment)가 유한(finite)하다. 두터운 꼬리 분포족이 갖는 성질과 그들의 응용은 Bingham 등 (1987)과 Embrechts 등 (1979)을 참조한다.
효율성이 좋은 실증적 방법을 통하여 보험산업의 현실적 상황을 예측할 수도 있고, 그 상황과 이론적 가정을 조율하여 이론 연구의 활용성을 강구하는 방편이 되기도 한다. 많은 근사기법 중 본 연구에서 제안하는 정규변동성 성질을 갖는 조건에서는 가장 널리 사용되고 있는 몬테칼로 시뮬레이션 방법을 이용한다. 알고리즘의 효율성을 지향하는 방안을 추구하고 실제 보험산업에 활용될 수 있다는 점에서도 시뮬레이션의 결과는 두터운 꼬리 분포족의 특성을 잘 대변한다고 본다.
가장 기본적인 모의실험 방법은 레비확률과정의 샘플패스를 이산적인 값으로 난수발생하여 샘플패스의 값이 초기 자본 u값을 넘게 되는 확률을 계산하여, 이를 파산확률의 추정값으로 제안하는 것이다. 몬테칼로 시뮬레이션을 10,000번 정도 시행하여 그 파산확률의 평균값을 계산한 추정량을 파산확률로 사용한다. 이 때 점프가 발생되는 시간도 랜덤하게 정해지고 점프의 발생 건수도 랜덤하게 난수 발생을 한다 (Park, 2010, 표 1).

성능/효과

두 그림의 파산확률의 추이를 살펴보면, 초기자본금이 증가할수록 정확한 파산확률과 근사적인 파산확률의 차이가 줄어드는 것으로 보인다. 초기자본금이 작을 때에 근사정도가 좋지 않은 이유는 식 (3.
2에서는 결정계수 R이 감소하면 할수록 파산확률은 증가하는 추이로 나타난다는 점을 알 수 있다. 안전지수는 보험회사의 서플러스를 안전하게 유지시켜주는 기준이 되는데 안전지수가 증가하면 할수록 결정계수 R도 증가하는 것을 그림 4.1을 통하여 알 수 있고, 이는 파산확률이 감소하면서 회사가 갖는 리스크를 줄여주는 작용을 한다는 결론을 얻는다. 크레임의 평균 양이 증가하면 결정계수 R은 감소하게 되고 리스크는 증가하는 결과를 갖게 된다.
2에서 나타나듯 크레임의 평균양을 일정한 상수값으로 갖는다고 고려할 경우 보다 크레임의 양이 지수분포를 따른다고 고려할 경우의 리스크가 더 큰 것으로 결론지을 수 있으며, 이것은 더 “volatile”하다라는 의미로 해석할 수 있다. 안전지수와 크레임의 총량과 결정계수의 연관성을 미리 살펴본다면 파산확률의 추이가 어떻게 진행될지 진단 가능함을 확인하였다.
역정규분포의 적률생성함수 mY(r)은 r ≤ 1/2sµ−2의 범위내에서는 항상 존재하므로, R이 갖는 상한값 1/2sµ−2 = 0.005를 정하고, 프리미엄 안전지수 θ =1/3, 1.0, 1.5, 3.0에 대하여 함수 h(r)을 구하기 위하여 반복적인(iterative)수치계산에 의하여 R1/3 =0.00231, R1.0 = 0.00418, R1.5 = 0.004769, R3.0 = N/A을 얻었다.

후속연구

먼저 안전지수와 계수 R과의 연관성이 파산확률에 어떤 영향을 미치는가를 살펴볼 필요가 있다. 다음으로는 크레임의 양이 많을수록 결정계수 R이 어떻게 움직이는지의 추이도 파산확률에 영향을 미치기 때문에 그들의 연관성에 대한 분석도 필요하다. 크레임이 갖는 분포가 파라메터 1인 지수분포일 경우에서와 크레임의 발생 크기가 특정분포를 갖는 것이 아닌 일정한 평균적으로 1의 만큼으로 설명되는 경우에서 안전지수와 결정계수 R의 연관된 추이는 그림 4.
보통 모든 x > 0에 대하여 # = 1 − F(x) > 0을 갖는 어떤 확률변수 X가 두터운 꼬리 분포를 가졌다는 것은 모든 θ > 0에 대하여 E exp(θX) = ∞일 경우를 말한다. 하지만 본 연구의 실증분석에서는 적률생성함수가 유한이면서 꼬리가 긴 분포가 만족하는 정규변동성 성질을 갖는 분포족의 사례를 이용할 것이다. 잘 알려진 두터운 꼬리 분포족으로는 열지수분포족이 있다.

질의응답

핵심어	질문	논문에서 추출한 답변
	보험회사에서 위험도의 추세를 설명하는 모형이 필요한 이유는?	보험회사 입장에서는 보험료 지급에 있어서 손실을 최소화하기 위해 자사 위험도의 추세를 설명하는 모형이 필요하고, 이러한 모형으로 부터 금융위기 및 자연재해 등의 영향으로 빚어질 위험(risk) 정도를 미리 예측 가능하도록 하는 점에 관심을 갖는다. 본 연구는 보험위험 확률과정을 레비확률과정으로 고려하여 레비가 갖는 샘플패스의 성질 규명을 기반으로 얻어진 이론결과를 토대로 한다.
	보험회사에서 가장 관심을 두는 것은 무엇인가?	보험회사에서 가장 관심을 두는 것은 언제 파산이 일어나는가에 관한 것이다. 이러한 연구는 크게 크레머(Cramér)와 난크레머(non-Cramér) 접근방법으로 나눌 수 있으며, 크레머 접근방법은 Bertoin과 Doney (1994)의 결과가 대표적이다.
	자본금이 충분하여도 보험회사의 리스크에 영향을 주는 몇 가지 주요요인에는 어떠한 것들이 있는가?	자본금이 충분하여도 보험회사의 리스크에 영향을 주는 몇 가지 주요요인들이 있다. 예를들면, 보험자금의 흐름에 영향을 주는 안전지수(safety premium)와 정규변동성 성질을 갖는 크레임의 적률생성 함수와 연계된 결정계수 등. 이들의 관계를 모의실험을 통하여 어떻게 움직이는지를 규명하여, 연관성에 따라 파산확률이 설명되어진다는 점도 3장에서 살펴보고자 한다.

참고문헌 (13)

Bertoin, J. and Doney, R. A. (1994). Cramer's estimate for Levy processes, Statistics and Probability Letters, 21, 363-365.

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Bingham, N. H., Goldie, C. M. and Teugels, J. L. (1987). Regular Variation, Cambridge University Press.
Dickson, D. C. M. and Hipp, C. (2001). On the time to ruin for Erlang(2) risk processes, Insurance: Math-matics & Economics, 29, 333-344.

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Doney, R. A. and Kyprianou, A. (2006). Overshoots and undershoots of Levy processes, Annals of Applied Probability, 16, 91-106.

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Embrechts, P., Goldie, C. M. and Veraverbeke, N. (1979). Subexponentaility and infinite divisibility, Z.Wahrsch. Verw. Gebiete, 49, 335-347.

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Embrechts, P., Kluppelberg, C. and Mikosch, T. (1997). Modelling Extremal Events for Insurance and Finance, Springer-Verlag, Berlin.
Goldie, C. M. (1978). Subexponential distributions and dominated-variation tails, Journal of Applied Probability, 15, 440-442.

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Kluppelberg, C., Kyprianou, A. E. and Maller, R. A. (2004). Ruin probabilities and overshoots for general Levy insurance risk processes, Annals of Applied Probability, 14, 1766-1801.

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Park, H. S. (2010). Computing the ruin probability of Levy insurance risk processes in non-Cramer models, Communications of the Korean Statistical Society, 17, 483-491.

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Park, H. S. (2011). A note on limiting distribution for jumps of Levy insurance risk model, Journal of the Korean Statistical Society, 40, 93-98.

원문보기 상세보기
Park, H. S. and Maller, R. A. (2008). Moment and MGF convergence of overshoots and undershoots for Levy insurance risk processes, Advances in Applied Probability, 40, 716-733.

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Tang, Q. and Tsitsiashvili, G. (2003). Randomly weighted sums of subexponential random variables with application to ruin theory, Extremes, 6, 171-188.

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Teugels, J. L. (1975). The class of subexponential distributions, Annals of Probability, 3, 1000-1011.

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저자의 다른 논문 :

표제어: PCR

동의어: Packet Collision Rate

용어 설명 출처 목록 (6)

용어 설명: PCR은 세균 특이성이 있는 primer를 이용하여 적은 수의 세균이 있을지라도 쉽게 검출할 수 있는 유용한 방법이며, 이를 이용하여 구강 내 치면세균막이나 타액에서 직접 세균을 검출할 수 있게 되었다[8].

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