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문제 정의
- 본 연구는 연산의 성질을 중심으로 우리나라 저·중·고 학년별 학생들의 일반화된 산술로서의 대수적 추론 능력 실태를 알아봄으로써 성공적인 대수 교수-학습 방향을 탐색하기 위한 시사점을 도출할 수 있을 것으로 기대된다.
- 본 연구는 우리나라 초등학교 2, 4, 6학년 학생들의 대수적 추론 능력을 조사하고자 전국 초등학교를 표집대상으로 하였으며, 교육과학기술부에서 제시한 2009년 전국 초등학교 주소록을 표집틀로 사용하였다. 본 연구는 지역에 따른 학생들의 능력 차이를 비교하기 보다는 우리나라 초등학생들의 전반적인 경향을 파악하는 데 관심을 두었고, 모집단의 구성원인 학생을 직접 추출하는 것이 아니라 학교와 학급을 표집 단위로 하는 2단계 군집 표집의 방법을 사용함으로써 표본 추출의 시간적 경제적 비용을 최소화하고자 했다. 2009년 10월에 발표된 교육통계연보에 따르면 전국의 초등학교 수는 총 5,829 개로 본 연구에서는 전국 초등학교의 0.
- 이러한 연구 배경과 필요성을 바탕으로 본 연구에서는 초등학교에서 가장 핵심이라 할 수 있는 수와 연산 영역과 관련하여 전국 초등학교 저·중·고학년 학생들을 대상으로 연산의 성질에 대한 이해 실태를 조사하였다.
- 일반화된 산술로서의 대수적 추론은 학교 수학에서 주요하게 다루어져야 할 대수적 추론 중 하나로서, 어린 학생들도 접근 가능하며 유망하다는 측면에서 특히, 초기 대수에서 중요하게 다룰 필요가 있다(Blanton & Kaput, 2005; Kaput, 2008). 이에 본 논문은 일반화된 산술로서의 대수적 추론 능력을 중심으로 학생들의 이해 실태를 알아보고자 한다.
제안 방법
- 개발된 검사 도구의 타당도를 높이고, 문항의 난이도와 적절성 등을 제고하기 위해 총 3회에 걸쳐 예비 검사를 실시하였고, 문항수의 조절, 문항 진술상의 문제점 수정, 난이도 조정 등을 거친 후 전문가 1인과 교사 7인의 검토를 받았다. 최종적인 검사 도구는 <표 Ⅲ-1>에 제시된 바와 같이, 덧셈의 교환법칙, 덧셈의 결합 법칙, 곱셈의 교환법칙, 곱셈의 결합법칙, 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙의 5가지 과제로 구성되었고, 과제별로 3문항씩 총 15문항으로 구성되었다.
- 검사 도구는 2학년용과 4·6학년용의 두 가지로 구분하여 작성하였다.
- 본 연구는 일반화된 산술로서의 대수적 추론 능력 검사지를 통해 초등학교 2학년, 4학년, 6학년 학생들의 대수적 추론 능력이 어떠한지를 파악하는 데 초점을 두기 때문에 조사 연구 방법을 적용하였다. 검사 도구는 초등학생들의 일반화된 산술로서의 대수적 추론 능력을 알아보기 위한 목적으로, 우리나라 수학과 교과용 도서에 제시된 대수적 추론 관련 내용, Blanton과 Kaput(2005)이 초등학생들에게 적절한 것으로 제안한 대수적 추론의 유형, Jacobs, Franke, Carpenter, Levi, 그리고 Battey(2007)의 연구에서 사용한 검사 문항, Beatty와 Moss(2007)의 연구에서 다룬 대수적 추론의 요소들을 참고하여 개발하였다.
- 이러한 연구 배경과 필요성을 바탕으로 본 연구에서는 초등학교에서 가장 핵심이라 할 수 있는 수와 연산 영역과 관련하여 전국 초등학교 저·중·고학년 학생들을 대상으로 연산의 성질에 대한 이해 실태를 조사하였다. 구체적으로 덧셈 및 곱셈에서의 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙과 관련하여 학생들이 구체적인 수가 주어졌을 때 연산법칙이 성립한다는 것을 이해할 수 있는지, 임의의 수 상황에서 연산법칙을 일반화할 수 있는지, 그리고 연산 법칙을 적용하여 미지의 값을 구할 수 있는지를 자세하게 분석하였다.
- 본 검사는 학급 담임교사가 직접 실시하도록 안내하였고, 검사 시간은 40분으로 답안 작성은 학생들이 검사지에 직접 기술하도록 하였다. 학생들의 반응은 정답, 오답, 무응답으로 구분하고 각각의 빈도수와 백분율을 조사하였다.
- 본 연구는 일반화된 산술로서의 대수적 추론 능력 검사지를 통해 초등학교 2학년, 4학년, 6학년 학생들의 대수적 추론 능력이 어떠한지를 파악하는 데 초점을 두기 때문에 조사 연구 방법을 적용하였다. 검사 도구는 초등학생들의 일반화된 산술로서의 대수적 추론 능력을 알아보기 위한 목적으로, 우리나라 수학과 교과용 도서에 제시된 대수적 추론 관련 내용, Blanton과 Kaput(2005)이 초등학생들에게 적절한 것으로 제안한 대수적 추론의 유형, Jacobs, Franke, Carpenter, Levi, 그리고 Battey(2007)의 연구에서 사용한 검사 문항, Beatty와 Moss(2007)의 연구에서 다룬 대수적 추론의 요소들을 참고하여 개발하였다.
- 연산의 성질에 대한 이해는 덧셈의 교환법칙, 덧셈의 결합법칙, 곱셈의 교환법칙, 곱셈의 결합법칙, 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙의 다섯 가지 연산 법칙을 중심으로 구체적인 수 상황에서 알맞은 식을 찾을 수 있는지, 연산법칙을 적용하여 □의 값을 구할 수 있는지, 그리고 임의의 수 상황에서 알맞은 식을 구할 수 있는지에 대한 반응 분석을 통해 알아보았다. 분석 대상은 2, 4, 6학년 학생 총 2087명으로, 본 개관에서는 연산의 성질에 대한 학생들의 전반적인 이해와 경향을 중심으로 분석하였다.
- 학생들의 반응은 정답, 오답, 무응답으로 구분하고 각각의 빈도수와 백분율을 조사하였다. 이를 토대로 2087명 학생들의 정답률을 학년별, 과제 유형별, 문제 상황별로 각각 정리하여 학생들의 대수적 추론 능력을 살펴보았다. 특히, 학년별로 유의한 차이가 있는지를 알아보기 위해 유의수준 0.
- 분석 대상은 2, 4, 6학년 학생 총 2087명으로, 본 개관에서는 연산의 성질에 대한 학생들의 전반적인 이해와 경향을 중심으로 분석하였다. 특히, 분석 결과는 학년별 연산의 성질에 대한 이해 분석과 문제 상황별 연산의 성질에 대한 이해 분석으로 구분하여 제시하였다.
- 특히, 연산의 성질에 대한 학생들의 이해가 3가지 문제 상황(‘구체적인 수 상황에서 알맞은 식을 찾을 수 있는가?’, ‘연산법칙을 적용하여 □의 값을 구할 수 있는가?’, 그리고 ‘임의의 수 상황에서 알맞은 식을 구할 수 있는가?’)에 따라 차이가 있는지를 비교분석하기 위해, 분배법칙의 경우 ‘(a×b)+(a×c)=a×(b+c)’와 같은 한 가지 형태만을 일관성 있게 사용하였다.
- 본 검사는 학급 담임교사가 직접 실시하도록 안내하였고, 검사 시간은 40분으로 답안 작성은 학생들이 검사지에 직접 기술하도록 하였다. 학생들의 반응은 정답, 오답, 무응답으로 구분하고 각각의 빈도수와 백분율을 조사하였다. 이를 토대로 2087명 학생들의 정답률을 학년별, 과제 유형별, 문제 상황별로 각각 정리하여 학생들의 대수적 추론 능력을 살펴보았다.
대상 데이터
- 본 연구는 지역에 따른 학생들의 능력 차이를 비교하기 보다는 우리나라 초등학생들의 전반적인 경향을 파악하는 데 관심을 두었고, 모집단의 구성원인 학생을 직접 추출하는 것이 아니라 학교와 학급을 표집 단위로 하는 2단계 군집 표집의 방법을 사용함으로써 표본 추출의 시간적 경제적 비용을 최소화하고자 했다. 2009년 10월에 발표된 교육통계연보에 따르면 전국의 초등학교 수는 총 5,829 개로 본 연구에서는 전국 초등학교의 0.67%에 해당하는 39개 학교를 표집하였다.
- 한편, 30개 학교의 2, 4, 6학년 한 개 학급 학생들 중에서 검사에 응시하지 않거나 특수아인 경우는 분석 대상에서 제외하였다. 따라서 본 연구에서 최종적으로 선정된 분석 대상은 2학년 648명, 4학년 688명, 6학년 751명으로 총 2087명이다.
- 본 연구는 우리나라 초등학교 2, 4, 6학년 학생들의 대수적 추론 능력을 조사하고자 전국 초등학교를 표집대상으로 하였으며, 교육과학기술부에서 제시한 2009년 전국 초등학교 주소록을 표집틀로 사용하였다. 본 연구는 지역에 따른 학생들의 능력 차이를 비교하기 보다는 우리나라 초등학생들의 전반적인 경향을 파악하는 데 관심을 두었고, 모집단의 구성원인 학생을 직접 추출하는 것이 아니라 학교와 학급을 표집 단위로 하는 2단계 군집 표집의 방법을 사용함으로써 표본 추출의 시간적 경제적 비용을 최소화하고자 했다.
- 연산의 성질에 대한 이해는 덧셈의 교환법칙, 덧셈의 결합법칙, 곱셈의 교환법칙, 곱셈의 결합법칙, 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙의 다섯 가지 연산 법칙을 중심으로 구체적인 수 상황에서 알맞은 식을 찾을 수 있는지, 연산법칙을 적용하여 □의 값을 구할 수 있는지, 그리고 임의의 수 상황에서 알맞은 식을 구할 수 있는지에 대한 반응 분석을 통해 알아보았다. 분석 대상은 2, 4, 6학년 학생 총 2087명으로, 본 개관에서는 연산의 성질에 대한 학생들의 전반적인 이해와 경향을 중심으로 분석하였다. 특히, 분석 결과는 학년별 연산의 성질에 대한 이해 분석과 문제 상황별 연산의 성질에 대한 이해 분석으로 구분하여 제시하였다.
데이터처리
- 분산분석을 통해 학년 간에 유의한 차이가 있다고 밝혀진 경우, 구체적으로 어느 학년 사이에 유의한 차이가 있는지를 자세히 살펴보기 위해 사후검증(Post-Hoc Test)을 실시하였는데, 이 때 집단 간에 사례 수가 다르므로 Scheffé test를 이용하였다(성태제, 2007).
- 이를 토대로 2087명 학생들의 정답률을 학년별, 과제 유형별, 문제 상황별로 각각 정리하여 학생들의 대수적 추론 능력을 살펴보았다. 특히, 학년별로 유의한 차이가 있는지를 알아보기 위해 유의수준 0.05에서 분산분석을 실시하였다. 분산분석을 통해 학년 간에 유의한 차이가 있다고 밝혀진 경우, 구체적으로 어느 학년 사이에 유의한 차이가 있는지를 자세히 살펴보기 위해 사후검증(Post-Hoc Test)을 실시하였는데, 이 때 집단 간에 사례 수가 다르므로 Scheffé test를 이용하였다(성태제, 2007).
- 한편, 각 연산의 법칙별로 학년 간 반응의 차이가 통계적으로 유의미한지는 학년별 분산 분석 및 사후검정(Scheffe test)을 통해 알아보았다. 유의수준 0.
성능/효과
- 4%만이 적절한 반응을 한 것으로 나타났다. 10번 문항에서의 오답 반응으로는 앞에서부터 계산한 민지의 방법만을 옳은 방법으로 판단하여 ②번을 선택한 학생들의 비율이 2학년의 41.0%, 4학년의 49.7%, 6학년의 26.0%로 가장 높게 나타났다. 특히, ②번을 선택한 학생들의 비율은 2, 4학년의 경우 정답율보다도 더 크게 나타났다.
- 11번 문항은 곱셈의 결합법칙을 적용하여 □의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문항으로 학년별 정답률은 2학년에서 41.2%, 4학년에서 78.5%, 6학년에서 92.0%로 나타났다( 참조).
- 2번 문항은 덧셈의 교환법칙을 적용하여 □의 값을 구하는 문항으로 2학년에서 54.5%의 매우 낮은 성공률을 보였지만, 6학년에서는 95.5%로 다른 문항에 비해 꽤 높은 성공률을 보였다. 2번 문항에서 가장 많은 학생들이 보인 오답으로는 ➂번을 선택한 경우로, 2학년의 38.
- 6번 문항에서의 오답 반응으로는 어떤 수와 56과의 곱을 "어떤 수×56"로 구했을 때 392가 나왔을 때, "56×어떤 수"로 구했을 때에는 392보다 더 크거나 혹은 더 작은 값이 나올 것이라고 반응한 학생의 비율이 높게 나타났다.
- 8번 문항은 직접적인 계산이 아닌, 덧셈의 결합법칙을 적용하여 □의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문항으로 에 제시된 바와 같이, 학년별 정답률은 2학년에서 52.6%, 4학년에서 77.0%, 6학년에서 92.5%로 7번과 9번 문항에 비해 꽤 높은 성공률을 보였다.
- <표 Ⅳ-7>에 제시된 바와 같이, 13번 문항은 주어진 문제 상황에 알맞은 식을 구하는 것으로 32개씩 2봉지와 32개씩 4봉지의 합은 (32×2)+(32×4)로 구할 수도 있지만, 32×6으로도 구할 수 있다는 것을 알고 두 가지 형태의 식 ②와 ③을 모두 찾을 수 있는지를 묻는 문항이다. 검사 결과 정답을 선택한 학생들은 2학년의 33.3%, 4학년의 40.4%, 6학년의 67.0%로 비교적 낮은 성공률을 보였다. 13번 문항에서 가장 많은 학생들이 보인 오답 반응으로는 2, 4, 6학년 모두 ②와 ④를 선택한 경우였는데, 2학년의 15.
- 12번 문항은 세 수를 앞에서부터 곱한 결과 1080이 나왔을 때 뒤에서부터 곱한다면 얼마가 나올 것인지를 묻는 문항으로, 문제 상황에 직접 세 수가 제시되지 않았기 때문에 적절하게 반응하기 위해서는 곱셈의 결합법칙에 대한 이해가 선행되어야 한다. 검사 결과 정답을 선택한 학생의 비율은 2학년의 31.2%, 4학년의 53.2%, 6학년의 81.9%로 나타났다. 이처럼 12번 문항에서의 정답률은 4학년의 경우 10번 문항에서의 정답률에 비해 11.
- 각 문항은 모두 동형이지만, 교육과정 내용을 감안하여 2학년의 경우 나눗셈 대신 동수누감의 개념을 사용하였고, 4·6학년의 경우 2학년보다 더 큰 수를 사용하였다. 검사지의 신뢰도를 알아보기 위해 Cronbach의 Alpha값을 구한 결과 2학년 0.740, 4학년 0.751, 6학년 0.720으로 신뢰할 수 있는 것으로 밝혀졌다.
- 구체적인 수 상황에서 알맞은 식을 구하는 문항에서의 정답률을 자세히 살펴보면, 덧셈의 교환법칙 82.4%, 덧셈의 결합법칙 49.2%, 곱셈의 교환법칙 88.7%, 곱셈의 결합법칙 50.8%, 분배법칙 47.8%로, 곱셈의 교환법칙> 덧셈의 교환 법칙> 곱셈의 결합법칙> 덧셈의 결합법칙> 분배법칙의 순으로 높게 나타났다.
- 이 때, 1번 문항과는 달리 문제 상황에 제시된 임의의 두 수를 직접 계산해 볼 수 없기 때문에, ◯+△과 △+◯이 서로 같다는 것을 판단하기 위해서는 암묵적으로라도 덧셈의 교환법칙에 대한 이해가 바탕이 되어야 한다. 그러나 1번과 3번 문항의 정답률을 비교하면, 2학년 72.4%와 70.7%, 4학년 85.8%와 86.0%, 6학년 88.3%와 91.2%로 2학년의 경우에만 임의의 수 상황에서의 정답률이 구체적인 수 상황에서의 정답률에 비해 다소 낮게 나타났을 뿐 4, 6학년의 경우 오히려 임의의 수 상황에서의 정답률이 더 높은 것으로 나타났다. 즉, 학생들은 구체적인 수 상황 못지않게 혹은 그 이상으로 임의의 수 상황에서도 두 수의 합을 a+b와 b+a의 두 가지 형태로 표현할 수 있음을 이해하는 데 성공적이었다.
- Schifter, Monk, Russell, 그리고 Bastable(2008)은 수학적 분석을 경험할 수 있는 기회와 관련하여 초등 교육과정에서 포함되어야 할 첫 번째로 교환 법칙뿐만 아니라 결합법칙을 들었다. 그러나 본 연구에서 세 수의 덧셈 및 세 수의 곱셈을 계산하는 과정과 관련하여, 많은 학생들이 앞에서부터 차례로 계산하는 한 가지 방법만을 옳은 방법으로 판단하고 있음을 확인하였다. 구체적으로 이러한 학생들의 비율은 세 수의 덧셈에서는 2학년의 43.
- 이러한 학생들은 문제 상황에서 두 수를 언급하는 순서와 동일하게 덧셈식에서도 375를 먼저 9248을 나중에 제시한 375+9248만을 바른 식으로 답했다. 두 번째로 높은 오답 반응으로는 ②번만 정답으로 선택한 경우였는데, 2, 4, 6학년 각각 3.7%, 4.4%, 3.5%의 반응 비율을 보였다. 이러한 학생들은 문제 상황에서 두 수를 언급하는 순서와 반대인 덧셈식을 선택했는데, 9248을 먼저 제시하고 375를 나중에 제시하여 9248+375만을 바른 식으로 답하였다.
- 이러한 학생들은 문제 상황에서 앞에 제시된 예인 명수의 방법 ‘5×6’만을 바른 식으로 답했다. 두 번째로 높은 오답 반응으로는 ②번을 정답으로 선택한 경우였는데, 2, 4, 6학년 각각 6.6%, 2.0%, 0.7%의 반응 비율을 보였다. 이러한 학생들은 문제 상황에서 뒤에 제시된 예인 민기의 방법 ‘6×5’만을 바른 식으로 답했다.
- 이러한 학생들은 문제 상황에서 임의의 두 수를 언급하는 순서와 동일하게 덧셈식에서도 ◯를 먼저 △를 나중에 제시한 ◯+△만을 바른 식으로 답했다. 두 번째로 높은 오답 반응으로는 ④번만 정답으로 선택한 경우였는데, 2, 4, 6학년 각각 5.9%, 2.0%, 1.5%의 반응 비율을 보였다. 이처럼 임의의 수 상황에서도 덧셈의 교환법칙을 인식하지 못하고 ③번과 ④번 중 어느 한 가지 식만 선택하는 학생들의 경향은 학년이 올라갈수록 다소 낮아지기는 하나 고학년의 경우에도 완전히 개선되지는 않는 것으로 나타났다.
- 문제 상황별로 평균 정답률을 살펴보면, 에서와 같이 구체적인 수 상황에서 알맞은 식을 구하는 문항에서의 정답률은 63.8%, 임의의 수 상황에서 알맞은 식을 구하는 문항에서는 66.2%, 연산법칙을 적용하여 □의 값을 구하는 문항에서는 76.6%로, 연산법칙을 적용하여 □의 값을 구하기> 임의의 수 상황에서 알맞은 식을 구하기> 구체적인 수 상황에서 알맞은 식을 구하기의 순으로 높게 나타났다.
- 본 연구에서 구체적인 수 상황에서의 정답률이 가장 높게 나타났던 곱셈의 교환법칙을 예로 들면, 구체적인 수 상황에서 ‘5×6’과 ‘6×5’가 서로 같은지를 판단하는 문항에서의 정답률은 2학년 78.4%, 4학년 90.3%, 6학년 96.1%로 나타났다.
- 첫째, 학생들이 연산 법칙을 충분히 이해하고 문제 해결 과정에 적극적으로 활용할 수 있도록, 덧셈 및 곱셈 수업에서 수와 연산의 성질을 보다 강조하여 다룰 필요가 있다. 본 연구에서 성공률이 상대적으로 낮게 나타났던 결합법칙과 분배법칙의 경우, 구체적인 수 상황에서의 정답률이 임의의 수 상황에서의 정답률에 비해 더 낮은 것으로 드러났다. 예를 들어, 덧셈의 결합법칙 과제에서 상당수의 학생들이 임의의 수 상황에서 세 수를 앞에서부터 더한 결과와 뒤에서부터 더한 결과가 서로 같을 것이라고 예상할 수 있음에도 불구하고, 구체적인 수를 대상으로 계산을 실행하는 상황에서는 세 수를 앞에서부터 계산하는 한 가지 방법만을 옳은 방법으로 선택하는 경향을 보였다.
- 곱셈의 결합법칙 과제에 대한 학생들의 반응을 자세히 분석해 보면 다음과 같다. <표 Ⅳ-6>에 제시된 바와 같이, 10번 문항은 세 수의 곱셈에서 뒤에서부터 계산한 민지의 방법과 앞에서부터 계산한 경수의 방법이 모두 옳다는 것을 알고 있는지를 묻는 문항으로 2학년의 36.6%, 4학년의 41.7%, 6학년의 71.4%만이 적절한 반응을 한 것으로 나타났다. 10번 문항에서의 오답 반응으로는 앞에서부터 계산한 민지의 방법만을 옳은 방법으로 판단하여 ②번을 선택한 학생들의 비율이 2학년의 41.
- 연산 법칙을 적용하여 □의 값을 구하는 문항에서의 정답률을 살펴보면, 덧셈의 교환법칙 77.6%, 덧셈의 결합법칙 75.0%, 곱셈의 교환법칙 84.8%, 곱셈의 결합법칙 71.8%, 분배법칙 73.6%로, 곱셈의 교환법칙> 덧셈의 교환법칙> 덧셈의 결합법칙> 분배법칙> 곱셈의 결합법칙의 순으로 높게 나타났다.
- 연산법칙별로는 덧셈의 교환법칙 65.8%, 덧셈의 결합법칙 44.0%, 곱셈의 교환법칙 70.7%, 곱셈의 결합법칙 36.3%, 분배법칙 41.0%로 나타났으며 높은 순으로 정리하면 곱셈의 교환법칙> 덧셈의 교환법칙> 덧셈의 결합법칙> 분배법칙> 곱셈의 결합법칙으로 나타났다.
- 연산의 성질 이해 과제에서의 학년별 정답률을 분석한 결과 각 학년이 공통적으로 교환법칙 이해 과제에서는 높은 성공률을 보인 반면, 결합법칙과 분배법칙 이해 과제에서는 낮은 성공률을 보였다. 즉, 학생들은 교환법칙 이해 과제에서는 2학년에서 이미 60%이상의 정답률을 보이기 시작하여 6학년에서는 90%이상의 정답률을 보이는 것으로 나타났다.
- 연산의 성질별 평균 정답률은 덧셈의 교환법칙 83.8%, 덧셈의 결합법칙 60.4%, 곱셈의 교환법칙 82.4%, 곱셈의 결합법칙 57.8%, 분배법칙 56.3%로 나타났으며 높은 순으로 정리하면, 덧셈의 교환법칙> 곱셈의 교환법칙> 덧셈의 결합법칙> 곱셈의 결합법칙> 분배법칙으로 나타났다.
- 연산의 성질별 평균 정답률은 덧셈의 교환법칙 91.7%, 덧셈의 결합법칙 79.3%, 곱셈의 교환법칙 94.1%, 곱셈의 결합법칙 81.8%, 분배법칙 75.0%로 나타났으며 높은 순으로 정리하면 곱셈의 교환법칙> 덧셈의 교환법칙> 곱셈의 결합법칙> 덧셈의 결합 법칙> 분배법칙으로 나타났다.
- 한편, 각 연산의 법칙별로 학년 간 반응의 차이가 통계적으로 유의미한지는 학년별 분산 분석 및 사후검정(Scheffe test)을 통해 알아보았다. 유의수준 0.05에서 분석한 결과 다섯 가지 연산 법칙 모두에서 2, 4, 6학년 간 성취 정도에 유의미한 차이가 있는 것으로 드러났다.
- 즉, 학생들은 구체적인 수 상황 못지않게 혹은 그 이상으로 임의의 수 상황에서도 두 수의 합을 a+b와 b+a의 두 가지 형태로 표현할 수 있음을 이해하는 데 성공적이었다. 이러한 결과는 매우 주목할 만한 것으로, 이를 통해 학생들이 임의의 수 상황에서의 문항을 특별히 더 어려워하지는 않는다는 사실과 초등학생들도 충분히 덧셈의 교환법칙에서 임의의 수를 다룰 수 있다는 가능성을 알 수 있었다.
- 특히, ②번을 선택한 학생들의 비율은 2, 4학년의 경우 정답율보다도 더 크게 나타났다. 이러한 결과는 세 수의 곱셈과 관련하여 상당히 많은 학생들이 앞에서부터 계산하는 방법은 옳고 뒤에서부터 계산하는 방법은 틀린 것으로 잘못 이해하고 있음을 단편적으로 드러내며 이러한 경향은 4학년에서 가장 두드러졌으며 6학년이 되어서도 쉽게 개선되지 않는 것으로 나타났다.
- 특히, ②번을 선택한 학생들의 비율은 2, 4학년의 경우 정답의 비율보다도 더 크게 나타났다. 이러한 결과는 세 수의 덧셈과 관련하여 상당히 많은 학생들이 앞에서부터 계산하는 방법은 옳고 뒤에서부터 계산하는 방법은 틀린 것으로 잘못 이해하고 있음을 단편적으로 드러내며 이러한 경향은 6학년이 되어서도 쉽게 개선되지 않는 것으로 나타났다.
- 이러한 결과를 통해 상당수의 학생들이 "어떤 수×56"와 "56×어떤 수"의 값이 서로 다르다는 잘못된 개념을 가지고 있다는 사실과 이러한 오개념은 고학년이 되어서도 쉽게 개선되지 않는다는 사실을 알 수 있었다.
- 5% 포인트 더 높은 것으로 드러났다. 이러한 결과를 통해 상당수의 학생들이 임의의 수 상황에서는 세 수를 앞에서부터 곱한 결과와 뒤에서부터 곱한 결과가 서로 같을 것이라고 예상하고 있음에도 불구하고, 실제로 구체적인 수를 계산하는 상황에서는 세 수의 곱을 앞에서부터 계산하는 방법과 뒤에서부터 계산하는 방법이 모두 옳은가에 관해 적절한 답을 하지 못하고 있음을 알 수 있었다.
- 즉, 학생들은 교환법칙 이해 과제에서는 2학년에서 이미 60%이상의 정답률을 보이기 시작하여 6학년에서는 90%이상의 정답률을 보이는 것으로 나타났다. 이에 반해, 결합 법칙 및 분배법칙 이해 과제에서는 4학년에 가서야 약 60% 정도의 정답률을 보이기 시작하고 6학년에 가서도 정답률이 82% 수준을 넘지 못하는 것으로 드러났다. 이러한 결과는 덧셈이나 곱셈에서의 교환법칙에 관한 이해는 상대적으로 더 이른 시기에 발달하기 시작하여 초등학교 기간 내에 비교적 탄탄한 개념적 기초를 형성하는 반면, 결합법칙이나 분배법칙에 관한 이해는 발달 시기도 늦고 이해 수준도 낮아 상대적으로 더 많은 주의가 필요하다고 할 수 있다.
- 이러한 학생들은 문제 상황에서 두 수를 언급하는 순서와 반대인 덧셈식을 선택했는데, 9248을 먼저 제시하고 375를 나중에 제시하여 9248+375만을 바른 식으로 답하였다. 이처럼 덧셈의 교환법칙을 인식하지 못하고 ①번과 ②번 중 어느 한 가지 식만 선택하는 학생들의 경향은 학년이 올라갈수록 다소 낮아지기는 하나 고학년의 경우에도 완전히 개선되지는 않는 것으로 나타났다.
- 5%의 반응 비율을 보였다. 이처럼 임의의 수 상황에서도 덧셈의 교환법칙을 인식하지 못하고 ③번과 ④번 중 어느 한 가지 식만 선택하는 학생들의 경향은 학년이 올라갈수록 다소 낮아지기는 하나 고학년의 경우에도 완전히 개선되지는 않는 것으로 나타났다.
- 이처럼 저·중·고 학년에서 공통적으로 임의의 수 상황에서의 곱셈의 교환법칙에 대한 성취율이 구체적인 수 상황에서의 성취율에 비해 더 낮은 것으로 드러났는데, 이는 구체적인 수 상황에서 특정한 수를 예로 들어 연산의 성질이 성립한다는 것을 경험하는 기회 못지않게 임의의 수 상황에서도 연산의 성질이 성립한다는 것을 경험할 수 있는 기회가 충분히 제공되어야 한다는 것을 의미한다.
- 임의의 수 상황에서 알맞은 식을 구하는 문항에서의 정답률은, 덧셈의 교환법칙 83.1%, 덧셈의 결합법칙 62.1%, 곱셈의 교환법칙 75.4%, 곱셈의 결합법칙 56.7%, 분배법칙 53.5%로, 덧셈의 교환법칙> 곱셈의 교환법칙> 덧셈의 결합 법칙> 곱셈의 결합법칙> 분배법칙의 순으로 높게 나타났다.
- 즉, 2학년의 경우 상당수의 학생들이 등호의 양변에 제시된 값들을 함께 고려하지 못하고 □의 앞에 제시된 식 (74 × 20)+74에만 주목하는 특징을 보였으며, 이러한 양상은 학년이 올라가면서 현저하게 줄어드는 것으로 드러났다.
- 연산의 성질 이해 과제에서의 학년별 정답률을 분석한 결과 각 학년이 공통적으로 교환법칙 이해 과제에서는 높은 성공률을 보인 반면, 결합법칙과 분배법칙 이해 과제에서는 낮은 성공률을 보였다. 즉, 학생들은 교환법칙 이해 과제에서는 2학년에서 이미 60%이상의 정답률을 보이기 시작하여 6학년에서는 90%이상의 정답률을 보이는 것으로 나타났다. 이에 반해, 결합 법칙 및 분배법칙 이해 과제에서는 4학년에 가서야 약 60% 정도의 정답률을 보이기 시작하고 6학년에 가서도 정답률이 82% 수준을 넘지 못하는 것으로 드러났다.
- 2%로 2학년의 경우에만 임의의 수 상황에서의 정답률이 구체적인 수 상황에서의 정답률에 비해 다소 낮게 나타났을 뿐 4, 6학년의 경우 오히려 임의의 수 상황에서의 정답률이 더 높은 것으로 나타났다. 즉, 학생들은 구체적인 수 상황 못지않게 혹은 그 이상으로 임의의 수 상황에서도 두 수의 합을 a+b와 b+a의 두 가지 형태로 표현할 수 있음을 이해하는 데 성공적이었다. 이러한 결과는 매우 주목할 만한 것으로, 이를 통해 학생들이 임의의 수 상황에서의 문항을 특별히 더 어려워하지는 않는다는 사실과 초등학생들도 충분히 덧셈의 교환법칙에서 임의의 수를 다룰 수 있다는 가능성을 알 수 있었다.
- 최종적인 검사 도구는 에 제시된 바와 같이, 덧셈의 교환법칙, 덧셈의 결합 법칙, 곱셈의 교환법칙, 곱셈의 결합법칙, 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙의 5가지 과제로 구성되었고, 과제별로 3문항씩 총 15문항으로 구성되었다.
- 4%에 해당하는 학생들이 분배법칙을 이해하지 못하고, 단순히 등호의 좌변에 제시된 식 74 × 23에서 23을 답으로 판단하는 오류를 보였다. 특히, ➁번을 선택한 2학년 학생의 비율은 4학년에서의 비율과 유사한 수치인 11.4%로 나타났는데, 이러한 결과는 등호의 양변에 제시된 값들을 함께 고려하려는 시도는 했지만, 분배법칙을 이해하지 못하는 학생들이 적지 않으며 이러한 양상은 고학년이 되더라고 크게 개선되지는 않는다는 것을 보여준다.
- 0%로 나타났으며 높은 순으로 정리하면 곱셈의 교환법칙> 덧셈의 교환법칙> 덧셈의 결합법칙> 분배법칙> 곱셈의 결합법칙으로 나타났다. 특히, 곱셈의 교환법칙에서의 정답률은 덧셈의 교환법칙에서의 정답률보다 4.9% 포인트 더 높게 나타났는데, 덧셈에 비해 곱셈은 1년 늦은 시기인 2학년에서 도입된다는 측면에서 특이할 만하다. 한편, 곱셈의 교환법칙에서의 정답률은 곱셈의 결합법칙에서의 정답률보다 34.
- 8%로, 곱셈의 교환법칙> 덧셈의 교환 법칙> 곱셈의 결합법칙> 덧셈의 결합법칙> 분배법칙의 순으로 높게 나타났다. 특히, 덧셈 및 곱셈의 교환법칙에서는 80%이상의 성공률을 보인 반면, 덧셈 및 곱셈의 결합법칙과 분배법칙에서의 정답률은 약 50% 수준으로 매우 낮은 성공률을 보였다. 연산의 법칙에 상관없이, 구체적인 수가 주어진 상황에서는 직접 계산을 통해 연산 법칙이 성립하는지를 확인할 수 있다는 점을 감안할 때, 결합법칙 및 분배법칙에서의 정답률이 교환법칙에서 보다 30% 포인트 이상 더 낮게 나타난 점은 주목할 만하다.
- 3%로 나타났으며 높은 순으로 정리하면, 덧셈의 교환법칙> 곱셈의 교환법칙> 덧셈의 결합법칙> 곱셈의 결합법칙> 분배법칙으로 나타났다. 특히, 덧셈에서의 결합법칙, 곱셈에서의 결합법칙, 그리고 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙에 대한 평균 정답률은 약 60% 수준에 머무르는 것으로 나타났는데, 4학년이 자연수 범위에서의 사칙연산이 완성되는 시기라는 점을 감안하면 기대 수준 보다 낮은 이해도를 보인다고 할 수 있다.
- 표집된 39개 초등학교에 우편을 이용하여 검사지를 전달하고 협조를 요청한 결과 32개 학교가 본 검사에 참여하였고, 검사 결과지도 성공적으로 회신해 주었다. 그러나 이 중 2개 학교에서 학교 행사 등의 이유로 2, 4, 6학년이 모두 검사에 참여하지는 못했다.
- 셋째, 분배법칙을 보다 체계적이고 집중적으로 지도함으로써 분배법칙에 대한 개념적 이해를 강화할 필요가 있다. 학생들은 5가지 연산의 성질 중 분배법칙에서 가장 낮은 성취율을 보였으며, 특히 구체적인 수 상황에서 분배법칙을 이해하고 있는가를 묻는 문항에 대해 2, 4, 6학년 학생 모두 매우 낮은 성취율을 나타냈다. 구체적으로, 상당수의 학생들이 문제 상황에 포함된 덧셈에 대한 곱셈의 분배 관계를 제대로 파악하지 못했고, 단순히 문제에서 명시적으로 언급하고 있는 수치에만 지나치게 주목하는 경향을 보였다.
- 9% 포인트 더 높게 나타났는데, 덧셈에 비해 곱셈은 1년 늦은 시기인 2학년에서 도입된다는 측면에서 특이할 만하다. 한편, 곱셈의 교환법칙에서의 정답률은 곱셈의 결합법칙에서의 정답률보다 34.4% 포인트 더 높게 나타났는데, 동일한 연산 내에서의 차이라는 측면에서 주의를 기울일 필요가 있다.
후속연구
- 또한, K-2학년에서는 “교환법칙과 같은 연산의 일반적인 원리나 성질을 특정한 수를 활용하여 예시할 수 있어야 한다”는 것((NCTM, 2000, p.90)과, 3-5학년에서는 “교환법칙, 결합법칙, 분배법칙을 알고 범자연수 연산에 활용할 수 있어야 한다”는 것(NCTM, 2000, p.158)을 학년군별 목표로 명시함으로써, 초등학교에서 연산의 성질을 이해하고 적용할 수 있는 기회와 경험을 제공할 것을 권고하고 있다.
- 분석 결과를 바탕으로 초등학교에서의 대수지도 방안에 대한 시사점을 논의해 보면 다음과 같다. 첫째, 학생들이 연산 법칙을 충분히 이해하고 문제 해결 과정에 적극적으로 활용할 수 있도록, 덧셈 및 곱셈 수업에서 수와 연산의 성질을 보다 강조하여 다룰 필요가 있다. 본 연구에서 성공률이 상대적으로 낮게 나타났던 결합법칙과 분배법칙의 경우, 구체적인 수 상황에서의 정답률이 임의의 수 상황에서의 정답률에 비해 더 낮은 것으로 드러났다.
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